?專(zhuān)題過(guò)關(guān)檢測(cè)三　數(shù)列
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2021·內(nèi)蒙古包頭一模)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1-an-2=0,則a5+a6+…+a14=(　　)
A.180 B.190 C.160 D.120
2.(2021·北京朝陽(yáng)期末)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a3=9,則log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=(　　)
A.52 B.53 C.10 D.15
3.(2021·湖北荊州中學(xué)月考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S10S5=12,則S15S5=(　　)
A.12 B.13 C.23 D.34
4.(2021·北京師大附屬中學(xué)模擬)我國(guó)明代著名樂(lè)律學(xué)家明宗室王子朱載堉在《律學(xué)新說(shuō)》中提出十二平均律,即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤(pán)上,一個(gè)八度音程從一個(gè)c鍵到下一個(gè)c1鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵(如圖),從左至右依次為:c,#c,d,#d,e,f,#f,g,#g,a,#a,b,c1的音頻恰成一個(gè)公比為122的等比數(shù)列的原理,也即高音c1的頻率正好是中音c的2倍.已知標(biāo)準(zhǔn)音a的頻率為440 Hz,則頻率為2202 Hz的音名是(　　)

A.d B.f C.e D.#d
5.(2021·四川成都二診)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則T20的值為(　　)
A.1939 B.3839
C.2041 D.4041
6.(2021·河南新鄉(xiāng)二模)一百零八塔位于寧夏吳忠青銅峽市,是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群,是中國(guó)現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔數(shù)而得名,塔群隨山勢(shì)鑿石分階而建,由下而上逐層增高,依山勢(shì)自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,…,該數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始成等差數(shù)列,則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為(　　)

A.39 B.45
C.48 D.51
7.(2021·陜西西安鐵一中月考)在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)的整數(shù),則其余整數(shù)的和是(　　)
A.3 928 B.4 024 C.4 920 D.4 924
8.已知函數(shù)f(n)=n2,n為奇數(shù),-n2,n為偶數(shù),且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于(　　)
A.0 B.100 C.-100 D.10 200
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.(2021·遼寧沈陽(yáng)三模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=4n-1+t,則(　　)
A.首項(xiàng)a1不確定 B.公比q=4
C.a2=3 D.t=-14
10.(2021·山東臨沂模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A.a5=1 B.Sn的最小值為S3
C.S1=S6 D.Sn存在最大值
11.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前30項(xiàng)和為390,a1=5,bn=2an,對(duì)于數(shù)列{an},{bn},下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A.b10=8b5 B.{bn}是等比數(shù)列
C.a1b30=105 D.a3+a5+a7a2+a4+a6=209193
12.(2021·廣東廣州一模)在數(shù)學(xué)課堂上,教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列:在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和,形成新的數(shù)列,再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造,第1次得到數(shù)列1,3,2;第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到數(shù)列1,x1,x2,x3,…,xk,2.記an=1+x1+x2+…+xk+2,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(　　)
A.k+1=2n B.an+1=3an-3
C.an=32n2+3n D.Sn=343n+1+2n-3
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(2021·山西太原檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中,若a2,a2 020為方程x2-10x+16=0的兩根,則a1+a1 011+a2 021等于　　　　　.?
14.(2021·江蘇如東檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2,則數(shù)列{log2an}的前n項(xiàng)和Tn=　　　　　.?
15.將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為　　　　　.?
16.(2021·新高考Ⅰ,16)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20 dm×12 dm的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240 dm2,對(duì)折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180 dm2,以此類(lèi)推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為　　　　;如果對(duì)折n次,那么∑k=1nSk=　　　　dm2.?
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.(10分)(2021·海南?？谀M)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an},a4=116,a5a7=256.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{|log2an|}的前n項(xiàng)和.




18.(12分)(2021·全國(guó)Ⅱ,理18)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;③a2=3a1.





19.(12分)(2021·山東濟(jì)寧二模)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列,滿足a3是2a1,3a2的等差中項(xiàng),a4=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(-1)nlog2a2n+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.






20.(12分)(2021·山東臨沂一模)在以下三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解答該問(wèn)題.
①Snn=an+12,②an+1an=2Sn,③an2+an=2Sn.
已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且滿足　　　　　.?
(1)求an;
(2)若bn=(an+1)·2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.







21.(12分)(2021·山東泰安一中月考)某市為加強(qiáng)環(huán)保建設(shè),提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益,計(jì)劃用若干年更換1萬(wàn)輛燃油型公交車(chē),每更換一輛新車(chē),淘汰一輛舊車(chē),更換的新車(chē)為電力型車(chē)和混合動(dòng)力型車(chē).今年年初投入了電力型公交車(chē)128輛,混合動(dòng)力型公交車(chē)400輛,計(jì)劃以后電力型車(chē)每年的投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型車(chē)每年比上一年多投入a輛.
(1)求經(jīng)過(guò)n年,該市被更換的公交車(chē)總數(shù)F(n);
(2)若該市計(jì)劃用7年的時(shí)間完成全部更換,求a的最小值.






22.(12分)(2021·廣東廣州檢測(cè))已知數(shù)列{an}滿足a1=23,且當(dāng)n≥2時(shí),a1a2…an-1=2an-2.
(1)求證:數(shù)列11-an是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn=12a1a2…an,Sn=T12+T22+…+Tn2,求證:當(dāng)n∈N*時(shí),an+1-230,所以a6=16.
所以q2=a6a4=256,即q=16.
所以an=a6qn-6=16×16n-6=16n-5.
(2)由(1)可知log2an=log216n-5=4n-20,
設(shè)bn=|log2an|=|4n-20|,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.
①當(dāng)n≤5,且n∈N*時(shí),Tn=n(16+20-4n)2=18n-2n2;
②當(dāng)n≥6,且n∈N*時(shí),Tn=T5+(4+4n-20)(n-5)2=18×5-2×52+(2n-8)(n-5)=2n2-18n+80.
綜上所述,Tn=18n-2n2,n≤5,且n∈N*,2n2-18n+80,n≥6,且n∈N*.
18.證明: 若選①②?③,
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1,數(shù)列{Sn}的公差為d2.
∵當(dāng)n∈N*時(shí),an>0,∴d1>0,d2>0.
∴Sn=na1+n(n-1)d12=d12n2+a1-d12n.
又Sn=S1+(n-1)d2,
∴Sn=a1+d22(n-1)2+2a1d2(n-1)=d22n2+(2a1d2-2d22)n+d22-2a1d2+a1,
∴d12=d22,a1-d12=2a1d2-2d22,d22-2a1d2+a1=0,∴d22=d12,d2=a1,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1.
若選①③?②,
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍2=3a1,所以a1+d=3a1,則d=2a1,
所以Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以Sn?Sn-1=na1-(n-1)a1=a1.
所以{Sn}是首項(xiàng)為a1,公差為a1的等差數(shù)列.
若選②③?①,
設(shè)數(shù)列{Sn}的公差為d,則S2?S1=d,
即a1+a2?a1=d.
∵a2=3a1,∴4a1?a1=d,即d=a1,
∴Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)a1=na1,
即Sn=n2a1,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,
當(dāng)n=1時(shí),a1符合式子an=(2n-1)a1,
∴an=(2n-1)a1,n∈N*,∴an+1-an=2a1,
即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
19.解: (1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0).
因?yàn)閍3是2a1,3a2的等差中項(xiàng),所以2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a1+3a1q,因?yàn)閍1≠0,所以2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去).
所以a4=a1q3=8a1=16,解得a1=2.所以an=2×2n-1=2n.
(2)由(1)可知a2n+1=22n+1,
所以bn=(-1)nlog2a2n+1=(-1)nlog222n+1=(-1)n(2n+1),
所以Tn=(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n(2n+1),
-Tn=(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1),
所以2Tn=-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2×1-(-1)n-12+(-1)n(2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n(2n+1)=-2+(2n+2)(-1)n,
所以Tn=(n+1)(-1)n-1.
20.解: (1)若選①,則2Sn=nan+1.
當(dāng)n=1時(shí),2S1=a2,又S1=a1=1,所以a2=2.
當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=(n-1)an,所以2an=nan+1-(n-1)an,
即(n+1)an=nan+1,所以an+1n+1=ann(n≥2).
又a22=1,所以當(dāng)n≥2時(shí),ann=1,即an=n.
又a1=1符合上式,所以an=n.
若選②,則當(dāng)n=1時(shí),2S1=a2a1,可得a2=2.
當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=anan-1,可得2an=anan+1-anan-1.
由an>0,得an+1-an-1=2.
又a1=1,a2=2,所以{a2n}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,所以an=n.
若選③,因?yàn)閍n2+an=2Sn,
所以當(dāng)n≥2時(shí),an-12+an-1=2Sn-1,兩式相減得an2+an-an-12-an-1=2an,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0.
由an>0,得an-an-1-1=0,即an-an-1=1,所以{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n.
(2)由(1)知bn=(n+1)·2n,
所以Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n,
2Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,
兩式相減,得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1=4+4(1-2n-1)1-2-(n+1)·2n+1=4-4+2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以Tn=n·2n+1.
21.解: (1)設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車(chē)、混合動(dòng)力型公交車(chē)的數(shù)量,依題意,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為128,公比為1+50%=32的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為400,公差為a的等差數(shù)列.
所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=128×1-32n1-32=25632n-1,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=400n+n(n-1)2a.
所以經(jīng)過(guò)n年,該市被更換的公交車(chē)總數(shù)F(n)=Sn+Tn=25632n-1+400n+n(n-1)2a.
(2)若用7年的時(shí)間完成全部更換,則F(7)≥10 000,
即256327-1+400×7+7×62a≥10 000,即21a≥3 082,所以a≥3 08221.
又a∈N*,所以a的最小值為147.
22.證明: (1)因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí),a1a2…an-1=2an-2,所以a1a2…an=2an+1-2,兩式相除,可得an=1an+1-11an-1,
所以11-an=an+11-an+1=11-an+1-1,
所以11-an+1?11-an=1(n≥2).
又a1=23,所以a2=34,11-a1=3,11-a2=4,
所以11-a2?11-a1=1,
所以11-an+1?11-an=1(n∈N*),所以數(shù)列11-an是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列.
所以11-an=3+(n-1)×1=n+2,
所以an=n+1n+2.
(2)因?yàn)門(mén)n=12a1a2…an=12×23×34×…×n+1n+2=1n+2,
所以Tn2=1(n+2)2>1(n+2)(n+3)=1n+2?1n+3,
所以Sn=T12+T22+…+Tn2>13?14+14?15+…+1n+2?1n+3=13?1n+3=1-1n+3?23=n+2n+3?23=an+1-23,所以當(dāng)n∈N*時(shí),an+1-23

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