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\l "_Tc155385608" 題型01 利用二次函數(shù)解決單線段的最值問題
\l "_Tc155385609" 題型02 利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問題
\l "_Tc155385610" 題型03 利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問題
\l "_Tc155385611" 題型04 利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問題
\l "_Tc155385612" 題型05 利用二次函數(shù)解決三角形周長的最值問題
\l "_Tc155385613" 題型06 利用二次函數(shù)解決四邊形周長的最值問題
\l "_Tc155385614" 題型07 利用二次函數(shù)解決圖形面積的最值問題
\l "_Tc155385615" 類型一 利用割補、拼接法解決面積最值問題
\l "_Tc155385616" 類型二 利用用鉛垂定理巧求斜三角形面積最值問題
\l "_Tc155385617" 類型三 構建平行線，利用同底等高解決面積最值問題
\l "_Tc155385618" 題型08 利用二次函數(shù)解決定值問題
題型01 利用二次函數(shù)解決單線段的最值問題
【解題思路】拋物線中的線段最值問題有三種形式：
1．平行于坐標軸的線段的最值問題：常通過線段兩端點的坐標差表示線段長的函數(shù)關系式，運用二次函數(shù)性質(zhì)求解．求最值時應注意：
①當線段平行于y軸時，用上端點的縱坐標減去下端點的縱坐標；
②當線段平行于x軸時，用右端點的橫坐標減去左端點的橫坐標．在確定最值時，函數(shù)自變量的取值范圍應確定正確．
1．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C(0，﹣3)，連接BC．
(1)求拋物線的解析式及點B的坐標．
(2)如圖，點P為線段BC上的一個動點（點P不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值．
(3)動點P以每秒2個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位長度的速度在線段BO上由點B向點O運動，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3，（-3，0）
(2)94
(3)-3,-32或（-2，1）或0,3-32
【分析】（1）將A，C兩點坐標代入拋物線的解析式求得a，c的值，進而得出解析式，當y=0時，求出方程的解，進而求得B點坐標；
（2）由B，C兩點求出BC的解析式，進而設出點P和點Q坐標，表示出PQ的長，進一步得出結果；
（3）要使以點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分為PM=BM，PM=PB和BP=BM，結合圖象，進一步得出結果．
【詳解】（1）解：把點A(1，0)，C(0，﹣3)代入y=ax2+2x+c得：
c=-3a+2×1+c=0，解得：c=-3a=1，
∴拋物線解析式為y=x2+2x-3；
令 y=0，則x2+2x-3=0，
解得：x1=1,x2=-3，
∴點B的坐標為（-3，0）；
（2）解：設直線BC的解析式為y=kx+bk≠0，
把點B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
b=-3-3k+b=0，解得：k=-1b=-3，
∴直線BC的解析式為y=-x-3，
設點Pm,-m+3，則Qm,m2+2m-3，
∴PQ=-m-3-m2+2m-3=-m2-3m=-m+322+94，
∴當m=-32時，PQ最大，最大值為94；
（3）解：存在，
根據(jù)題意得：PC=2t,BM=t，則PB=32-2t，
如圖，當BM=PM時，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延長NP交y軸于點D，
∵點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形，
∴PN∥x軸，BN∥PM，即DN⊥y軸，
∴△CDP為等腰直角三角形，
∴CD=PD=PC?sin∠OCB=2t×22=t，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四邊形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x軸，
∴BN⊥x軸，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得t=32，
∴P-32,-32，
∴N-3,-32；
如圖，當PM=PB時，作PD⊥y軸于D，連接PN，
∵點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四邊形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如圖，當PB=MB時，
32-2t=t，解得：t=6-32，
∴PN=BP=BM=6-32，
過點P作PE⊥x軸于點E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四邊形OEPN為矩形，
∴PN=OE，PN⊥y軸，
∵∠OBC=45°，
∴BE=PE=PB?sin∠OBC=6-32×22=32-3，
∴OE=OB-BE=3-32-3=6-32，
∴點N在y軸上，
∴N0,3-32，
綜上所述，點N的坐標為-3,-32或（-2，1）或0,3-32．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的分類和等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是正確分類，畫出符合條件的圖形．
2．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C．且點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，5）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖（甲）．若點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點．當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；
（3）圖（乙）中，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（52，354）；（3）存在，M的坐標為：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【分析】（1）將A的坐標（﹣1，0），點C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得拋物線的解析式為y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）過P作PD⊥x軸于D，交BC于Q，過P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可證明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH＝PQ2，當PQ最大時，PH最大，設直線BC解析式為y＝kx＋5，將B（5，0）代入得直線BC解析式為y＝﹣x＋5，設P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），則Q（m，﹣m＋5），PQ＝﹣（m﹣52）2＋254，故當m＝52時，PH最大，即點P到直線BC的距離最大，此時P（52，354）；
（3）拋物線y＝﹣x2＋4x＋5對稱軸為直線x＝2，設M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC為對角線，則MN、BC的中點重合，可列方程組s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，即可解得M（3，8），②以MB、NC為對角線，則MB、NC的中點重合，同理可得s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB為對角線，則MC、NB中點重合，則s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得M（7，﹣16）．
【詳解】解：（1）將A的坐標（﹣1，0），點C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：
0=-1-b+c5=c，解得b=4c=5，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）過P作PD⊥x軸于D，交BC于Q，過P作PH⊥BC于H，如圖：
在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x軸，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝PQ2，
∴當PQ最大時，PH最大，
設直線BC解析式為y＝kx＋5，將B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直線BC解析式為y＝﹣x＋5，
設P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），則Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣52）2＋254，
∵a＝﹣1＜0，
∴當m＝52時，PQ最大為254，
∴m＝52時，PH最大，即點P到直線BC的距離最大，此時P（52，354）；
（3）存在，理由如下：
拋物線y＝﹣x2＋4x＋5對稱軸為直線x＝2，
設M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC為對角線，則MN、BC的中點重合，如圖：
∴s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，解得s=3t=-3，
∴M（3，8），
②以MB、NC為對角線，則MB、NC的中點重合，如圖：
∴s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得s=-3t=-21，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB為對角線，則MC、NB中點重合，如圖：
s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得s=7t=-11，
∴M（7，﹣16）；
綜上所述，M的坐標為：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點坐標的特征、等腰直角三角形、平行四邊形等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點的坐標和相關線段的長度．
3．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+4(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(-4,0)，B(1,0)，與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接BP、AC，交于點Q，過點P作PD⊥x軸于點D．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）連接BC，當∠DPB=2∠BCO時，求直線BP的表達式；
（3）請判斷：PQQB是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．
【答案】（1）y=-x2-3x+4；（2）y=-158x+158；（3）PQQB有最大值為45，P點坐標為(-2,6)
【分析】（1）將A(-4,0)，B(1,0)代入y=ax2+bx+4(a≠0)中，列出關于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值即可；
（2）設BP與y軸交于點E，根據(jù)PD//y軸可知，∠DPB=∠OEB，當∠DPB=2∠BCO，即∠OEB=2∠BCO，由此推斷△OEB為等腰三角形，設OE=a，則CE=4-a，所以BE=4-a，由勾股定理得BE2=OE2+OB2，解出點E的坐標，用待定系數(shù)法確定出BP的函數(shù)解析式即可；
（3）設PD與AC交于點N，過B作y軸的平行線與AC相交于點M．由A、C兩點坐標可得AC所在直線表達式，求得 M點坐標，則BM=5，由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，PQQB=PNBM=PN5，設P(a0,-a02-3a0+4)(-4

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