專題12 動點(diǎn)最值之費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)模型：如圖，在△ABC內(nèi)部找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當(dāng)點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點(diǎn)稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：1．費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小。2．費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120°。 費(fèi)馬點(diǎn)最小值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點(diǎn)的距離即為最小值證明過程：將△APC邊以A為頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時取得最小值BE例題1. 已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點(diǎn)。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求證：GA+GB+GC的值最小.例題2. 已知正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求正方形的邊長．                        【變式訓(xùn)練1】已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。若點(diǎn)P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD＋PE＋PF＝                 . 【變式訓(xùn)練2】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為______．【變式訓(xùn)練3】如圖，P是銳角△ABC所在平面上一點(diǎn)，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P就叫做△ABC費(fèi)馬點(diǎn)。（1）當(dāng)△ABC是邊長為4的等邊三角形時，費(fèi)馬點(diǎn)P到BC邊的距離為               ；（2）若點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，則PB的值為           ；（3）如圖2，在銳角△BC外側(cè)作等邊△ACB'，連接BB'.求證：BB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P.【變式訓(xùn)練4】如圖，某貨運(yùn)場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點(diǎn)A，D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B，C兩點(diǎn)）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)M，P建在何處時，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）    課后訓(xùn)練1.如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點(diǎn)，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（　?。?/span>A．+ B．+ C．4 D．32.如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為              .                    3.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則AM+BM+CM的最小值為　　．      4.若點(diǎn)P 為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4， 則PB的值為         ；（2）如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′ 過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA＋PB＋PC．    5.如圖1，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)：（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P          （填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，求證：△ABP∽△BCP；（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)，如圖2，①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).    6.如圖l，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E，連接CE．①依題意，請在圖2中補(bǔ)全圖形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的長（2）如圖3，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當(dāng)AC＝3，AB＝6時，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值．
 

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