專題04 幾何最值存在性問題-玩轉(zhuǎn)壓軸題,爭取滿分之備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)解答題高端精品-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品專題四幾何最值的存在性問題【考題研究】在平面幾何的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時(shí)，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。從歷年的中考數(shù)學(xué)壓軸題型分析來看，經(jīng)常會考查到距離或者兩條線段和差最值得問題，并且這部分題目在中考中失分率很高，應(yīng)該引起我們的重視。幾何最值問題再教材中雖然沒有進(jìn)行專題講解，到卻給了我們很多解題模型，因此在專題復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行壓軸訓(xùn)練是必要的。【解題攻略】最值問題是一類綜合性較強(qiáng)的問題，而線段和（差）問題，要?dú)w歸于幾何模型：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型．（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型．兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，建立一次函數(shù)或者二次函數(shù)求解最值問題．【解題類型及其思路】解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。【典例指引】類型一【確定線段（或線段的和，差）的最值或確定點(diǎn)的坐標(biāo)】【典例指引1】（2018·天津中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），將該長方形沿OB翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，OD與BC交于點(diǎn)E．（I）證明：EO=EB；（Ⅱ）點(diǎn)P是直線OB上的任意一點(diǎn)，且△OPC是等腰三角形，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅲ）點(diǎn)M是OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上任意一點(diǎn)，若存在這樣的點(diǎn)M、N，使得AM+MN最小，請直接寫出這個(gè)最小值．【舉一反三】（2020·云南初三）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn) B（﹣1，0），C（2，3），拋物線與y軸的焦點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)焦點(diǎn)為D，點(diǎn)M為線段AD上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)M作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)線段PM的長為1，當(dāng)t為何值時(shí)，1的長最大，并求最大值；（先根據(jù)題目畫圖，再計(jì)算）（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，△PAD的面積最大？并求最大值；（4）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使△PAD為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．類型二【確定三角形、四邊形的周長的最值或符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)】【典例指引2】（2020·重慶初三期末）如圖，拋物線（）與雙曲線相交于點(diǎn)、，已知點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)在第三象限內(nèi)，且的面積為3（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)、、的值；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在請求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（3）在坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，恰使得，現(xiàn)要求在軸上找出點(diǎn)使得的周長最小，請求出的坐標(biāo)和周長的最小值.【舉一反三】（2019·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校初三）如圖1，已知拋物線y＝﹣x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求出直線BC的解析式．（2）M為線段BC上方拋物線上一動點(diǎn)，過M作x軸的垂線交BC于H，過M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ周長最大值并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；當(dāng)△MHQ的周長最大時(shí)在對稱軸上找一點(diǎn)R，使|AR﹣MR|最大，求出此時(shí)R的坐標(biāo)．（3）T為線段BC上一動點(diǎn)，將△OCT沿邊OT翻折得到△OC′T，是否存在點(diǎn)T使△OC′T與△OBC的重疊部分為直角三角形，若存在請求出BT的長，若不存在，請說明理由．類型三【確定三角形、四邊形的面積最值或符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)】【典例指引3】（2019·甘肅中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對稱軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．【舉一反三】（2019·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于），兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；（2）點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知，若是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)（其中），連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）若點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【新題訓(xùn)練】1．如圖，直線y＝5x＋5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接BC，點(diǎn)N是線段BC上的動點(diǎn)，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線段ND長度的最大值；(3)若點(diǎn)H為二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4，m)是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．2．（2019·江蘇中考真題）如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’.（1）如圖1，當(dāng)PB=4時(shí)，若點(diǎn)B’恰好在AC邊上，則AB’的長度為_____；（2）如圖2，當(dāng)PB=5時(shí)，若直線l//AC，則BB’的長度為；（3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動過程中，若直線l始終垂直于AC，△ACB’的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；（4）當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值.3．（2019·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．(1)當(dāng)∠OAD＝30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長；(3)當(dāng)點(diǎn)A移動到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時(shí)cos∠OAD的值．4.（2018·江蘇中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是　　；（2）在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；（3）若正方形PQMN對角線的交點(diǎn)為T，請直接寫出在運(yùn)動過程中OT+PT的最小值．5.（2020·江蘇初三期末）已知二次函數(shù)的圖象和軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方的拋物線上的動點(diǎn).(1)求直線的解析式.(2)當(dāng)是拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求面積.(3)在點(diǎn)運(yùn)動過程中，求面積的最大值.6．（2020·江蘇初三期末）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)、.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，求面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，連接，當(dāng)直線與直線的一個(gè)夾角等于的3倍時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).7.（2019·石家莊市第四十一中學(xué)初三）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x（x﹣b）﹣與y軸相交于A點(diǎn)，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P．（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對稱，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面積；（3）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，該拋物線上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為h，求出h與b的關(guān)系；若h有最大值或最小值，直接寫出這個(gè)最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2020·山東初三期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．10．（2020·盤錦市雙臺子區(qū)第一中學(xué)初三月考）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.11．（2020·四川初三）如圖，一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式（2）如圖1，已知點(diǎn)在拋物線上，作射線BD，點(diǎn)Q為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，過Q作軸交拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)QM與QN的積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接AP，若點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 12．（2019·廣東初三）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A（6，0），拋物線的頂點(diǎn)為B．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長度單位的速度沿線段OB運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．問當(dāng)t為何值時(shí)，△OPA是直角三角形？（3）若同時(shí)有一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)長度單位的速度沿線段AO運(yùn)動，當(dāng)P、M其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為t（s），連接MP，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPM的面積最?。坎⑶蟠俗钚≈担?/span>13．（2019·山東初三期中）如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），且其對稱軸為直線x＝﹣1．（1）求此拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)Q是對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)OQ+BQ最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的動點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，點(diǎn)B），求△PAB面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．14.（2019·四川中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15.（2019·天津中考真題）已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的動點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，時(shí)，求的值；（Ⅲ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)的最小值為時(shí)，求的值．16.（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點(diǎn)E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求拋物線的解析式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長的最小值；（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L，且直線KL平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.17.（2019·遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（﹣2，﹣3）和點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．（1）求直線DE和拋物線的表達(dá)式；（2）在y軸上取點(diǎn)F（0，1），連接PF，PB，當(dāng)四邊形OBPF的面積是7時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸的右側(cè)時(shí)，直線DE上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運(yùn)動到終點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動路程最短時(shí)，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．18.（2019·湖南中考真題）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．

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