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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc161850716" 題型一 線段最值問題
\l "_Tc161850717" ①動點路徑問題
\l "_Tc161850718" ②“胡不歸”問題
\l "_Tc161850719" ③“將軍飲馬”問題
\l "_Tc161850720" ④“造橋選址”問題
\l "_Tc161850721" 題型二：面積平分問題
\l "_Tc161850722" 題型三 面積最值問題
題型一 線段最值問題
①動點路徑問題
【例1】（山東濟寧-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．
（1）閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體（圖1）．因為在平面中，，與相交于點A，所以直線與所成的就是既不相交也不平行的兩條直線與所成的角．
解決問題
如圖1，已知正方體，求既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大?。?br>（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個面上的點．
①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是 ；
②在所選正確展開圖中，若點M到，的距離分別是2和5，點N到，的距離分別是4和3，P是上一動點，求的最小值．
【變式1-1】（山東日照-中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB為邊在AB上方作正方形ABDE，過點D作DF⊥CB，交CB的延長線于點F，連接BE．
（1）求證：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分別為AC，BE上的動點，連接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
【變式1-2】（江蘇連云港-中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點，使，且．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)若是邊長為2的等邊三角形，點、、分別在線段、、上運動，求的最小值．
【變式1-3】（2023-四川自貢-中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，．

(1)將繞頂點旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；
(2)將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．
②“胡不歸”問題
【例2】（2023-江蘇泰州-三模）如圖，已知中，，E是上的一點，，點D是線段上的一個動點，沿折疊，點C與重合，連接．

(1)求證：；
(2)若點F是上一點，且，求的最小值．
【變式2-1】（2023-廣東廣州-二模）如圖①，在四邊形中，，，．

(1)求的度數(shù)；
(2)如圖②，為線段的中點，連接，求證：；
(3)如圖③，若，線段上有一動點，連接，將沿所在直線翻折至的位置，為的對應(yīng)點，連接，，請直接寫出的最小值．
【變式2-2】（2023-廣東廣州-二模）如圖，菱形中，，，點、分別為線段、上的動點，點為邊的中點，連接，．

(1)求的長；
(2)連接，若，求證：；
(3)若，試求的最小值．
【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長；
(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合）， 點F在邊AD上，且BE=DF，
①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；
②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．
③“將軍飲馬”問題
【例3】【變式3-1】（23-24九年級上-黑龍江大慶-期中）如圖，以矩形的頂點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系．已知，，點是的中點，在上取一點，將沿翻折，使點落在邊上的點處．

(1)直接寫出點、的坐標；
(2)連接交于點，求的面積．
(3)在軸、軸上是否分別存在點、，使得四邊形的周長最??？如果存在，求出周長的最小值和直線的函數(shù)解析式；如果不存在，請說明理由．
【變式3-2】（天津西青-一模）如圖①，將一個矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點的坐標是，點是的中點，在上取一點，將沿翻折，使點落在邊上的點處．
（1）求點、的坐標；
（2）如圖②，若點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作于點，設(shè)的長為，的面積為，請求出關(guān)于的關(guān)系式；
（3）如圖③，在軸、軸上是否分別存在點、，使得四邊形的周長最??？若存在，請求出四邊形周長的最小值及此時點、的坐標；若不存在，請說明理由
【變式3-3】（陜西寶雞）問題提出
（1）在圖1中作出點關(guān)于直線的對稱點
問題探究
（2）如圖2，在中，，，為的中點，為線段上一點，求的最小值.
問題解決
（3）如圖3，四邊形為小區(qū)綠化區(qū)，，，，，，是以為圓心，為半徑的圓弧.現(xiàn)在規(guī)劃在，邊和邊上分別取一點，，，使得為這一區(qū)域小路，求小路長度的最小值.
④“造橋選址”問題
【例4】（23-全國）有一條以互相平行的直線為岸的河流，其兩側(cè)有村莊和村莊，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（湖北黃石）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為( )
A．2B．1+3C．3+D．
【變式4-2】（23-24全國）如圖所示，某條護城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?，橋與河垂直），設(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，請確定兩座橋的位置．

【變式4-3】已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為1千米，A、B兩村莊的直線距離 AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，求AM＋BN的最小值．
題型二：面積平分問題
【例5】（三角形或規(guī)則圖形）（2023-湖南益陽-中考真題）如圖，在中，，，點D在邊上，將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點E，作于點F，與線段交于點G，連接．

(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，當平分四邊形的面積時，求的長．
【變式5-1】（2023-江蘇鹽城-二模）（1）【問題探究】如圖①，點B，C分別在上，米，米，米，米，米．
①探究與是否相似并說明理由；
②求的長．
（2）【問題解決】如圖②，四邊形規(guī)劃為園林綠化區(qū)，對角線將整個四邊形分成面積相等的兩部分，已知米，四邊形的面積為平方米，為了更好地美化環(huán)境，政府計劃在邊上分別確定點E，F(xiàn)，在邊上確定點P，Q，使四邊形為矩形，在矩形內(nèi)種植花卉，在四邊形剩余區(qū)域種植草坪，為了方便市民觀賞，計劃在之間修一條小路，并使得最短，根據(jù)設(shè)計要求，求出的最小值，并求出當最小時，花卉種植區(qū)域的面積．

【變式5-2】（2023-陜西西安-二模）【問題探究】
（1）如圖1，已知，點D是的中點，連接，則 （填“”“”或“”）
（2）如圖2，在梯形中，，請過點A作一條直線平分梯形的面積，點P是與的交點，并說明理由；
【問題解決】
（3）如圖3是某公園的一塊空地，由和四邊形組成，，，米，，，公園管理人員現(xiàn)準備過點A修一條筆直的小路（小路面積忽略不計），將這塊空地分成面積相等的兩部分（點M在邊上），分別種植兩種不同的花卉，請在圖中確定點M的位置，并計算小路的長．（結(jié)果保留根號）

【變式5-3】（2023-陜西西安-三模）問題提出：
(1)如圖1，是的中線，則有___________填“”、“”或“”)．
問題探究：
(2)如圖2，點是矩形內(nèi)一點，，，點與坐標原點重合，、分別位于、軸正半軸，，，是否存在直線經(jīng)過點且將矩形分成面積相等的兩部分，若存在，請求出直線l的解析式：如不存在，請說明理由．
問題解決：
(3)如圖3，長方形是西安某學校在疫情期間為學生核酸檢測圍成的一個工作區(qū)域，頂點，在坐標軸上，記為坐標原點，頂點，，原有的一個出入口在邊上，且米．為使工作高效有序，現(xiàn)計劃在邊，，上依次再設(shè)出入口，，，沿，拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部分．請問，是否存在滿足上述條件的點，，，如存在，請求出點的坐標及的函數(shù)表達式，如不存在，請說明理由．
【典例6】（如圖，長方形各頂點的坐標分別為、、、，長方形各頂點的坐標分別為、、、．平移長方形得到長方形，且點的坐標為．

(1)畫出長方形．
(2)如果長方形沿的方向平移，至與重合停止，設(shè)平移過程中平移的距離為，長方形與長方形重疊的面積為S，請直接寫出平移過程中S的最大值______；此時d的取值范圍為______．
(3)畫出一條直線把原圖長方形與長方形組成的復合圖形分成面積相等的兩部分．
【變式6-1】【問題提出】
（1）如圖①，點D為的邊的中點，連接，若的面積為3，則的面積為_______；
【問題探究】
（2）如圖②，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，連接，作軸于點B，若，，過點B的直線l將分成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達式；
【問題解決】
（3）如圖③，在平面直角坐標系中，四邊形是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中O為坐標原點，，為了方便駐區(qū)單位，計劃過點O修一條筆直的道路（路寬不計），并且使直線將四邊形分成面積相等的兩部分，記直線與所在直線的交點為D，再過點A修一條筆直的道路（路寬不計），并且使直線將分成面積相等的兩部分，你認為直線和是否存在？若存在，請求出直線和的函數(shù)表達式；若不存在，請說明理由．
【變式6-2】如圖，在平面直角坐標系中，點、分別在軸上、軸上，，，若點的坐標為，，且．

(1)求點、、的坐標；
(2)若動點P從原點出發(fā)沿軸正半軸以每秒個單位長度的速度向右運動，設(shè)點運動的時間為秒，求為何值時，直線把四邊形分成面積為：的兩部分；
(3)在(2)的條件下，當直線把四邊形分成面積相等的兩部分時，在軸上找一點，連接，使三角形的面積與四邊形的面積相等，求點的坐標．
題型三 面積最值問題
【例7】（2023-山東濰坊-中考真題）工匠師傅準備從六邊形的鐵皮中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示．經(jīng)測量，，與之間的距離為2米，米，米，，．，，是工匠師傅畫出的裁剪虛線．當?shù)拈L度為多少時，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是多少？

【變式7-1】（2023-山東濱州-中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的一邊在軸正半軸上，頂點的坐標為，點是邊上的動點，過點作交邊于點，作交邊于點，連接．設(shè)的面積為．

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當取何值時，的值最大？請求出最大值．
【變式7-2】（2023-遼寧阜新-中考真題）如圖，在正方形中，線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到處，旋轉(zhuǎn)角為，點F在直線上，且，連接．

(1)如圖1，當時，
①求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?br>②求證：．
(2)如圖2，取線段的中點G，連接，已知，請直接寫出在線段旋轉(zhuǎn)過程中（）面積的最大值．
【變式7-3】（2023-湖北武漢-模擬預測）問題提出如圖（1），在中，，,連接，探究．

問題探究
（1）先將問題特殊化．如圖（2），當時，求的值．
（2）再探究一般情形．如圖（1），當時，求的值；
問題拓展
如圖（3），在中，，，P是內(nèi)一點，，交于F，當?shù)拿娣e最大時，求的值．
一、解答題
1．在矩形中，，，點在邊上，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交延長線于點，以線段，為鄰邊作矩形．

(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；
(2)如圖2，當點在射線上時，求線段的長；
(3)如圖3，當時，在平面內(nèi)有一動點，滿足，連接，，求的最小值．
2．如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；
(2)若時，求的長；
(3)點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．
3．某數(shù)學小組在一次數(shù)學探究活動過程中，經(jīng)歷了如下過程：
問題提出：如圖，正方形中，，為對角線上的一個動點，以為直角頂點，向右作等腰直角．
(1)操作發(fā)現(xiàn)：的最小值為_______，最大值為_______；
(2)數(shù)學思考：求證：點在射線上；
(3)拓展應(yīng)用：當時，求的長．
4．如圖，正方形是邊長為4米的一塊板材．
操作一：現(xiàn)需從中裁出一個等腰直角模具，點P在邊上，Q在正方形的內(nèi)部或邊上．
(1)如圖，若，米，是否能裁出符合條件的？若能，確定Q的位置；若不能，請說明理由．

(2)如圖，連接，在對角線上取點Q，連接，過點Q作交邊于P，連接，得到．請證明符合裁剪要求．

操作二：經(jīng)探究，操作一的模具大小至多為正方形面積的一半，現(xiàn)修改模具形狀為四邊形，并按面積要求進行裁剪．即在正方形中重新裁出的一個四邊形模具，點P、Q分別在邊上．
(3)如圖，若需裁出的四邊形面積為10平方米，請?zhí)骄磕＞咚倪呅沃荛L的最小值．

5．問題提出

（1）如圖1，已知點為線段上一動點，分別過點作，，連接. 若，，，則的最小值為 ；
問題解決
（2）如圖2，某公園規(guī)劃修建一塊形如四邊形的牡丹園，其中，，，，，的內(nèi)心處修建一個圓形噴水池，公園的入口是的中點，是一條觀賞小道，其余部分種植牡丹，現(xiàn)需要在邊上取點，上找點，修建道路 為了節(jié)省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在這樣的點，使得的值最??？ 若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.
6．如圖，在中，是邊上的中線，點E是的中點．過點A作交的延長線于點F，連接．

(1)求證：；
(2)若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；
(3)在（2）的情況下，如果，點M在線段上移動，當有最小值時，求的長度．
7．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，，，點D在線段上，點F為中點，點M為中點，點N為中點．

(1)如圖1， ______，和之間的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)如圖2，繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，點G為中點，求證：四邊形為正方形；
(3)如圖3，若，，在將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，直線，交于點H，直接寫出面積的最小值．
8．綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．
(1)操作判斷
操作：如圖1，點E是邊長為12的正方形紙片的邊所在的射線上一動點，將正方形沿著折疊，點D落在點F處，把紙片展平，射線DF交射線于點P．
判斷：根據(jù)以上操作，圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．
(2)遷移探究
在（1）條件下，若點E是的中點，如圖2，延長交于點Q，點Q的位置是否確定？如果確定，求出線段的長度，如果不確定，說明理由；
(3)拓展應(yīng)用
在（1）條件下，如圖3，，交于點G，取的中點H，連接，求的最小值．
9．問題背景

(1)如圖1，四邊形中，，交于點E，其中，求證：．
(2)嘗試應(yīng)用：如圖2，中，，，點是的中點，點，是上兩點，交于點，若，，求的值．
(3)遷移拓展：如圖3，中，，，點是上一點，，直接寫出線段長度的最小值．
10．已知拋物線：，且過點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式及其頂點坐標A；
(2)若拋物線G上兩點，滿足：對于，時，均有成立，求出的取值范圍；
(3)直線：經(jīng)過，點在直線上運動，求最小值．
11．問題發(fā)現(xiàn)．（1）如圖①，已知菱形，，點M，N分別在，上，若四邊形的面積是菱形面積的，求的度數(shù)；
問題解決：（2）如圖②，四邊形ABCD是一塊板材，其中，，，，，工人師傅想用這塊板材裁剪出一塊四邊形的部件，使得O是的中點，點M，N分別在，上，并要求四邊形部件的面積是四邊形板材面積的，求裁剪長度的最小值．

12．如圖①，正方形中，，點是邊上的動點，點是邊上的動點，且，連接．

(1)如圖①，作，交于點，連接，求證；四邊形是平行四邊形；
(2)如圖②，延長．、相交于點，試求的度數(shù)；
(3)如圖（3），連接，記，試求的最小值．
13．【探究發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，在中，D為邊的中點，連接并延長至點H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．

【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點，過點D作，交CA的延長線于點Q，交邊于點K．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點，連接，E為邊上一動點，連接交于點F．
①若．求的長度；
②在射線上取一點G，且，連接，直接寫出的最小值．
14．如圖，在等邊中，于點，為線段上一動點（不與，重合），連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接交于點，連接，，與所在直線交于點，求證：；
(3)如圖3，連接交于點，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．
題型解讀：
幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.
下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.
分類：①動點路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題
解題模板：
解題模板：
技巧精講
1：利用中線平分圖形面積的方法
2.利用對稱性平分圖形面積的方法
解題模板：

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