2021-2022學(xué)年上海市行知中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是兩個(gè)不同平面，是兩不同直線，下列命題中不正確的是（       ）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【分析】由線面垂直、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面，A正確；對(duì)于B，若，，則與可能平行或相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若一條直線垂直于兩個(gè)平面，則兩個(gè)平面平行，C正確；對(duì)于D，若一個(gè)平面包含另一個(gè)平面的垂線，則兩平面垂直，D正確.故選：B.2．已知兩條直線與不重合，則“與的斜率相等”是“與的平行”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“與的平行”則有“與的斜率相等”或“與的斜率均不存在”兩種情況，再判斷即可得解.【詳解】解：因?yàn)閮蓷l直線與不重合，由“與的斜率相等”可得“與的平行”；由“與的平行”則可得“與的斜率相等”或“與的斜率均不存在”，即“與的斜率相等”是“與的平行”的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線平行的充分必要條件，重點(diǎn)考查了直線的斜率，屬基礎(chǔ)題.3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則直接判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知：，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：A.4．若數(shù)列滿足：，，，使得對(duì)于，都有，則稱具有“三項(xiàng)相關(guān)性”下列說法正確的有（       ）①若數(shù)列是等差數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”②若數(shù)列是等比數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”③若數(shù)列是周期數(shù)列，則具有“三項(xiàng)相關(guān)性”④若數(shù)列具有正項(xiàng)“三項(xiàng)相關(guān)性”，且正數(shù)，滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，與的前項(xiàng)和分別為，，則對(duì)，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②【答案】B【分析】根據(jù)題目給出的“三項(xiàng)相關(guān)性”的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】①若為等差數(shù)列，則有即，①正確②，，（）即易知，顯然成立時(shí)，，取有，也成立，所以②正確③周期數(shù)列：0，0，1，0，0，1，時(shí)，，顯然不成立，③錯(cuò)誤④即，∴，易知即，，故：，④正確綜上：①②④正確故選：B二、填空題5．若直線與互相垂直，則______.【答案】【分析】根據(jù)兩個(gè)直線垂直的公式代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得，故答案為：.6．已知圓錐的表面積為，其側(cè)面展開扇形的圓心角大小為，則這個(gè)圓錐的底面半徑為______.【答案】2【分析】根據(jù)圓錐展開圖的特征列出關(guān)于半徑，母線長的方程組，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意，有①，由于側(cè)面展開扇形的圓心角大小為，所以，即②，由①②得，，即圓錐的底面半徑為2，故答案為：2.7．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，的前項(xiàng)和為，若，則公差______.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合題意列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，可得，即，解得.故答案為：.8．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為______.【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，即可得到答案.【詳解】，   故答案為：.9．設(shè)、是橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，化簡得，進(jìn)而得到，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當(dāng)垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，此時(shí)，所以的最大值為.故答案為：.10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則______.【答案】【分析】求導(dǎo)即得解.【詳解】解：由題得所以.故答案為：11．已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是____．【答案】3【詳解】∵拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離等于到拋物線的焦點(diǎn)的距離.∴P到直線和直線的距離之和的最小值是到直線的距離,即點(diǎn)睛：求拋物線上點(diǎn)到拋物線外一直線與準(zhǔn)線（或與準(zhǔn)線平行的直線）的距離之和的最小值問題，通常把拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，從而所求距離最小值為焦點(diǎn)到直線的距離．12．已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為______.【答案】【分析】運(yùn)用“點(diǎn)差法”即可求得答案.【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，所以.又.于是，即所求直線的斜率為.故答案為：.13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)，若直線的斜率為，且，則橢圓的離心率為________．【答案】．【解析】由直線的斜率可知其傾斜角的正切值，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求得其余弦值，同時(shí)由等腰三角形及橢圓的定義表示，最后在焦點(diǎn)三角形中由余弦定理構(gòu)建齊次方程求得離心率．【詳解】設(shè)，由直線的斜率為，知，且，即得，由及橢圓定義知，由余弦定理即可得，，即，化簡得，故或3（舍）即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由橢圓的簡單幾何性質(zhì)構(gòu)建齊次方程，進(jìn)而求離心率，屬于中檔題．14．已知數(shù)列滿足，對(duì)任何正整數(shù)均有，，設(shè)，記，則______.【答案】2【分析】由已知兩個(gè)式子相乘或相加得到數(shù)列和是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式，并代入求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求，然后再求極限.【詳解】①，②，兩式相加可得，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)，，兩式相乘可得，數(shù)列是公比為2，首項(xiàng)的等比數(shù)列，，，，則故答案為：2三、解答題15．如圖，在直三棱柱中，已知，，.(1)求四棱錐的體積；(2)求直線與平面所成的角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意可證面，則四棱錐的體積為，即可得到答案.（2）取的中點(diǎn)為，連接，，可證得為直線與平面所成的角，設(shè)為 ，則，即可得到答案.【詳解】(1)由題意知，三棱柱為直三棱柱，故面 面 ， ，面面(2)取的中點(diǎn)為，連接，     由題意知面，面為等腰直角三角形，為的中點(diǎn) 面面為直線與平面所成的角，設(shè)為   故直線與平面所成的角的余弦值為.16．（1）團(tuán)隊(duì)在點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)10千米處設(shè)有、兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)滿足千米，可知在、為焦點(diǎn)的雙曲線上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為軸正半軸，北側(cè)為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在北偏東60°處，求點(diǎn)坐標(biāo)以及右焦點(diǎn)到漸近線的距離.（2）團(tuán)隊(duì)又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有、兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)千米，千米，求（精確到1千米）和點(diǎn)位置（精確到1°）【答案】（1）；右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（2）13千米，東偏北【分析】（1）由雙曲線的定義求得雙曲線方程，聯(lián)立直線方程即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離即可求得右焦點(diǎn)到漸近線的距離.（2）先求出雙曲線方程，聯(lián)立雙曲線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式和正切的定義計(jì)算和點(diǎn)位置即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線的定義知：，則，故雙曲線的方程為，易知，聯(lián)立可得，解得，，故，又雙曲線漸近線，右焦點(diǎn)，故右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（2）由知在、為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)該雙曲線方程為，則，解得，故雙曲線方程為，由知在、為焦點(diǎn)的雙曲線上，同理求得雙曲線方程為，聯(lián)立兩方程得，即，千米，，，點(diǎn)位置為東偏北.17．已知圓，定點(diǎn)，其中為正實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于圓上任意一點(diǎn)均有成立（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，得到即，結(jié)合，得到，根據(jù)因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，得出方程組，即可求解.（2）求得直線的方程為，設(shè)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)都在圓，得出方程組化簡得到，結(jié)合的方程組有解，轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系，得到關(guān)于的不等式組，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(1)解：設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，可得，即，又由時(shí)，圓，即，可得，代入上式可得，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，所以，又由，解得.(2)解：當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)直線的方程為，設(shè)，其中，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>都在圓，可得，即，由關(guān)于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，半徑的圓有公共點(diǎn)，所以，即，又由點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，所以對(duì)所有成立，由在上的值域?yàn)?/span>，所以，即，又由線段與圓無公共點(diǎn)，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)(1)求橢圓的方程(2)已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由；(3)若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得(3)【分析】（1）根據(jù)左頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和橢圓之間關(guān)系可直接求得結(jié)果；（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)坐標(biāo)；由方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)存在定點(diǎn)，利用可得，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得到，令可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)橫坐標(biāo)；根據(jù)平行關(guān)系可確定，整理可得，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】(1)為橢圓的左頂點(diǎn)，，又，，，橢圓的方程為：.(2)設(shè)直線，由得：，設(shè)，則，解得：，，即，為的中點(diǎn)，；令，解得：，；假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則，，整理可得：，令，解得：，即，存在定點(diǎn)，使得.(3)設(shè)直線，由得：，；，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、定點(diǎn)問題和最值問題的求解；本題求解最值的關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.19．設(shè)集合是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列的集合：①；②存在常數(shù)，使得(1)已知，且，求的最小值(2)是否存在，且滿足恒成立？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)的最小值為；(2)不存在符合條件的數(shù)列，理由見解析；(3)，.【分析】(1)由數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的最大值和最小值由此可求的最小值；(2)由條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并檢驗(yàn)其是否滿足條件，(3)由條件求數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合條件求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，由已知，所以，，設(shè)，則，，，所以，，所以，所以，故，所以，，所以，所以的最小值為，(2)因?yàn)?/span>，所以，所以，設(shè)，令，則，所以，記，所，，所以，，所以，所以，所以又，所以或當(dāng)， 取為奇數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減，其取值隨的增大趨近與0，所以不存在使得滿足，(3)因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，令，則，所以，記，所，，所以，，所以，所以，所以因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，其取值隨的增大趨近與0，若，則單調(diào)遞增，與條件相矛盾，若，所以，則單調(diào)遞減，與矛盾，當(dāng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則的取值隨的增大趨近與0，與矛盾，又，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵由條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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