中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)壓軸題04幾何綜合（3題型+7類型+解題模板+技巧精講）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc161850812" 題型一線段最值問題
\l "_Tc161850813" ①動點(diǎn)路徑問題
\l "_Tc161850814" ②“胡不歸”問題
\l "_Tc161850815" ③“將軍飲馬”問題
\l "_Tc161850816" ④“造橋選址”問題
\l "_Tc161850817" 題型二：面積平分問題
\l "_Tc161850818" 題型三面積最值問題
題型一線段最值問題
①動點(diǎn)路徑問題
【例1】（山東濟(jì)寧-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．
（1）閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體（圖1）．因?yàn)樵谄矫嬷?，，與相交于點(diǎn)A，所以直線與所成的就是既不相交也不平行的兩條直線與所成的角．
解決問題
如圖1，已知正方體，求既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大?。?br>（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)．
①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是；
②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到，的距離分別是2和5，點(diǎn)N到，的距離分別是4和3，P是上一動點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①丙；②10
【分析】（1）連接，則為等邊三角形，即可求得既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大?。?br>（2）①根據(jù)正方體側(cè)面展開圖判斷即可；
②根據(jù)對稱關(guān)系作輔助線即可求得的最小值．
【詳解】解：（1）連接，
∵，與相交與點(diǎn)，
即既不相交也不平行的兩條直線與所成角為，
根據(jù)正方體性質(zhì)可得：，
∴為等邊三角形，
∴，
即既不相交也不平行的兩條直線與所成角為；
（2）①根據(jù)正方體展開圖可以判斷，
甲中與原圖形中對應(yīng)點(diǎn)位置不符，
乙圖形不能拼成正方體，
故答案為丙；
②如圖：作M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，
連接，與交于點(diǎn)P，連接MP，
則，
過點(diǎn)N作BC垂線，并延長與交于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)M到的距離是5，點(diǎn)N到的距離是3，
∴，
∵點(diǎn)M到的距離是2，點(diǎn)N到的距離是4，
∴，
∴，
故最小值為10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、正方體的側(cè)面展開圖、根據(jù)對稱關(guān)系求最短距離、勾股定理等知識點(diǎn)，讀懂題意，明確最小時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（山東日照-中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB為邊在AB上方作正方形ABDE，過點(diǎn)D作DF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分別為AC，BE上的動點(diǎn)，連接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）14
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=AB，∠DBA=90°，進(jìn)而得出∠DBF=∠CAB，因?yàn)椤螩=∠DFB=90°．根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據(jù)垂線段最短，作DP1⊥AC，交BE于點(diǎn)N1，垂足為P1，則AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．
【詳解】（1）證明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四邊形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如圖，連接DN，
∵BE是正方形頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)D的對稱軸，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，
由于點(diǎn)P、N分別是AC和BE上的動點(diǎn)，
作DP1⊥AC，交BE于點(diǎn)N1，垂足為P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（江蘇連云港-中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點(diǎn)，使，且．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；
（2）先根據(jù)菱形對稱性得，得到，進(jìn)一步說明的最小值即為菱形的高，再利用三角函數(shù)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
又∵點(diǎn)在的延長線上，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形．
（2）解：如圖，由菱形對稱性得，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，
∴，
當(dāng)、、共線時(shí)，
，
過點(diǎn)作，垂足為，
∵，
∴的最小值即為平行線間的距離的長，
∵是邊長為2的等邊三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法．將最值問題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023-四川自貢-中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；
(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．
【答案】(1)最大值為，最小值為
(2)
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；
（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而可得，勾股定理解，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，，
當(dāng)在的延長線上時(shí)，的距離最大，最大值為，
當(dāng)在線段上時(shí)，的距離最小，最小值為；

（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
②“胡不歸”問題
【例2】（2023-江蘇泰州-三模）如圖，已知中，，E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)C與重合，連接．

(1)求證：；
(2)若點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，求的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）折疊，得到，根據(jù)的值，求出的值，進(jìn)而得到，再根據(jù)，即可得證；
（2）根據(jù)相似的性質(zhì)得到，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的長，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，求出的長，利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】（1）解：∵沿折疊，點(diǎn)C與重合，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴；
（2）∵，
∴
∴，
∴
∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，
如圖，過點(diǎn)E作于H，

∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，證明三角形相似．
【變式2-1】（2023-廣東廣州-二模）如圖①，在四邊形中，，，．

(1)求的度數(shù)；
(2)如圖②，為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；
(3)如圖③，若，線段上有一動點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折至的位置，為的對應(yīng)點(diǎn)，連接，，請直接寫出的最小值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）如圖1中，連接．求出，，可得結(jié)論；
（2）如圖2中，連接，延長到，使得，在上取一點(diǎn)，使得，連接．證明，推出，再證明，推出，可得結(jié)論；
（3）如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，連接．．證明，推出，推出，推出，由，推出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖1中，連接．

，，
是等邊三角形，
，，
，，
，，，
，
；
（2）證明：如圖2中，連接，延長到，使得，在上取一點(diǎn)，使得，連接．

，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，連接，

，
，，
，
點(diǎn)在上運(yùn)動，設(shè)交圓弧于點(diǎn)，連接．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，
，
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
【變式2-2】（2023-廣東廣州-二模）如圖，菱形中，，，點(diǎn)、分別為線段、上的動點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，．

(1)求的長；
(2)連接，若，求證：；
(3)若，試求的最小值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）證明是等邊三角形，即可求解；
（2）延長至，使得，在上取，連接，證明，可得，，證明四邊形是平行四邊形，可得，即可得出，進(jìn)而證明，即可得證；
（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，為的中點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)（或者設(shè)其他點(diǎn)為中點(diǎn)，再證明為中點(diǎn)），過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理解直角三角形，即可求解．
【詳解】（1）解：∵菱形中，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
又∵，
∴；
（2）解：如圖所示，延長至，使得，在上取，連接，

在與中，
∴
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
設(shè)，則
在中，，
∴，
∴
∵
∴，
∴
在中，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
則，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵三點(diǎn)共線
∴，
∴，
∵為的中點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，
∴，，則，
∴，，
∵
∴，
∵
∴
又，
∴，
∴，
∴當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)共線，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長；
(2)點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，
①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12
【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s= S△ABD - S△DEF ，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)， s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．
【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BO=AB?sin60°==，
∴BD=2BO=；
（2）解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=BE
∵，
∴MN=，
設(shè)BE=，則EN=，
∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD?MN=，
∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，
∴DF=，
∴S△DEF=DF ?EM= =，
記四邊形ABEF的面積為s，
∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0

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