專題16 動點最值之瓜豆模型--中考數學必備幾何模型講義（全國通用）-試卷下載-教習網

專題16 動點最值之瓜豆模型模型一、運動軌跡為直線問題1：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當點P在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？解析：當CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線.模型總結：條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；主動點、從動點到定點的距離之比是定量．結論：① 主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；② 主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角③ 當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長；例1.如圖，在平面直角坐標系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．【答案】【解析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．根據∠ABP＝60°，可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥，所得OP長度即為最小值，OP2＝OA＝3，所以．例2.如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝－x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．答案答】【分析】∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴可得：AP:AB＝，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，P點軌跡長ON為，故B點軌跡長為．【變式訓練1】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？【答案】【解析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在位置，最終G點在位置（不一定在CD邊），即為G點運動軌跡．CG最小值即當CG⊥的時候取到，作CH⊥于點H，CH即為所求的最小值．根據模型可知：與AB夾角為60°，故⊥．過點E作EF⊥CH于點F，則HF＝＝1，，所以，因此CG的最小值為．【變式訓練2】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在AB上，點D為BC的中點，△EDM為等邊三角形．若點E從點B運動到點A，則M點所經歷的路徑長為　6　．【解答】解：當點E在B時，M在AB的中點N處，當點E與A重合時，M的位置如圖所示，所以點E從點B運動到點A，則M點所經歷的路徑為MN的長，∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，∵AB＝6，∴AD＝＝3，∵△EDM是等邊三角形，∴AM＝AD＝3，∠DAM＝60°，∴∠NAM＝30°+60°＝90°，∵AN＝AB＝3，在Rt△NAM中，由勾股定理得：MN＝＝＝6，則M點所經歷的路徑長為6，故答案為：6．【變式訓練3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，點F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是　　．【解答】解：E的運動路徑是線段EE'的長；∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝，當F與A點重合時，在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，∴DE'＝，∠CDE'＝30°，當F與C重合時，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案為．【變式訓練4】如圖，已知線段AB＝12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB，則線段MB的最小值為 . 【答案】6【解析】如圖所示，∵∠FCB＝30o，∴F的路徑是定射線DF，又∵點M是DF的中點，∴，∵D點為定點，F點為主動點，M點為從動點，由瓜豆原理內容可知M點的路徑亦是一條射線，取CD的中點N，連接NM并延長，則射線NM就是M點的路徑，且NM∥CF，作BG⊥NM于點G，交CF于點H，則BG⊥CF，故BG＝BH＋HG＝BH＋CN＝4＋2＝6，∴線段BM的最小值即為BG，最小值為6.模型二、運動軌跡為圓問題1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，．問題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結：條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．例1.如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．【答案】1.5【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．∵C是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F，以F為圓心，FC為半徑作圓，即為點C軌跡，如圖所示：由題中數據可知OP＝5，又∵點A、F分別是OB、BP的中點，∴AF是△BPO的中位線，∴AF＝2.5，當M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、O三點共線，∴AC＝2.5－1＝1.5.例2.如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為（） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6【答案】A【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，∵，∴，即在和中，，∴，∴，∴點D的運動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，要使面積最大，則求出點D到線段BC的最大距離，∵是邊長為4的等邊三角形，∴點M到BC的距離是，∴點D到BC的最大距離是，∴的面積最大值是．故選：A．例3.如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．【解析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓．考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最?。蓸嬙烊怪?/span>全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．答案為【變式訓練1】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．【答案】π【解析】當點P位于弧AB的中點時，M為AB的中點，，設分別為AC、BC的中點，連接交CP于點O，如圖所示：∵，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M的運動路徑是以O為圓心，1為半徑的半圓，如圖藍色半圓，∴點M的運動路徑長為π.【變式訓練2】如圖，AB為的直徑，C為上一點，其中，，P為上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大,∵∴∠COH＝60°在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC=AB=3，∴OH＝OC＝，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝，∴CQ的最大值為，故選：D．【變式訓練3】如圖，中，于點是半徑為2的上一動點，連結，若是的中點，連結，則長的最大值為（）A．3 B． C．4 D．【答案】B【詳解】解：如圖，可知P在BA延長線與的交點時此時長的最大，證明如下：連接BP,∵,∴BD=DC,∵是的中點，∴DE//BP, ,所以當BP的長最大時，長的最大，由題意可知P在BA延長線與的交點時BP的長最大此時長的最大，∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,∵的半徑為2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故選：B.課后訓練1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝2，D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90o，連接BE，則線段BE的最小值為 .【解答】【解析】由題意可知C為定點，D點為主動點，路徑為線段AB，點E為從動點，∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45o，，結合瓜豆原理內容可知從動點E的路徑為一條線段，可以看成是由線段AB先繞著定點C逆時針旋轉45o，再以定點C為位似中心，以為位似比縮小來的，如圖，將BE的最小距離轉化為點到線的最小距離（點B到的最短距離），由旋轉相似可得，，，在中，有，則，∴線段BE的最小值為.3.如圖，，點O在線段上，，的半徑為1，點P是上一動點，以為一邊作等邊，則的最小值為_____．【答案】【詳解】解：如圖，在上方以為一邊作等邊，連接，和都是等邊三角形，，，即，在和中，，，，點在以點為圓心，長為半徑的圓上，如圖，設與交于點，過點作于點，則，則當點與點重合時，取得最小值，最小值為，，，是等邊三角形，，，，在中，，則，即的最小值為，故答案為：．4.點A是雙曲線在第一象限上的一個動點，連接AO并延長交另一交令一分支點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數圖像上運動，則這個函數的解析式為 . 【答案】【解析】連接OC，作CD⊥軸于點D，AE⊥軸于點E，如圖所示：設點A的坐標為，∵A、B兩點是正比例函數圖像與反比例函數圖像的交點，∴點A與點B關于原點對稱，∴OA＝OB，∵△ABC為等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC＋∠AOE＝90o，∵∠DOC＋∠DCO＝90o，∴∠DCO＝∠AOE，在△COD與△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS），，，∴點C在反比例函數的圖像上.7．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為____________．【答案】【詳解】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，在中，∵∠COH=60°，OC=1，∴OH=，在中，，∴CQ的最大值為．故答案為：．8.如圖，已知點M（0，4），N（4，0），開始時，△ABC的三個頂點A、B、C分別與點M、N、O重合，點A在y軸上從點M開始向點O滑動，到達點O結束運動，同時點B沿著x軸向右滑動，則在此運動過程中，點C的運動路徑長　4　．【解答】解：過點C'作C'D⊥x軸，C'E⊥y軸∵點M（0，4），N（4，0），∴OM＝ON，∵∠CA'C'+45°＝∠EAB+∠MGB＝45°+∠MGB，∴∠EA'C'＝∠B'GB，∵∠B'GB+∠GB'B＝45°，∠GB'B+∠DB'C'＝45°，∴∠EA'C'＝∠DB'C'，又∵A'C'＝B'C'，∴Rt△A'C'E≌Rt△B'C'D（HL），∴EC'＝DC'，∴C'在第四象限的角平分線上，∴C的運動軌跡是線段AC，∴C的運動路徑長為4；故答案為4；9.如圖，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120o，C是在上的動點，以BC為邊作正方形BCDE，當點C從點A移動至點B時，求點D運動的路徑長？【答案】【解析】將圓O補充完整，延長BO交圓O于點F，取的中點H，連接FH、HB、BD，如圖所示：由題意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90o，∵∠FDB＝45o＝∠FHB，∴點D在圓H上運動，軌跡如圖中藍色虛線，∴∠HFG＝∠HCF＝15o，∴∠FHG＝150o，∴∠CHB＝120o，∴，∴點D的運動路徑長度為.

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