1．已知向量，滿足：，，且，則||＝（ ）
A．B．C．D．1
2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若S5＝S10，a5＝1，則a1＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
3．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），則（ ）
A．“⊥”的必要條件是“x＝﹣3”
B．“∥”的必要條件是“x＝﹣3”
C．“⊥”的充分條件是“x＝0”
D．“∥”的充分條件是“x＝﹣1+”
4．已知a，b，c成等差數(shù)列，直線ax+by+c＝0與圓C：x2+（y+2）2＝5交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為（ ）
A．1B．3C．4D．2
5．設(shè)，是向量，則“（+）?（﹣）＝0”是“＝﹣或＝”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（ ）
A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1
7．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，則S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
9．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1＝（an﹣6）3+6，下列說法正確的是（ ）
A．若a1＝3，則{an}是遞減數(shù)列，?M∈R，使得an＞M
B．若a1＝5，則{an}是遞增數(shù)列，?M≤6，使得an＜M
C．若a1＝7，則{an}是遞減數(shù)列，?M＞6，使得an＞M
D．若a1＝9，則{an}是遞增數(shù)列，?M∈R，使得an＜M
10．向量||＝||＝1，||＝，且+＝，則cs?﹣，﹣?＝（ ）
A．B．C．D．
11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為{an}前n項(xiàng)和，S5＝5S3﹣4，則S4＝（ ）
A．7B．9C．15D．30
12．已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|＝，則?的最大值為（ ）
A．B．C．1+D．2+
二．填空題（共6小題）
13．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，則S10＝ ．
14．在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為1．E為線段CD的三等分點(diǎn)，＝，＝λ+μ，則λ+μ＝ ；若F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則的最小值為 ．
15．設(shè){an}與{bn}是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列．記集合M＝{k|ak＝bk，k∈N*}，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；
②若{an}與{bn}均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；
③若{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；
④若{an}為遞增數(shù)列，{bn}為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
16．已知向量，滿足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，則||＝ ．
17．在△ABC中，BC＝1，∠A＝60°，，．記＝，＝，用和表示＝ ；若＝，則?的最大值為 ．
18．已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝﹣8，則a7＝ ．
三．解答題（共5小題）
19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn＝3an+4．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
20．已知數(shù)列{an}是公比大于0的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S2＝a3﹣1．
（1）求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn；
（2）設(shè)bn＝，b1＝1，其中k是大于1的正整數(shù)．
（i）當(dāng)n＝ak+1時(shí)，求證：bn﹣1≥ak?bn；
（ii）求．
21．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1．令bn＝，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99﹣T99＝99，求d．
22．已知{an}為等差數(shù)列，bn＝，記Sn，Tn為{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)n＞5時(shí)，Tn＞Sn．
23．已知數(shù)列{an}中，a2＝1，設(shè)Sn為{an}前n項(xiàng)和，2Sn＝nan．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．【解答】解：向量，滿足，，且，
可得，，
可得，
所以||＝．
故選：B．
2．【解答】解：S5＝S10，
則S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＝0，解得a8＝0，
又因?yàn)閍5＝1，所以公差，
故a1＝a8．
故選：B．
3．【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2），
若，
則x（x+1）+2x＝0，解得x＝0或﹣3，
故“⊥”的充分條件是“x＝0”，故A錯(cuò)誤，C正確；
若，
則2（x+1）＝x2，解得x＝，故BD錯(cuò)誤．
故選：C．
4．【解答】解：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a﹣2b+c＝0，
所以直線ax+by+c＝0恒過P（1，﹣2），
因?yàn)镻（1，﹣2）在圓C：x2+（y+2）2＝5內(nèi)，
當(dāng)PC⊥AB時(shí)，|AB|取得最小值，此時(shí)|PC|＝1，．
故選：C．
5．【解答】解：（+）?（﹣）＝0，
則，即，
不能推出＝或＝﹣，充分性不成立，
＝或＝﹣能推出，必要性成立，
故“（+）?（﹣）＝0”是“＝或＝﹣”的必要不充分條件．
故選：B．
6．【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），
∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），
由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，
整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．
故選：D．
7．【解答】解：若{an}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
則Sn＝na1+d，
即＝a1+d＝n+a1﹣，
故{}為等差數(shù)列，
即甲是乙的充分條件．
反之，若{}為等差數(shù)列，則可設(shè)﹣＝D，
則＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，
當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，
上兩式相減得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，
當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，
則an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常數(shù)），
所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
即甲是乙的必要條件．
綜上所述，甲是乙的充要條件．
故本題選：C．
8．【解答】解：等比數(shù)列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，顯然公比q≠1，
設(shè)首項(xiàng)為a1，則＝﹣5①，＝②，
化簡(jiǎn)②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合題意，舍去），
代入①得＝，
所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．
故選：C．
9．【解答】解：法（i）對(duì)原式進(jìn)行變形，得an+1﹣an＝[（an﹣6）2﹣1]（an﹣6），
當(dāng)a1＝3，則a2﹣a1＜0，a2＜3，
設(shè)ak＜3（k∈Z，k≥2），則ak+1﹣ak＜﹣3，所以{an}是遞減數(shù)列，
當(dāng)n→+∞，an→﹣∞，A錯(cuò)誤，同理可證明D錯(cuò)誤，
當(dāng)a1＝5，則a2﹣a1＞0，即a2＞5，又因?yàn)椋╝1﹣6）3＜0，所以5＜a2＜6，
假設(shè)5＜ak＜6（k∈Z，k≥2），則ak+1﹣ak＞0，即ak+1＞5，又因?yàn)椋╝k﹣6）3＜0，所以5＜ak+1＜6，
所以當(dāng)n→+∞，an→6，B正確，
對(duì)于C，當(dāng)a1＝7，可得a2＝+6，a3＝+6，可得{an}是遞減數(shù)列，an＝6，
故不存在M＞6，an＞M恒成立，C錯(cuò)誤．
法（ii）an+1＝（an﹣6）3+6，可得an+1﹣6＝（an﹣6）3，n∈N+，
所以a2﹣6＝（a1﹣6）3，a3﹣6＝（a2﹣6）3＝[（a1﹣6）3]3＝××（a1﹣6）32，
a4﹣6＝×××（a1﹣6）33，
歸納猜想：an﹣6＝×（a1﹣6＝?（a1﹣6，
當(dāng)a1＝3時(shí)，an﹣6＝?（﹣3＝﹣2×（，即an＝?（﹣3＝﹣2×（+6，所以{an}是遞減數(shù)列，無邊界；
a1＝5時(shí)，an﹣6＝?（﹣1＝﹣2×（，即an＝﹣2×（+6＝2[3﹣（]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得{an}是遞增，有邊界，所以B正確；
a1＝7時(shí)，an﹣6＝?＝2×（，所以{an}是遞減數(shù)列，有邊界；所以C不正確；
a1＝9時(shí)，an﹣6＝?＝2×（，所{以an}是遞增數(shù)列，無邊界；所以D不正確；
故選：B．
10．【解答】解：因?yàn)橄蛄縷|＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，
所以＝++2?，
即2＝1+1+2×1×1×cs＜，＞，
解得cs＜，＞＝0，
所以⊥，
又﹣＝2+，﹣＝+2，
所以（﹣）?（﹣）＝（2+）?（+2）＝2+2+5?＝2+2+0＝4，
|﹣|＝|﹣|＝＝＝，
所以cs?﹣，﹣?＝＝＝．
故選：D．
11．【解答】解：等比數(shù)列{an}中，設(shè)公比為q，
a1＝1，Sn為{an}前n項(xiàng)和，S5＝5S3﹣4，顯然q≠1，
（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），
可得＝5?﹣4，
解得q2＝4，即q＝2，
S4＝＝＝15．
故選：C．
12．【解答】解：如圖，設(shè)∠OPC＝α，則，
根據(jù)題意可得：∠APO＝45°，
∴
＝
＝cs2α﹣sinαcsα
＝
＝，又，
∴當(dāng)，α＝，cs（）＝1時(shí)，
取得最大值．
故選：A．
二．填空題（共6小題）
13．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a3+a4＝2a1+5d＝7，3a2+a5＝4a1+7d＝5，
解得，d＝3，a1＝﹣4，
則S10＝10×（﹣4）+＝95．
故答案為：95．
14．【解答】解：由題意可知，＝＝＝﹣＝﹣＝，
∴，μ＝1，
∴λ+μ＝，
如圖：
設(shè)＝m（0≤m≤1），
則＝＝﹣＝﹣+m（）＝（﹣1），
∵G為AF中點(diǎn)，
∴＝＝﹣＝﹣[（﹣1）]＝（），
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴＝1，＝0，
∴＝[（﹣1）]?[（）]＝（m﹣1）（m﹣）+m（）＝，
對(duì)于函數(shù)y＝，對(duì)稱軸為m＝，
∴函數(shù)y＝在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)y＝取得最小值﹣，
即的最小為﹣．
故答案為：；﹣．
15．【解答】解：對(duì)于①，{an}，{bn}均為等差數(shù)列，M＝{k|ak＝bk}，{an}，{bn}不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，
故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以M中至多一個(gè)元素，故①正確；
對(duì)于②，令，，滿足{an}，{bn}均為等比數(shù)列，
但當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)M中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，設(shè)，an＝kn+b（k≠0），
若M中至少四個(gè)元素，則關(guān)于n的方程Aqn＝kn+b至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，
若q＜0，q≠±1，考慮關(guān)于n的方程Aqn＝kn+b奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，
當(dāng)Aqn＝kn+b有偶數(shù)解，此方程即為A|q|n＝kn+b，
方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)Akln|q|＞0，
否則Akln|q|＜0，因?yàn)閥＝A|q|n，y＝kn+b單調(diào)性相反，
方程A|q|n＝kn+b至多一個(gè)偶數(shù)解，
當(dāng)Aqn＝kn+b有奇數(shù)解，此方程即為﹣A|q|n＝kn+b，
方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)﹣Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，
否則Akln|q|＞0，
因?yàn)閥＝﹣A|q|n，y＝kn+b單調(diào)性相反，
方程A|q|n＝kn+b至多一個(gè)奇數(shù)解，
因?yàn)锳kln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同時(shí)成立，
若q＞0，q≠1，
則由y＝Aqn和y＝kn+b的散點(diǎn)圖可得關(guān)于n的方程Aqn＝kn+b至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；
故Aqn＝kn+b不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確．
對(duì)于④，因?yàn)閧an}為單調(diào)遞增，{bn}為遞減數(shù)列，M＝{k|ak＝bk}，{an}，{bn}不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，
前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，
兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確．
故答案為：①③④．
16．【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，
∴，，
∴，∴＝3，
∴．
故答案為：．
17．【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，＝，＝，
則＝＝；
設(shè)，，
由余弦定理可得：1＝x2+y2﹣xy，
又x2+y2≥2xy，
即xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，
又＝，
則＝，
則
＝
＝
＝
＝，
即?的最大值為．
故答案為：；．
18．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}，
∴a2a4a5＝a2a3a6＝a3a6，解得a2＝1，
而a9a10＝a2q7a2q8＝（a2）2q15＝﹣8，可得q15＝（q5）3＝﹣8，
即q5＝﹣2，
a7＝a2?q5＝1×（﹣2）＝﹣2．
故答案為：﹣2．
三．解答題（共5小題）
19．【解答】解：（1）因?yàn)?Sn＝3an+4，
所以4Sn+1＝3an+1+4，
兩式相減可得4an+1＝3an+1﹣3an，
即an+1＝﹣3an，又因?yàn)?S1＝3a1+4，
所以a1＝4，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公比為﹣3的等比數(shù)列，
所以；
（2），
所以，
3?33+?+n?3n），
兩式相減可得：﹣4n）3n﹣2，
所以．
20．【解答】解：（1）a1＝1，S2＝a3﹣1＝a1+a2，
可得1+q＝q2﹣1，整理得q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2或q＝﹣1，
因?yàn)閿?shù)列{an}的公比大于0，所以q＝2，
所以；
（2）（i）證明：由（1）可知，且k∈N*，k≥2，
當(dāng)時(shí)，則，即ak＜n﹣1＜ak+1，
可知，bn＝k+1，
bn﹣1＝+（ak+1﹣ak﹣1）?2k＝k+2k（2k﹣1﹣1）＝k（2k﹣1），
可得bn﹣1﹣akbn＝k（2k﹣1）﹣（k+1）2k﹣1＝（k﹣1）2k﹣1﹣k≥2（k﹣1）﹣k＝k﹣2≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝2時(shí)，等號(hào)成立，
所以bn﹣1≥ak?bn；
（ii），
若n＝1，則S1＝1，b1＝1，
若n≥2，則，
當(dāng)2k﹣1＜i≤2k﹣1時(shí)，bi﹣bi﹣1＝2k，可知{bi}為等差數(shù)列，
可得bi＝k?2k﹣1+2k＝k?4k﹣1＝，
＝1+[5×42﹣2×4+8×43﹣5×42+...+（3n﹣1）4n﹣（3n﹣4）4n﹣1]＝，
且n＝1，符合上式，綜上所述：．
21．【解答】解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，
∴根據(jù)題意可得，
∴，
∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，
∴解得d＝3，∴a1＝d＝3，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n，n∈N*；
（2）∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝，
∴根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)an＝tn，則，且d＝t＞1；
或設(shè)an＝k（n+1），則，且d＝k＞1，
①當(dāng)an＝tn，，d＝t＞1時(shí)，
則S99﹣T99＝﹣＝99，
∴，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，
∴解得d＝t＝；
②當(dāng)an＝k（n+1），，d＝k＞1時(shí)，
則S99﹣T99＝＝99，
∴，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，
∴此時(shí)k無解，
∴綜合可得d＝．
22．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
Sn，Tn為{an}{bn}的前n項(xiàng)和，S4＝32，T3＝16，
則，即，解得，
故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2）證明：由（1）可知，，
，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n＞5，
Tn＝﹣1+3+…+2（n﹣1）﹣3+14+22+…+4n+6
＝+＝＝，
，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn＝＝，
Tn﹣Sn＝，
故原式得證．
23．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝a1，解得a1＝0，
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，
∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an，
當(dāng)n≥3時(shí)，可得＝，
∴an＝××?××a2＝×××?××1＝n﹣1，
當(dāng)n＝2或n＝1時(shí)，a1＝0，a2＝1適合上式，
∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝n﹣1；
（2）由（1）可得＝，
∴Tn＝+++?+，∴Tn＝+++?+，
∴Tn＝+++?+﹣＝﹣＝1﹣﹣，
∴Tn＝2﹣．明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同

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