一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知，則( )
A.B.C.1D.2
3．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖像過定點(diǎn)( )
A.B.C.D.
4．函數(shù)的圖像大致為( )
A.
B.
C.
D.
5．地震里氏震級是地震強(qiáng)度大小的一種度量.地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為已知兩次地震的里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為和，則( )
A.C.
6．設(shè),,，則( )
A.B.C.D.
7．2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列手機(jī)，全系搭載麒麟芯片強(qiáng)勢回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過萬重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達(dá)80萬臺，第二周的增長率為a，第三周的增長率為b，這兩周的平均增長率為x（a，b，x均大于零），則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的圖像與函數(shù)且的圖像關(guān)于直線對稱，記.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是( )
A.若集合，集合，則
B.已知集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)有8個(gè)
C.若，，則
D.設(shè)，，則“且”的充要條件是“且”
10．教材中用二分法求方程的近似解時(shí)，設(shè)函數(shù)來研究，通過計(jì)算列出了它的對應(yīng)值表
分析表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是：( )
A.
B.方程有實(shí)數(shù)解
C.若精確度到0.1，則近似解可取為1.375
D.若精確度為0.01，則近似解可取為1.4375
11．已知函數(shù)，若存在不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足且，則下列說法正確的是( )
A.
B.
C.
D.的取值范圍為
三、填空題
12．計(jì)算：____.
13．“”是“”的條件____.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
14．定義在R上的函數(shù)，對任意都滿足，則____.
四、解答題
15．已知函數(shù).
（1）若關(guān)于x的不等式的解集為,求a,b的值;
（2）當(dāng)時(shí),若關(guān)于的不等式在R上恒成立,求b的取值范圍.
16．已知.
(1)求的解析式；
(2)函數(shù)，若對任意，總存在，使成立，求a的取值.
17．已知函數(shù)，.
(1)，用表示，中的最小者，記作，當(dāng)時(shí)，分別用圖像法和解析法表示函數(shù)，并寫出的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)，，求的最小值.
18．茶是中華民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國文化中的一朵瑰寶！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用的水泡制，待茶水溫度降至?xí)r，飲用口感最佳.東雅中學(xué)利用課余時(shí)間開設(shè)了活動探究課《中國茶文化》，某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔1min測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：
設(shè)茶水溫度從經(jīng)過后溫度變?yōu)?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：
①；
②；
③.
(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；
(2)根據(jù)(1)中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）；
(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少.
19．我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求函數(shù)圖像的對稱中心；
(2)若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，證明：；
(3)已知函數(shù)，其中，若正數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：由，得，解得，所以.
由，得，所以，所以.
故選：D.
2．答案：D
解析：由，可得，，
所以.
故選：D.
3．答案：A
解析：由題意得且，解得，
，令得，此時(shí)，
故的圖像過定點(diǎn).
故選：A
4．答案：A
解析：由于的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，為偶函數(shù)，故圖像關(guān)于y軸對稱，排除選項(xiàng)C和D，
又當(dāng)或時(shí)，，可排除選項(xiàng)B.
故選：A.
5．答案：C
解析：，
，，
，，，
故選：C
6．答案：C
解析：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，?br>所以.
故選：C
7．答案：B
解析：依題意，，而,,，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以.
故選：B
8．答案：D
解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與函數(shù)（且）的圖像
關(guān)于直線對稱，
與互為反函數(shù)，，
，
令，函數(shù)可化為，對稱軸為直線.
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
若在區(qū)間上是增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，
即，故，
解得，不合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
若在區(qū)間上是增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，
即解得.
綜上得，a的取值范圍是.
故選：D.
9．答案：AB
解析：對于選項(xiàng)A：集合，
集合，，A選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)B：,,，集合A的子集個(gè)數(shù)是8個(gè)，
選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，
所以，又因?yàn)?，故兩邊同除以得，?br>故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：當(dāng)且時(shí)，，；
反之，當(dāng),時(shí)，,，但不滿足且，
所以“且”是“且”的充分不必要條件，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故答案為：AB
10．答案：BC
解析：與都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
在R上至多有一個(gè)零點(diǎn)，
由表格中的數(shù)據(jù)可知：，，
在R上有唯一零點(diǎn)，零點(diǎn)所在的區(qū)間為，
，A錯(cuò)誤；方程有實(shí)數(shù)解，B正確；,，
即精確度到0.1，則近似解可取為1.375，C正確；
,，
即精確度為0.01，則近似解不可取為1.4375，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．答案：ACD
解析：A選項(xiàng)，畫出與的圖象如下：
要想滿足，則，A正確；
B選項(xiàng)，由對稱性可知，，B錯(cuò)誤，
C選項(xiàng)，令，解得，故，
令，解得，故，而，
所以，故，所以，C正確；
D選項(xiàng)，，
其中，
而在上單調(diào)遞減，
所以，
，D正確.
故選：ACD
12．答案：9
解析：.
故答案為：9.
13．答案：充分不必要
解析：由，得或，
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br>所以“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要
14．答案：8
解析：令，則，所以，
令，則，所以，
令，所以，
故答案為：8.
15．答案：（1）a,b的值分別為,,或,.
（2）.
解析：（1）由題意可知,,1是方程的兩根,
所以,,
解得,或,.
故a,b的值分別為,,或,.
（2）當(dāng)時(shí),,
若在R上恒成立,即的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),
則,
即,解得,
故b的取值范圍是.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)令，得到，
即，
所以；
(2)令，則，，，
所以，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，令，
則可化為，，
因?yàn)?，在單調(diào)遞增，所以，
即當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)閷θ我?，總存在，使成立?br>所以的值域是值域的子集，
則，解得.
17．答案：(1)答案見解析;
(2)
解析：(1)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解得，負(fù)值舍去，
當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），
畫出的圖像，如圖所示，
解析法表示，，
由圖像可得，單調(diào)遞增區(qū)間為和；
(2)，，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)最小值為，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)最小值為，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)最小值為，
綜上所述：
18．答案：(1)選模型②，且;
(2);
(3)約為10℃.
解析：(1)由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，
故模型①③不符合，
選模型②，則，即，可得，
所以且.
(2)令，則.
所以泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為.
(3)由，即，所以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為10℃.
19．答案：(1);
(2)證明見解析;
(3).
解析：(1)令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，即，
所以，
化簡得，則，
解得，，即圖像的對稱中心為.
(2)令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，即，
所以，
令，則，即.
(3)因?yàn)椋?br>所以，
所以，可得的對稱中心為.
因?yàn)椋?br>，
兩式相加得：，即，
由題意知恒成立.
方法一：由
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
方法二：由，
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
x
1.25
1.375
1.40625
1.422
1.4375
1.5
0.02
0.33
時(shí)間
0
1
2
3
4
5
水溫
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27

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