TOC \ "1-3" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc164095067" 題型01 將軍飲馬問(wèn)題
\l "_Tc164095068" 題型02 胡不歸問(wèn)題
\l "_Tc164095069" 題型03 阿氏圓問(wèn)題
\l "_Tc164095070" 題型04 隱圓問(wèn)題
\l "_Tc164095071" 題型05 費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題
\l "_Tc164095072" 題型06 瓜豆原理模型
\l "_Tc164095073" 題型07 等腰（邊）三角形存在問(wèn)題
\l "_Tc164095074" 題型08 直角三角形存在問(wèn)題
\l "_Tc164095075" 題型09 平行四邊形存在問(wèn)題
\l "_Tc164095076" 題型10 矩形、菱形、正方形存在問(wèn)題
\l "_Tc164095077" 題型11 全等/相似存在性問(wèn)題
\l "_Tc164095078" 題型12 角度存在性問(wèn)題
【命題趨勢(shì)】動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)重難點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問(wèn)題．隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題．
【基本原理】
1）基本原理（定點(diǎn)到定點(diǎn)）：兩點(diǎn)之間，線段最短.
2）三角形兩邊之和>第三邊
3）基本原理（定點(diǎn)到定線）：垂線段最短.
4）平行線的距離處處相等.
5）基本原理（定點(diǎn)到定圓）：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）.
6）基本原理（定線到定圓）：線圓之間，心垂線截距最短.
7）基本原理（定圓到定圓）：圓圓之間，連心線截距最短（長(zhǎng)）.
【解題思路】
1）動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動(dòng)態(tài)幾何也有直線型的和曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，也有圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題．有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)等．根據(jù)其運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，又可分為（1） 動(dòng)點(diǎn)類（點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng)）也包括一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)； （2） 動(dòng)直線類；（3）動(dòng)圖形問(wèn)題．
2）解決動(dòng)態(tài)幾何題，通過(guò)觀察，對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的“變量”和“定量”動(dòng)中求靜，即在運(yùn)動(dòng)變化中探索問(wèn)題中的不變性；動(dòng)靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，從而找到“動(dòng)與靜”的關(guān)系；這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論．解決這類問(wèn)題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)．解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注－－些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系．
3）動(dòng)態(tài)幾何形成的存在性問(wèn)題，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等腰（邊）三角形存在問(wèn)題，直角三角形存在問(wèn)題，平行四邊形存在問(wèn)題，矩形、菱形、正方形存在問(wèn)題．全等三角形存在問(wèn)題，相似三角形存在問(wèn)題等．
題型01 將軍飲馬問(wèn)題
1．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，連接MN，AM，DN，點(diǎn)E在邊AD上，ME∥DN，則AM+ME的最小值是（ ）

A．23B．3C．32D．42
【答案】C
【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AM=12BP，DN=12CP，通過(guò)證明四邊形MNDE是平行四邊形，可得ME=DN，則AM+ME=AM+DN=12BP+CP，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，則BP+CP=BP+PM，點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為BM．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ ∠BAP=∠CDP=90°，AD∥BC，
∵點(diǎn)M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，
∴ AM=12BP，DN=12CP，MN=12BC，MN∥BC，
∵ AD∥BC，MN∥BC，
∴ MN∥BC，
又∵ ME∥DN，
∴四邊形MNDE是平行四邊形，
∴ ME=DN，
∴ AM+ME=AM+DN=12BP+CP，
如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接PM，BM，

則BP+CP=BP+PM，
當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為BM，
在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，BC=AD=42，
∴ BM=BC2+MC2=422+2102=62，
∴ AM+ME的最小值=12BM=32，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．
2．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=1，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為 ．

【答案】17
【分析】連接AE交BD于一點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．
【詳解】解：如圖，連接AE交BD于一點(diǎn)F，連接CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，
∴AF=CF，
∴CF+EF=AF+EF=AE，此時(shí)CF+EF最小，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴AD=4,∠ABC=90°，
∵點(diǎn)E在AB上，且BE=1，
∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值為17
故答案為：17．

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C3，0，頂點(diǎn)A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP周長(zhǎng)的值最?。舸嬖冢蟪鲎钚≈担蝗舨淮嬖?，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)y=6x，y=?12x+4
(2)在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小,最小值是25+42．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3?m得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是3?m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上得到33?m=6m，解得m=1，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)是6,1，進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；
（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AP=A'P，A'2,?3，則AP+PB=A'B，由AB=25知AB是定值，此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)為AP+PB+AB=AB+A'B最小，利用待定系數(shù)法求出直線A'B的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出周長(zhǎng)最小值即可．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點(diǎn)C3，0，B6，m，
∴OC=3,OD=6, BD=m，
∴CD=OD?OC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°,AC=BC，
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBDAAS，
∴CD=AE=3,BD=EC=m，
∴OE=OC?EC=3?m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是3?m,3，
∵A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上．
∴33?m=6m，
解得m=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)是6,1，
∴k=6m=6，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=6x，
設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，
2p+q=36p+q=1，解得p=?12q=4,
∴直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?12x+4，
（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴AP=A'P，A'2,?3，
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的長(zhǎng)度，
∵AB=2?62+3?12=25，即AB是定值，
∴此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)為AP+PB+AB=AB+A'B最小，
設(shè)直線A'B的解析式是y=nx+t，
則2n+t=?36n+t=1，
解得n=1t=?5，
∴直線A'B的解析式是y=x?5，
當(dāng)y=0時(shí)，0=x?5，解得x=5，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,0，
此時(shí)AP+PB+AB=AB+A'B=25+2?62+?3?12=25+42，
綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小，最小值是25+42．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
題型02 胡不歸問(wèn)題
4．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
【答案】42
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2BF，通過(guò)解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此時(shí)PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC=12×30°=15°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝12PA，
∴PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB?sin45°＝4×22=22，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42，
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．
5．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為 ．

【答案】6
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性質(zhì)得到OE=12OA=2，進(jìn)而求出BE=BO+EO=6，然后利用CP+12BP=CP+PD≤CF代入求解即可．
【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO

∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°
∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA=∠OAB=30°
∴∠OAE=∠OAB=12∠BAC=30°
∵BE⊥AC
∴OE=12OA=2
∴BE=BO+EO=6
∵PD⊥AB，∠ABE=30°
∴PD=12PB
∴CP+12BP=CP+PD≤CF
∴CP+12BP的最小值為CF的長(zhǎng)度
∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，CF⊥AB
∴CF=BE=6
∴CP+12BP的最小值為6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
6．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，則CP+12AP的最小值是 ．
【答案】23
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAF=30°，然后利用含30°的直角三角的性質(zhì)得出PQ=12AP，則CP+12AP=CP+PQ≥CH，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+12AP最小，CP+12AP最小值為CH，利用含30°的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出AB，BC，最后利用等面積法求解即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
由題意知：AF平分∠BAC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAF=12∠BAC=30°，
∴PQ=12AP，
∴CP+12AP=CP+PQ≥CH，
∴當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+12AP最小，CP+12AP最小值為CH，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∴BC=AB2?AC2=43，
∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CH，
∴CH=AC?BCAB=4×438=23，
即CP+12AP最小值為23．
故答案為：23．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．
題型03 阿氏圓問(wèn)題
7．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4．拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx?1交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E．

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+12PA的最小值．
【答案】(1)直線AD的解析式為y=x?1；拋物線解析式為y=x2?6x+5
(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,?3或0,5 或5,0
(3)41
【分析】
（1）根據(jù)對(duì)稱軸x=3，AB=4，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)∠DAM=90°時(shí)，求出直線AM的解析式為y=?x+1，解方程組y=?x+1y=x2?6x+5，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)∠ADM=90°時(shí)，求出直線DM的解析式為y=?x+5，解方程組y=?x+5y=x2?6x+5，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在AB上取點(diǎn)F，使BF=1，連接CF，證得BFPB=PBAB，又∠PBF=∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF=12PA，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PC+12PA的值最小，即為線段CF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CF即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸x=3，AB=4，
∴A1,0,B5,0，
將A1,0代入直線y=kx?1，得k?1=0，
解得k=1，
∴直線AD的解析式為y=x?1；
將A1,0,B5,0代入y=ax2+bx+5，得
a+b+5=025a+5b+5=0，解得a=1b=?6，
∴拋物線的解析式為y=x2?6x+5；
（2）存在點(diǎn)M，
∵直線AD的解析式為y=x?1，拋物線對(duì)稱軸x=3與x軸交于點(diǎn)E．
∴當(dāng)x=3時(shí)，y=x?1=2，
∴D3,2，
①當(dāng)∠DAM=90°時(shí)，
設(shè)直線AM的解析式為y=?x+c，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，
得?1+c=0，
解得c=1，
∴直線AM的解析式為y=?x+1，
解方程組y=?x+1y=x2?6x+5，
得x=1y=0或x=4y=?3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,?3；
②當(dāng)∠ADM=90°時(shí)，
設(shè)直線DM的解析式為y=?x+d，將D3,2代入，
得?3+d=2，
解得d=5，
∴直線DM的解析式為y=?x+5，
解方程組y=?x+5y=x2?6x+5，
解得x=0y=5或x=5y=0，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,5 或5,0
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,?3或0,5 或5,0；
（3）如圖，在AB上取點(diǎn)F，使BF=1，連接CF，
∵PB=2，
∴BFPB=12，
∵PBAB=24=12，、
∴BFPB=PBAB，
又∵∠PBF=∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴PFPA=BFPB=12，即PF=12PA，
∴PC+12PA=PC+PF≥CF，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PC+12PA的值最小，即為線段CF的長(zhǎng)，
∵OC=5,OF=OB?1=5?1=4，
∴CF=OC2+OF2=52+42=41，
∴PC+12PA的最小值為41．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東濟(jì)南·一模）拋物線y=?12x2+a?1x+2a與x軸交于Ab,0，B4,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,c，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)．
(1)求a，b，c的值；
(2)如圖1，連接BC、AP，交點(diǎn)為M，連接PB，若S△PMBS△AMB=14，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為α(0°AC，BC>AB，
∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，
∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。?br>又∵已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．
∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，
故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．
（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，
由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，

∵∠ACP=∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP'=60°
∴∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3，
∴A'B=BC2+A'C2=42+32=5，
∴PA+PB+PC最小值為5，
（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2a=a(PA+PB+2PC)
∴當(dāng)PA+PB+2PC最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，
將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，連接PP'，A'B
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠ACA'=90°，P'A'=PA，A'C=AC=4km，
∴PP'=2PC，
∴PA+PB+2PC=P'A'+PB+PP'，
當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+2PC取最小值為A'B，

過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥BC，垂足為H，
∵∠ACB=60°，∠ACA'=90°，
∴∠A'CH=30°，
∴A'H=12A'C=2km，
∴HC=AC2?AH2=42?22=23(km)，
∴BH=BC+CH=23+23=43(km)，
∴A'B=AH2+BH2=(43)2+22=213(km)
PA+PB+2PC的最小值為213km
總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2a=a(PA+PB+2PC)=213a（元）
故答案為：213a
【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
15．（2021·山東濟(jì)南·三模）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P （填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．
（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；
（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）
①求∠CPD的度數(shù)；
②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
【答案】（1）是；（2）見解析；（3）①60°，②見解析
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明∠ABP=∠PAB=30°, 可得∠APB=120°, 同法可得：∠APC=∠BPC=120°, 從而可得結(jié)論；
（2）由P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，證明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，從而可得△ABP∽△BCP；
（3）①如圖2所示：由△ABE與△ACD都為等邊三角形，證明△ACE≌△ADB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°； ② 先證明△ADF∽△PCF，可得AFPF=DFCF, 再證明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再證明∠BPC＝120°，從而可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖1所示：
∵AB＝BC，BM是AC的中線，
∴MB平分∠ABC．
同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．
∴∠APB＝120°．
同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．
∴P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
故答案為：是．
（2）∵P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．
∴ ∠APB＝∠BPC＝120°，
∴ ∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
∴△ABP∽△BCP．
（3）如圖2所示：
①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，{AC=AD∠EAC=∠BADAE=AB
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；
②證明：∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴ △ADF∽△PCF，
∴AFPF=DFCF,
∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP∽△DFC．
∴∠APF＝∠ACD＝60°，
∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，
∵∠6=60°,
∴∠BPC＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，
∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，確定圖中隱含的全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．
題型06 瓜豆原理模型
16．（22-23九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，A是⊙B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為（ ）
A．43+4B．4C．43+8D．6
【答案】A
【分析】以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，證明△DCM≌△ACB得到DM=AB=2，分析出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長(zhǎng)為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到線段BC的最大距離，即可求出面積的最大值．
【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，
∵∠DCA=∠MCB=60°，
∴∠DCA?∠ACM=∠MCB?∠ACM，即∠DCM=∠ACB，
在△DCM和△ACB中，
DC=AC∠DCM=∠ACBMC=BC，
∴△DCM≌△ACBSAS，
∴DM=AB=2，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長(zhǎng)為半徑的圓，要使△BCD的面積最大，則求出點(diǎn)D到線段BC的最大距離，
∵△BCM是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴點(diǎn)M到BC的距離為23，
∴點(diǎn)D到BC的最大距離為23+2，
∴△BCD的面積最大值是12×4×23+2=43+4，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓，再求出圓上一點(diǎn)到定線段距離的最大值．
17．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知AC=2AO=8，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若∠APB=60°且BP=12AP，連接AB，BC，則線段BC的最小值為 ．
【答案】27?3
【分析】如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，先證明△APD是等邊三角形，從而推出ABP=90°，∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，解直角三角形得到AMAO=ABAP=32，從而證明△AMB∽△AOP，得到BMOP=ABAP=32，則BM=3，則點(diǎn)B在以M為圓心，以3為半徑的圓上，當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)B'的位置時(shí)，BC有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，
∵BP=12AP，
∴AP=PD=2PB，
又∵∠APB=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∵B為PD的中點(diǎn)，
∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，
∴∠BAP=30°，
以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，
∴cs∠OAM=AMAO=32，
同理可得ABAP=32，
∵∠OAM=30°=∠PAB，
∴∠BAM=∠PAO，
又∵AMAO=ABAP=32，
∴△AMB∽△AOP，
∴BMOP=ABAP=32，
∵點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，即OP=2，
∴BM=3，
∴點(diǎn)B在以M為圓心，以3為半徑的圓上，
連接CM交圓M（半徑為3）于B'，
∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)B'的位置時(shí)，BC有最小值，
∵AC=2AO=8，
∴AO=4，
∴AM=AO?cs∠OAM=23，
∴AH=AM?cs∠MAH=3，HM=AM?sin∠MAH=3，
∴CH=5，
∴CM=HM2+CH2=27，
∴B'C=CM?MB'=27?3，
∴BC的最小值為27?3，
故答案為：27?3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即證明點(diǎn)B在以M為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)．
18．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為 ．
【答案】23+1/1+23
【分析】作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE，OE=23，∠OCP=∠ECD，由△COP∽△CED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP=1（定長(zhǎng)），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，由此即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE，OE=23，∠OCP=∠ECD，
∵∠CDP=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴ COCE=CPCD=2，
∴△COP∽△CED，
∴ OPED=CPCD=2，
即ED=12OP=1（定長(zhǎng)），
∵點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，
∴點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE=23+1，
∴OD的最大值為23+1，
故答案為：23+1．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
19．（20-21九年級(jí)·陜西西安·開學(xué)考試）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AE．
（1）當(dāng)E在AB的中垂線上時(shí)，把射線EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后交CD于F，連接BF．如圖①，若AB=4，求EF的長(zhǎng)．
（2）在（1）的條件下，連接BF，把△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BHK如圖②，連接CH，點(diǎn)N為CH的中點(diǎn)，連接AN，求AN的最大值．
【答案】（1）EF=83 （2）833
【分析】（1）通過(guò)菱形性質(zhì)證明AE=BE，在Rt△DAE中，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度，再Rt△DAE中，可以得到DE=2AE，在等腰△DEF中，利用角度推導(dǎo)出DE=3EF，代入數(shù)值求解即可．
（2）判斷出點(diǎn)Ｈ的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而知道點(diǎn)Ｎ的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到AN的最大值．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BD于點(diǎn)M，如下圖：
∵四邊形ABCD是菱形,且∠BAD=120°
∴AD=AB=4,∠ABC=∠ADC=60°
∵BD為菱形對(duì)角線
∴∠ABE=∠ADE=∠FDE=30°,
又∵E在AB的中垂線上
∴AE=BE
∴∠BAE=∠ABE=30°
∴∠AED=60°,∠EAD=∠BAD?∠BAE=120°?30°=90°
在Rt△DAE中，∠ADE=30°
∴DE=2AE
設(shè)：AE=x，則DE=2x
∵AE2+AD2=DE2
即：x2+42=(2x)2
解得：x=433
∴DE=833
∵∠AEF=90°，∠AED=60°
∴∠FED=30°
∴∠FED=∠FDE
∴EF=DF
又∵FM⊥BD
∴EM=DM
∴DE=2EM=2×32EF=3EF
∴833=3EF
∴EF=83
（2）連接AC,延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)M，則有AM⊥BC,點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BH為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)C為固定點(diǎn)，點(diǎn)Ｎ為CH的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，NM為半徑的圓，如下圖：
此時(shí)：在△AMN在，AM+MN≥AN,當(dāng) A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大
則：在Rt△AMC中，CM=12AC=2
∵AM2=AC2?CM2
∴AM2=12
∴AM=23
又∵M(jìn)點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，N是CH的中點(diǎn)
∴MN=12BH=12BE=233
∴AN=23+233=833
【點(diǎn)睛】本題看考查勾股定理，等腰三角形性質(zhì)．瓜豆模型等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意列出相關(guān)等量關(guān)系是解題重點(diǎn)．
20．（21-22八年級(jí)上·廣東湛江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，Aa,0、Bb,0，且a，b滿足(a+b)2+|3+b|=0，C、D兩點(diǎn)分別是y軸正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：
（1）如圖1，若C0,4，求△ABC的面積；
（2）如圖1，若C0,4,BC=5,BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若∠CBA=60°，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊△CDE，連接OE，當(dāng)OE最短時(shí)，求A，E兩點(diǎn)之間的距離；
【答案】(1)△ABC的面積為12；(2) D點(diǎn)的坐標(biāo)為?2,0；(3) A，E兩點(diǎn)之間的距離為32．
【分析】(1)利用完全平方式和絕對(duì)值的性質(zhì)求出a， b，然后確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用三角形面積公式求解即可；
(2)根據(jù)題意判斷出△CBD?△DAE，從而得到CB= AD，然后利用勾股定理求出CB，即可求出結(jié)論；
(3)首先根據(jù)已知推出△DCB?△ECA ，得到∠DBC=∠EAC=120°，進(jìn)一步推出AE∥BC ，從而確定隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的最短距離為垂線段的長(zhǎng)度，確定OE最短時(shí)，各點(diǎn)的位置關(guān)系，最后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解： (1) ：∵a+b2+b+3=0，
由非負(fù)性可知：a+b=0b+3=0 ，
解得：a=3b=?3
∴A(3，0)， B(-3，0)， AB=3-(-3)=6，
∵ C(0，4)，
∴OC=4，
∴S△ABC=12AB·OC=12×6×4=12；
(2)由(1)知A(3，0)， B(-3，0)，
∴OA=OB，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
在△AOC和△BOC中，
OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OC ，
∴△AOC?△BOCSAS ，
∴∠CBO=∠CAO，
∵∠CDA=∠CDE +∠ADE=∠BCD+∠CBA，∠CBA=∠CDE，
∴∠ADE=∠BCD，
在△BCD和△ADE中，
∠BCD=∠ADE∠CBD=∠DAEBD=AE ，
∴△BCD?△ADEAAS，
∴CB= AD，
∵ B(-3，0)， C(0，4)，
∴OB=3，OC=4,
∴ BC=OB2+OC2=5 ，
∴AD=BC=5，
∵A(3，0)，
∴D(-2，0)；
(3)由(2) 可知CB=CA，
∵∠CBA=60°，
∴△ABC為等邊三角形，∠BCA=60°， ∠DBC=120°，
∵△CDE為等邊三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
CD=CE∠DCB=∠ECACB=CA ，
∴△DCB≌△ECA( SAS)，
∴∠DBC=∠EAC= 120°，
∵∠EAC+∠ACB= 120°+60°= 180°，
∴AE∥BC，
即：隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線PQ上運(yùn)動(dòng)，
∵要使得OE最短，
∴如圖所示，當(dāng)OE⊥PQ時(shí)，滿足OE最短，此時(shí)∠OEA=90°，
∵∠DBC=∠EAC=120°，∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠EAC-∠CAB=60°，∠AOE= 30°，
∵ A(3，0)，
∴OA=3，
∴AE=12OA=32
∴當(dāng)OE最短時(shí)，A，E兩點(diǎn)之間的距離為32．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)等，理解平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的特征，掌握等腰或等邊三角形的性質(zhì)，熟練使全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
題型07 等腰（邊）三角形存在問(wèn)題
21．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，M為BC的中點(diǎn)，OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2?7x+12=0的兩個(gè)根OA

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2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難點(diǎn) 幾何動(dòng)點(diǎn)及最值、存在性問(wèn)題（原卷版+解析版）：

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幾何動(dòng)點(diǎn)及最值、存在性問(wèn)題--2024年中考數(shù)學(xué)：

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