考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、填空題
1. 直線的傾斜角為______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先得到直線的斜率，即可求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，
又，所以，故直線的傾斜角為.
故答案為：
2. 為了考察某區(qū)1萬名高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)知識與能力測試的成績，從中抽取50本試卷，每本試卷30份，那么樣本容量是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用樣本容量的定義分析，即可求解.
【詳解】因?yàn)閺某槿?0本試卷，每本試卷30份，
所以樣本容量為份.
故答案為：
3. 已知向量，，，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示求解.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，?br>所以，解得，
故答案為：
4. a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其中，，則___________
【答案】
【解析】
【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求b即可.
【詳解】由題設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列的公比為；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的公比為.
所以.
故答案為：
5. 甲、乙兩人各進(jìn)行1次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0.8和0.4，則其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別求甲擊中目標(biāo)，乙沒有擊中目標(biāo)和甲沒有擊中目標(biāo)，乙擊中目標(biāo)的概率，再求和即可.
【詳解】因?yàn)閮扇藫糁心繕?biāo)的概率分別為0.8和0.4，
所以，甲擊中目標(biāo)，乙沒有擊中目標(biāo)的概率為；
甲沒有擊中目標(biāo)，乙擊中目標(biāo)的概率為，
所以，恰有1人擊中目標(biāo)的概率是
故答案為：
6. 如果圓錐底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側(cè)面積為_______.
【答案】
【解析】
【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．
【詳解】由圓錐的側(cè)面積公式
故答案為：2π
7. 已知直線：與直線：平行，則________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件：且即可求解.
【詳解】因?yàn)椋蓛芍本€平行的充要條件可得，
且，
解得.
故答案為；
8. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)．若平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用點(diǎn)到面的距離的向量法，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題知，又平面的一個(gè)法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
故答案為：.
9. 若將兩個(gè)半徑為的鐵球熔化后鑄成一個(gè)球，則該球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)熔化前后體積不變可求出熔化后所得球的半徑長，再利用球體的表面積公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)熔化后鑄成球的半徑為，則，可得．
所以，球的表面積為.
故答案為：.
10. 某車間的質(zhì)檢員利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的60個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將60個(gè)零件進(jìn)行編號，編號分別為01，02，…，60，從中選取5個(gè)個(gè)體組成樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若從表中第1行第7列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號是_____.
【答案】09
【解析】
【分析】由隨機(jī)數(shù)表法直接求解即可.
【詳解】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第7列數(shù)字開始由左向右每次連續(xù)讀取2個(gè)數(shù)字，刪除超出范圍及重復(fù)的編號，
符合條件的前5個(gè)編號是37，14，05，11，09，所以選出來的第5個(gè)樣本編號為09.
故答案為：09.
11. 定義兩個(gè)相交平面夾角為兩個(gè)平面所組成的四個(gè)二面角的最小值．已知平面與所成的角為，為外一定點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與所成的角都是，則這樣的直線有______.
【答案】4
【解析】
【分析】過點(diǎn)作平面垂直于平面的交線，并且交直線于點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)在平面內(nèi)作的平分線，以為軸在的角平分面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)題意可得出有兩條直線滿足題意；以為軸在平面內(nèi)前后轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)題意可得出有兩條直線滿足題意，綜合可得結(jié)果.
【詳解】解：首先給出下面兩個(gè)結(jié)論：
①兩條平行線與同一個(gè)平面所成的角相等；
②與二面角的兩個(gè)面成等角的直線在二面角的平分面內(nèi)或平行于角平分面.
（1）如圖1，過二面角內(nèi)任一點(diǎn)作棱的垂面，交棱于點(diǎn)，
與兩半平面交于，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>則為二面角的平面角，則，
設(shè)為的平分線，則，
與平面所成的角都是，此時(shí)過點(diǎn)且與平行的直線符合要求，
當(dāng)以為定點(diǎn)，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與兩平面的夾角會變小，
會對稱地出現(xiàn)兩條符合成的情形；
此時(shí)過點(diǎn)且與平行的直線符合條件，有2條，

（2）如圖2，設(shè)為的補(bǔ)角的平分線，

則，與平面所成的角都是，
當(dāng)以為定點(diǎn)，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，
與兩平面夾角變小 ，對稱地在圖2中的兩側(cè)會出現(xiàn)的情形，有兩條，
此時(shí)，過點(diǎn)且與平行的直線符合要求，有兩條.
綜上所述，符合條件的直線有4條.
故答案為：4.
12. 已知正四面體的邊長為是空間一點(diǎn)，若，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑，再利用向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可求得結(jié)論.
【詳解】設(shè)是正四面體內(nèi)切球的球心，正四面體的內(nèi)切球半徑為 ，外接球半徑為，
如圖, 將正四面體置于正方體中, 正四面體的外接球即為正方體的外接球, 正方體的體對角線為球的直徑,
因?yàn)檎拿骟w的邊長為1,所以正方體的棱長為,正方體對角線長為 ,故 .
正四面體的體積
從而正四面體的高 滿足: .
將正四面體分割成以球心 為頂點(diǎn), 以正四面體的四個(gè)面為底面的四個(gè)相同的三棱錐,
它們的底面與正四面體的底面相同, 高為內(nèi)切球的半徑 , 故 .
而外接球可以利用 ,，解得.
故正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體的外接球半徑為，則
又因?yàn)?，所以?br>故，
即，
所以是正四面體內(nèi)切球上一點(diǎn)，故的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：找出正四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑是關(guān)鍵，用向量法轉(zhuǎn)換為是難點(diǎn)，本題主要考查多面體的內(nèi)切球和外切球的問題，考查空間想象能力，屬于較難題.
二、選擇題
13. 對某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)分別是 （ ）
A. 45，45B. 45，46
C. 46，45D. 47，45
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)莖葉圖知識求出中位數(shù)和眾數(shù)即可．
【詳解】根據(jù)題意，有30個(gè)數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)為排序后第15和16個(gè)數(shù)的平均值：
，眾數(shù)為出現(xiàn)最多的數(shù)，為45.
故選：C.
14. 空間中有兩個(gè)不同的平面和兩條不同的直線，則下列說法中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；
【詳解】對于A，若，則或，
又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)必存在直線l和m平行，則；
當(dāng)時(shí)，顯然有，所以，故A正確；
對于B，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，則或，又，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
15. 已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列方程組求得和公差，寫出前項(xiàng)和，由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，
則，，
∴，
解得，．
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故選：B．
16. 已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，滿足，且，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四點(diǎn)共面可知，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可求解.
【詳解】,
因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以，
注意到，從而.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
三、解答題
17. 已知圓C的圓心為，若圓C經(jīng)過直線：，：的交點(diǎn).
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線：與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到半徑，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由垂徑定理得到圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.
【小問1詳解】
聯(lián)立，解得，
故半徑為，
故圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
設(shè)圓心到直線的距離為，
則由垂徑定理得，
解得，即，解得，
故直線l的方程為，即.
18. 為加強(qiáng)學(xué)生睡眠監(jiān)測督導(dǎo)，學(xué)校對高中三個(gè)年級學(xué)生的日均睡眠時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機(jī)抽樣法，學(xué)校在高一、高二和高三年級中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時(shí)間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級一共512人.
（1）學(xué)校高中三個(gè)年級一共有多少個(gè)學(xué)生?
（2）若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如下表所示（其中，n是正整數(shù)）
求該樣本的第40百分位數(shù).
【答案】（1）1600
（2）8.25小時(shí)
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣，按比例抽取即可得到答案．
根據(jù)極差可得，再結(jié)合學(xué)生總數(shù)量為100，可求出，再根據(jù)求第百分位數(shù)的方法即可求得.
【小問1詳解】
設(shè)學(xué)校高中三個(gè)年級一共有個(gè)學(xué)生,
因?yàn)椴捎梅謱映闃臃ǔ槿∫粋€(gè)容量為100的樣本，
在高一年級抽取了35人，高二年級抽取了33人，
所以高三抽取的人數(shù)為：人，
又因?yàn)楦呷昙壱还?12人，所以有：，解得.
所以學(xué)校高中三個(gè)年級一共有1600個(gè)學(xué)生.
【小問2詳解】
因?yàn)槌槿?00名學(xué)生的樣本極差為2，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以樣本第40百分位數(shù)為：（小時(shí)）.
19. 如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.
（1）求圓柱的表面積與體積;
（2）求直線與所成的角.
【答案】（1）表面積，體積；
（2）.
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)圓柱的表面積與體積公式計(jì)算可得；
（2）首先求出，再根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得與所成角即為與所成角，連接，利用勾股定理求出，再利用余弦定理計(jì)算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)槭菆A的直徑，則，
圓柱的表面積，
圓柱的體積；
【小問2詳解】
因?yàn)椋耘c所成角即為與所成角，
連結(jié)，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，
因?yàn)椋?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，
則
即直線與所成的角為.
20. 如圖，已知，，，直線．
（1）證明直線經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線等分面積，求直線的一般式方程；
（3）若，李老師站在點(diǎn)用激光筆照出一束光線，依次由（反射點(diǎn)為）、（反射點(diǎn)為）反射后，光斑落在點(diǎn)，求入射光線的直線方程．
【答案】（1）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）整理得到，從而得到方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出定點(diǎn)在直線上，且，由得到，設(shè)出，由向量比例關(guān)系得到點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程；
（3）作出輔助線，確定關(guān)于和的對稱點(diǎn)，得到，由對稱性得，寫成直線方程.
【小問1詳解】
直線可化為，
令，解得，故直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
因?yàn)?，，，所以?br>由題意得直線方程為，
故直線經(jīng)過的定點(diǎn)在直線上，所以，
設(shè)直線與交于點(diǎn)，所以，
即，所以，
設(shè)，所以，即，
所以，，所以，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，解得，
所以直線的方程為；
【小問3詳解】
設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)，
直線的方程為，即，
直線方程為，所以，
解得，所以，
由題意得四點(diǎn)共線，，由對稱性得，
所以入射光線的直線方程為，
即．
21. 如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示的五棱錐P-ABMND．
（1）在翻折過程中是否總有平面平面PAG？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)四棱錐P-MNDB體積最大時(shí)，求直線PB和平面MNDB所成角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，在線段PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角的平面角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）總有平面平面PAG；證明見解析
（2）
（3）存在；Q為線段PA的中點(diǎn)．
【解析】
【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面PAG.
（2）首項(xiàng)判斷出平面MNDB時(shí)，四棱錐P-MNDB體積最大，作出直線PB和平面MNDB所成角，解三角形求得其正弦值.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)二面角的余弦值求得，由此確定點(diǎn)的位置.
【小問1詳解】
在翻折過程中總有平面平面PAG，
證明如下：∵點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴，
又因?yàn)榱庑蜛BCD中∠DAB＝60°，∴是等邊三角形，
∵G是MN的中點(diǎn)，∴，
∵菱形ABCD的對角線互相垂直，∴，∴，
∵，平面PAG，平面PAG，
∴平面PAG，∴平面PAG，∵平面PBD，∴平面平面PAG．
【小問2詳解】
由題意知，四邊形MNDB為等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，，
所以等腰梯形MNDB的面積，
要使得四棱錐P-MNDB體積最大，只要點(diǎn)P到平面MNDB的距離最大即可，
∴當(dāng)平面MNDB時(shí)，點(diǎn)P到平面MNDB的距離的最大值為，
此時(shí)四棱錐P-MNDB體積的最大值為，
連接BG，則直線PB和平面MNDB所成角的為∠PBG，
在中，，，由勾股定理得：．
∴．
【小問3詳解】
假設(shè)符合題意的點(diǎn)Q存在．
以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA，GM，GP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)槠矫鍼MN，故平面PMN的一個(gè)法向量為，
設(shè)，∵，，
故，∴，，
平面QMN的一個(gè)法向量為，則，，
即，令，所以，
即，
則平面QMN的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，
所以，解得：，
故符合題意的點(diǎn)Q存在，且Q為線段PA的中點(diǎn)．
日均睡眠時(shí)間（小時(shí)）
8.5
9
9.5
10
學(xué)生數(shù)量
32
13
11
4

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