TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc155794603" 題型01 平行y軸動(dòng)線段最大值與最小值問(wèn)題
\l "_Tc155794604" 題型02 拋物線上的點(diǎn)到某一直線的距離問(wèn)題
\l "_Tc155794605" 題型03 已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題
\l "_Tc155794606" 題型04 特殊角度存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794607" 題型05 將軍飲馬模型解決存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794608" 題型06 二次函數(shù)中面積存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794609" 題型07 二次函數(shù)中等腰三角形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794610" 題型08 二次函數(shù)中直角三角形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794611" 題型09 二次函數(shù)中全等三角形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794612" 題型10 二次函數(shù)中相似三角形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794613" 題型11 二次函數(shù)中平行四邊形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794614" 題型12 二次函數(shù)中矩形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794615" 題型13 二次函數(shù)中菱形存在性問(wèn)題
\l "_Tc155794616" 題型14 二次函數(shù)中正方形存在性問(wèn)題
二次函數(shù)常見(jiàn)存在性問(wèn)題：
（1）等線段問(wèn)題：將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用函數(shù)解析式以“一母式”的結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，再利用點(diǎn)到點(diǎn)或點(diǎn)到直線的距離公式列出方程或方程組，然后解出參數(shù)的值，即可以將線段表示出來(lái).
【說(shuō)明】在平面直角坐標(biāo)系中該點(diǎn)在某一函數(shù)圖像上，設(shè)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則可用含m字母的函數(shù)解析式來(lái)表示該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)“設(shè)橫表縱”或“一母式”.
（2）平行y軸動(dòng)線段最大值與最小值問(wèn)題：將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用函數(shù)解析式以“一母式”的結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，再用縱坐標(biāo)的較大值減去較小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出動(dòng)線段的最大值或最小值.
（3）求已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題：先求出直線解析式，再利用兩直線垂直的性質(zhì)（兩直線垂直，斜率之積等于-1）求出已知點(diǎn)所在直線的斜率及解析式，最后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).
（4）“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使其到某一直線的距離為最值”的問(wèn)題：常常利用直線方程與二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.
（5）二次函數(shù)與一次函數(shù)、特殊圖形、旋轉(zhuǎn)及特殊角度綜合：圖形或一次函數(shù)與x軸的角度特殊化，利用與角度有關(guān)知識(shí)點(diǎn)求解函數(shù)圖像上的點(diǎn)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的活動(dòng)范圍，求已知點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)是否構(gòu)成新的特殊圖形.
2.二次函數(shù)與三角形綜合
(1)將軍飲馬問(wèn)題:本考點(diǎn)主要分為兩類(lèi)：
①在定直線上是否存在點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小;
②三角形周長(zhǎng)最小或最大的問(wèn)題，主要運(yùn)用的就是二次函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性.
(2)不規(guī)則三角形面積最大或最小值問(wèn)題:利用割補(bǔ)法將不規(guī)則三角形分割成兩個(gè)或以上的三角形或四邊形，在利用“一母式”將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，作線段差，用線段差來(lái)表示三角形的底或高，用面積公式求出各部分面積，各部分面積之和就是所求三角形的面積.將三角形的面積用二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)表示出來(lái)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最值及動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).
(3)與等腰三角形、直角三角形的綜合問(wèn)題:對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，我們可以利用兩圓一線或兩線一圓的基本模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算.
注：其他常見(jiàn)解題思路有：
①作垂直，構(gòu)造“三垂直”模型，利用相似列比例關(guān)系得方程求解；
②平移垂線法：若以AB為直角邊，且AB的一條垂線的解析式易求(通常為過(guò)原點(diǎn)O與AB垂直的直線)，可將這條直線分別平移至過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B得到相應(yīng)解析式，再聯(lián)立方程求解．
（4)與全等三角形、相似三角形的綜合問(wèn)題:在沒(méi)有指定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下，理論上有六種情況需要討論，但在實(shí)際情況中，通常不會(huì)超過(guò)四種，要注意邊角關(guān)系，積極分類(lèi)討論來(lái)進(jìn)行計(jì)算.
情況一 探究三角形相似的存在性問(wèn)題的一般思路：
解答三角形相似的存在性問(wèn)題時(shí)，要具備分類(lèi)討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及動(dòng)態(tài)問(wèn)題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下：
①假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論．探究三角形相似時(shí)，往往沒(méi)有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(尤其是以文字形式出現(xiàn)求證兩個(gè)三角形相似的題目)，或者涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，因動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中點(diǎn)的位置的不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論；
②確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)．在分類(lèi)時(shí)，先要找出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)確定相似三角形成立的條件；若沒(méi)有，則分別按三種角對(duì)應(yīng)來(lái)分類(lèi)討論；
③建立關(guān)系式，并計(jì)算．由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)(其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過(guò)計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
情況二 探究全等三角形的存在性問(wèn)題的思路與探究相似三角形的存在性問(wèn)題類(lèi)似，但是除了要找角相等外，還至少要找一組對(duì)應(yīng)邊相等．
3.二次函數(shù)與四邊形的綜合問(wèn)題
特殊四邊形的探究問(wèn)題解題步驟如下：
①先假設(shè)結(jié)論成立；
②設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；
③建立關(guān)系式，并計(jì)算．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論：
a.探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫(huà)出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對(duì)邊相等進(jìn)行計(jì)算；②以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，畫(huà)出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；③若平行四邊形的各頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論．
b.探究菱形：①已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；②已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)，一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等的性質(zhì)列關(guān)系式．
c.探究正方形：利用正方形對(duì)角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，令其相等，得到方程再求解．
d.探究矩形：利用矩形對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解.
題型01 平行y軸動(dòng)線段最大值與最小值問(wèn)題
1．（2023·廣東東莞·一模）如圖，拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OC=3，頂點(diǎn)為D．
(1)求此函數(shù)的關(guān)系式；
(2)在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大？最大是多少？
(3)在對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A，B，K，L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K，L點(diǎn)的坐標(biāo)．
(4)在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3
(2)當(dāng)N的坐標(biāo)為-32,-154，MN有最大值94
(3)K-1，4，L-1，-4或K-1，12，L-5，12或K-1，12，L3，12
(4)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,32或0,-72或0,-1或0,-3
【分析】（1）由OA=OC=3求得A-3,0,C0，-3,再分別代入拋物線解析式y(tǒng)=x2＋bx＋c，得到以b，c為未知數(shù)的二元一次方程組，求出b，c的值即可；
（2）求出直線AC的解析式，再設(shè)出M、N的坐標(biāo)，把MN表示成二次函數(shù)，配方即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以AB為邊，以AB為對(duì)角線，分類(lèi)討論即可；
（4）設(shè)出E的坐標(biāo)，分別表示出△ADE的平分，再分每一條都可能為斜邊，分類(lèi)討論即可．
【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C，且OA=OC=3,
∴A-3,0,C0，-3,
∴將其分別代入拋物線解析式，得c=-39-3b+c=0，
解得b=2c=-3．
故此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x-3；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，
將A-3,0,C0，-3代入，得t=-3-3k+t=0，
解得k=-1t=-3，
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
設(shè)N的坐標(biāo)為n，n2+2n-3，則Mn，-n-3，
∴MN=-n-3-n2+2n-3=-n2-3n=-n+32+94，
∵-1

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