一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知命題，，，，則（ ）
A. p和q都是真命題
B. p和都是真命題
C. 和q都是真命題
D. 和都真命題
【答案】B
【解析】當x=1時，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；
當x=0時，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.
故選：B.
2. 已知集合，，若且，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為且，
所以，解得.
故選：A．
3. 已知點到拋物線的準線的距離為3，則的焦點坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】拋物線的準線方程為，
由題意可知，解得，
所以的焦點坐標為，
故選：B．
4. 已知，為單位向量，，，若，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，
所以，即，所以與的夾角為，
故選：A．
5. 記為非零數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】在非零數(shù)列中，，由，，
得數(shù)列是等比數(shù)列，，
因此，所以.
故選：C
6. 已知過作與圓相切的兩條直線，，切點分別為，，且，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】圓化為，
則圓心，半徑，

由題意，知，解得（負值舍去），
在中，且，所以，解得，
故選：D
7. 傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，
過作于，如圖所示：

則由題可得，
設平面截得球的截面圓的半徑為，
當EF在底面圓周上運動時，
到平面的距離
所以
所以平面截得球的截面面積最小值為，
故D正確；
故選：D.
8. 已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖像關于直線對稱，若，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由為奇函數(shù)，知的圖像關于點對稱，則，
由，得．
由的圖像關于直線對稱，則的圖像關于直線對稱，
所以，，
綜上，，
由上，，得，
所以，則4為的一個周期，
所以.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，，則的最小值為3
D. 若且，則，均為純虛數(shù)
【答案】AC
【解析】對于A，由得，又，，
所以，A正確；
對于B，當，時，滿足，但，B錯誤；
對于C，由，，得，C正確；
對于D，當，時，滿足，但，均不為純虛數(shù)，D錯誤．
故選：AC
10. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，的公差為，且，則（ ）
A.
B.
C.
D. 滿足的的最大值為
【答案】ABC
【解析】由，得，
即①，則，
又，所以，又，
若，則，，不合題意，
所以，則，，A正確；
結合①知，，所以，則，
又，所以，B正確；
由，得，所以，
由，所以，
由，所以，
所以，C正確；
由，得，所以，
由C知，，所以的最大值為，D錯誤.
故選：ABC
11. “”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標原點，上的點到兩定點，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）

A. 若，則的方程為
B. 若上的點到兩定點、的距離之積為16，則點在上
C. 若，點在上，則
D. 當時，上第一象限內點滿足的面積為，
則
【答案】ACD
【解析】已知原點在上，則，
設為上任意一點，
則有，
整理得．
若，則的方程為，故A正確；
若，則，代入方程得，顯然點不在此曲線上，故B錯誤；
若，點在上，有，
整理得，所以，故C正確；
因，，可得，
所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內的交點，
聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故D正確．
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 某中學舉行數(shù)學解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：70，97，85，90，98，73，95，則這7人成績的上四分位數(shù)與極差之和是________．
【答案】125
【解析】將7個數(shù)據(jù)從小到大排列為70，73，85，90，95，97，98，
因為，所以這7人成績的上四分位數(shù)是97，極差為，
故上四分位數(shù)與極差之和是．
故答案為：125
13. 在函數(shù)的圖像與直線的交點中，任取兩點與原點組成三角形，這些三角形的面積的最小值為，則________．
【答案】
【解析】原點到直線的距離為，
設交點，，且，
由，即，
點，相鄰，且在的一條對稱軸兩側時，，
此時，，，
兩式相減，得，
所以．
故答案為：
14. 已知函數(shù)的最小值為0，則________．
【答案】
【解析】依題意，對于恒成立，且能取得等號，
即對于恒成立，且能取得等號，
函數(shù)在上單調遞增，不等式為，
則，即，因此在上恒成立，且能取得等號，
設，于是是函數(shù)在上的最小值，
求導得，當時，，當時，，
函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，所以.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 已知的內角，，所對的邊分別是，，，
且．
（1）求角；
（2）若，，求的面積．
解：（1）在中，，
又，所以，
由余弦定理得， 又，則.
（2）在中，，，
由余弦定理，得，即，解得或．
當，，時，可構成三角形，
此時的面積為；
當，，時，可構成三角形，
此時的面積為．
16. 如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
(1)證明：因為為等邊三角形，為的中點，
所以．
過作，垂足為，
因為底面為直角梯形，，，，，
所以，則，
由得，所以
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
因平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，
設平面的法向量為m=x,y,z，
則，
令，則，
由（1）可知，軸⊥平面，
不妨取平面的法向量為，
則，
故平面與平面夾角的余弦值為．
17. 已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點，且，的面積為3．
（1）求E的方程；
（2）若E的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l與E的右支交于M，N兩點，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．
解：（1）設雙曲線的半焦距為()，
，
由題可知，
，即，
又，
故E的方程為.
（2）如圖，

由題可知，且直線的斜率不為，
設直線的方程為，，
將方程和聯(lián)立，得，
，
，
，,
直線與右支有交點，，
當時，取得最小值，且最小值為.
18. 已知函數(shù)，為的導函數(shù)．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）若的兩個極值點分別，
（i）求實數(shù)的取值范圍；
（ii）證明：．
解：（1）當時，，
則，，
求導得，則，
所以曲線在處的切線方程為.
（2）（i），依題意，是方程的兩根，
即，，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調遞減，在0,+∞上單調遞增，
則，
而當時，，且，方程有兩根，
即直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，
則，所以實數(shù)的取值范圍為.
（ii）由（i）不妨設，
由圖像知，當時，直線恒在曲線的下方．
下面證明：令，求導得，
設，求導得，
當時，φ'x

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