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\l "_Tc161755578" 題型一 切線的判定
\l "_Tc161755579" 題型二 圓中求線段長度
\l "_Tc161755580" 題型三 圓中的最值問題
\l "_Tc161755581" 題型四 圓中的陰影部分面積
\l "_Tc161755582" 題型五 圓中的比值（相似）問題
題型一 切線的判定
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點恰使，求證：直線與相切．

【變式1-1】（2023-遼寧-中考真題）如圖，內接于，是的直徑，平分交于點E，過點E作，交的延長線于點F．

求證：與相切；
【變式1-2】（2023-遼寧-中考真題）如圖，是的直徑，點在上，，點在線段的延長線上，且．

(1)求證：EF與相切；
(2)若，求的長．
【變式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點，點C為的中點，過點C作，交的延長線于點D，延長交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；
題型二 圓中求線段長度
【例2】（2023-西藏-中考真題）如圖，已知為的直徑，點C為圓上一點，垂直于過點C的直線，交于點E，垂足為點D，平分．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【變式2-1】（2023-內蒙古-中考真題）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點，點是的中點，連接，過點的直線垂直于的延長線于點，交的延長線于點．
(1)求證：為⊙的切線；
(2)若，，求的長．
【變式2-2】（2023-遼寧大連-中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點為上一點，為的平分線交于點，連接交于點E．

(1)求的度數(shù)；
(2)如圖2，過點A作的切線交延長線于點，過點作交于點．若，，求的長．
【變式2-3】（2023-湖北恩施-中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點O為的中點，連接交于點E， 與相切于點D．
(1)求證：是的切線；
(2)延長交于點G，連接交于點F，若，求的長．
題型三 圓中的最值問題
【例3】（2023-湖南長沙-三模）如圖1：在中，為直徑，C是上一點，.過O分別作于點H，于點D，點E、F分別在線段上運動（不含端點），且保持．

(1)______；四邊形是______（填矩形/菱形/正方形）； ______；
(2)當F和D不重合時，求證：；
(3)①在圖1中，是的外接圓，設面積為S，求S的最小值，并說明理由；
②如圖2：若Q是線段上一動點，且，，是四邊形的外接圓，則當n為何值時，的面積最??？最小值為多少？請直接寫出答案．
【變式3-1】（2023-安徽-模擬預測）如圖，半圓的直徑，弦，連接．
(1)求證：；
(2)當?shù)拿娣e最大時，求的度數(shù)．
【變式3-2】（2023-四川-中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關系是 ；
(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；
(3)如圖3，若，，，當?shù)闹底畲髸r，求此時的值．
【變式3-3】（2023-陜西西安-模擬預測）【問題情境】
如圖，在中，，，，則的外接圓的半徑值為______；
【問題解決】
如圖，點為正方形內一點，且，若，求的最小值；
【問題解決】
如圖，正方形是一個邊長為的書展區(qū)域設計圖，為大門，點在邊上，，點是正方形內設立的一個活動治安點，到、的張角為，即，點、為另兩個固定治安點，現(xiàn)需在展覽區(qū)域內部設置一個補水供給點，使得到、、三個治安點的距離和最小，試求的最小值．（結果精確到，參考數(shù)據，）

題型四 圓中的陰影部分面積
【例4】（2024-西藏拉薩-一模）如圖，等腰的頂點A，C 在上， 邊經過圓心0且與 交于D 點，.
(1)求證：是的切線；
(2)若，求陰影部分的面積
【變式4-1】（2023-陜西西安-一模）如圖，正六邊形內接于．
(1)若P是上的動點，連接，，求的度數(shù)；
(2)已知的面積為，求的面積．
【變式4-2】（2023-浙江衢州-中考真題）如圖，在中，為邊上一點，連結．以為半徑的半圓與邊相切于點，交邊于點．
(1)求證：．
(2)若．
①求半圓的半徑．
②求圖中陰影部分的面積．
【變式4-3】（2023-遼寧阜新-中考真題）如圖，是的直徑，點C，D是上異側的兩點，，交的延長線于點E，且平分．

(1)求證：是的切線．
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
【變式4-4】（2023-山東棗莊-中考真題）如圖，為的直徑，點C是的中點，過點C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；
(2)若，求的長；
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．
題型五 圓中的比值（相似）問題
【例5】（2024-陜西西安-模擬預測）如圖，為的直徑， 點 D為上一點， 過點 B作切線交延長線于點 C，平分，交于F．
(1)求證：；
(2)若半徑為2，，求的長度．
【變式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如圖，是的直徑，點，在上，平分，交于點，連接．

(1)求證：．
(2)當，且時，求線段的長．
(3)點為線段上一點，且平分，若，，求的長．
【變式5-2】（2024-陜西西安-一模）如圖，是的直徑與相切于點C，與的延長線交于點D，連接，點E在線段上，過點E作的垂線交的延長線于點F，交于點G．
(1)求證：；
(2)若，點E為的中點，求的長．
【變式5-3】（2024-陜西西安-一模）如圖，是的直徑，點在直徑上（與不重合），且，連接，與交于點，在上取一點，使與相切．
(1)求證：；
(2)若是的中點，，求的長．
一、解答題
1．（2024-云南-模擬預測）如圖，四邊形內接于，對角線是的直徑，過點作的垂線交的延長線于點，為的中點，連接，，與交于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
2．（2024-湖北黃岡-模擬預測）如圖，平分，與⊙O相切于點，延長交于點，過點作，垂足為．
(1)求證：是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為4，，求的長．
3．（2024-江蘇淮安-模擬預測）如圖，已知直線l與相離，于點A，交于點 P，點 B 是上一點，連接并延長，交直線l于點 C，使得．
(1)判斷直線與的位置關系并說明理由；
(2)求線段 的長．
4．（2024-四川涼山-模擬預測）如圖，是的直徑，點P是延長線上一點，且與相切于點A，弦于點F，過D點作于點E．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑和的長．
5．（2024-四川涼山-模擬預測）如圖，在中，，以為直徑的交于點D，E為的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求長．
6．（2024-山東泰安-一模）如圖，是的兩條直徑，過點C的的切線交的延長線于點E，連接．
(1)求證：；
(2)若B是的中點，，求的半徑．
7．（2024-福建南平-一模）如圖1，點是的邊上一點．，，是的外接圓，點在上（不與點，點重合），且．

(1)求證：是直角三角形；
(2)如圖2，若是⊙的直徑，且，折線是由折線繞點順時針旋轉得到．
①當時，求的面積；
②求證：點，，三點共線．
8．（2023-四川甘孜-中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點D，過點C作的切線，交的延長線于點E．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
9．（2023-湖北黃石-中考真題）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．

(1)求證：是的切線；
(2)求證：；
(3)已知，求的值．
10．（2023-遼寧鞍山-中考真題）如圖，四邊形內接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．

(1)求證：為的切線．
(2)若，，求的半徑．
11．（2023-湖南湘西-中考真題）如圖，點D，E在以為直徑的上，的平分線交于點B，連接，，，過點E作，垂足為H，交于點F．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
12．（2023-遼寧沈陽-中考真題）如圖，是的直徑，點是上的一點（點不與點，重合），連接、，點是上的一點，，交的延長線于點，且．

(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為，，則的長為______ ．
13．（2023-黑龍江大慶-中考真題）如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點，交于點，連接，若平分，過點作于點，交于點，延長，交于點．

(1)求證：是的切線；
(2)求證：；
(3)若，求的值．
14．（2023-四川雅安-中考真題）如圖，在中，，以為直徑的與交于點D，點是的中點，連接，．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長；
(3)在（2）的條件下，點P是上一動點，求的最大值．
15．（2023-遼寧營口-中考真題）如圖，在中，，以為直徑作與交于點D，過點D作，交延長線于點F，垂足為點E．
(1)求證：為的切線；
(2)若，，求的長．
題型解讀：
圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高．多考查切線的性質與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關知識點，以及數(shù)形結合、整體代入等數(shù)學思想.此類題型常涉及以下問題：①切線的判定；②計算線段長及證明線段比例關系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.
下圖為二次函數(shù)圖象性質與幾何問題中各題型的考查熱度.
解題模板：

技巧：有切點，連半徑，證垂直（根據題意，可以證角為90°，如已有90°角，可以嘗試證平行）
沒切點，作垂直，證半徑（通常為證全等，也可以通過計算得到與半徑相等）
解題模板：

解題模板：
技巧精講：
輔助圓模型
技巧精講：
技巧精講：

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