本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
★?？荚図樌?br>注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知命題，命題，則命題是命題的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指對函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分，必要條件，即可判斷選項.
【詳解】因為函數(shù)和都是增函數(shù)，
若命題成立，則，則，
所以命題是命題的充分條件，
反之，若命題成立，則，但當(dāng)是非正數(shù)時，不等式?jīng)]有意義，
所以命題不是命題的必要條件，
所以命題是命題充分不必要條件.
故選：A
2. 已知單位向量滿足，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】，
所以，則.
故選：C
3. 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由純虛數(shù)的特征，即可列式求解.
【詳解】由題意可知，，，
得，根據(jù)選項可知，只有滿足條件.
故選：C
4. 若隨機(jī)變量的分布列如下表，表中數(shù)列為等差數(shù)列，則的取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
3
4
5
6
7
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，再根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，
則，即，則.
故選：D
5. 函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，，利用函數(shù)在處的切線與直線垂直，列出方程，即可求出實數(shù)的值．
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
在處的切線斜率為，
又在處的切線與直線垂直，
所以，解得.
故選：B.
6. 已知拋物線為坐標(biāo)原點，是拋物線上任意一點，為焦點，且，則直線的斜率的最大值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先設(shè)點的坐標(biāo)，再表示點的坐標(biāo)，并表示，利用基本不等式求最值.
【詳解】設(shè)，，由可知，，
直線斜率最大，則點是第一象限的點，即，
所以，
當(dāng)，即時，等號成立，
所以直線斜率的最大值為1.
故選：B
7. 正方體的棱長為3，平面內(nèi)一動點滿足，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求點的軌跡方程，并確定三棱錐體積最大時的點的位置，再代入三棱錐外接球的半徑公式，即可求解.
【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，由可知，
，
整理為，
所以點的軌跡是平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的圓，
如下圖，點到平面的最大值為6，此時點在的延長線上，且，
所以平面，，
等腰直角三角形的外接圓的半徑為，
所以三棱錐的外接球的半徑，
所以三棱錐外接球的表面積
故選：C
8. 已知對恒成立，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析函數(shù)在區(qū)間的零點和正負(fù)區(qū)間，再根據(jù)不等式分析函數(shù)的零點，利用韋達(dá)定理表示 關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】當(dāng)，，則，
當(dāng)，，
當(dāng)，，，
當(dāng)，，
當(dāng)，，，
若對恒成立，
則，并且函數(shù)的兩個零點分別是1和7，
則，則，，，
所以，
當(dāng)，，即時，等號成立，
所以的最小值為6.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為分析兩個函數(shù)和 的零點.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 回歸直線恒過樣本中心點，且至少過一個樣本點
B. 用決定系數(shù)刻畫回歸效果時，越接近1，說明模型的擬合效果越好
C. 將一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)都加上同一個正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大
D. 基于小概率值的檢驗規(guī)則是：當(dāng)時，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過
【答案】BD
【解析】
【分析】由回歸直線的性質(zhì)即可判斷A；利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)即可判斷C；
由獨立性檢驗的思想即可判斷D.
【詳解】A：回歸直線恒過樣本點的中心正確，但不一定會過樣本點，故A錯誤；
B：用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時，越接近1，說明模型的擬合效果越好，故B正確；
C：將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，
故方差不變，則標(biāo)準(zhǔn)差不變，故C錯誤；
D：根據(jù)獨立性檢驗可知D正確.
故選：BD
10. 如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點分別為為線段的中點，射線與單位圓交于點，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D. 點的坐標(biāo)為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)幾何圖形，即可確定A，結(jié)合三角函數(shù)的定義，以及向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，即可判斷BC，根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角恒等變換，即可判斷D.
【詳解】A.因為點是的中點，且，所以，故A正確；
B.有條件可知，，，，
，
所以，故B錯誤；
C.，故C正確；
D.
所以點的坐標(biāo)為，故D正確.
故選：ACD
11. 直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線族（不包括直線）．直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則該直線族的包絡(luò)曲線為圓
B. 若，則該直線族的包絡(luò)曲線為橢圓
C. 當(dāng)時，點可能直線族上
D. 當(dāng)時，曲線是直線族的包絡(luò)曲線
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)圓上的點為，求解該圓的切線方程即可判斷選項A；設(shè)橢圓上的點為，求解該橢圓的切線方程即可判斷選項B；若點可能在直線族
上，則存在使得，即函數(shù)有零點，因而對函數(shù)零點個數(shù)進(jìn)行分析從而判斷選項C；當(dāng)時，直線族為，將其與曲線聯(lián)立可得，即可得直線和曲線相切, 故可判斷選項D.
【詳解】對于A，設(shè)圓：上的點為，直線的斜率為，過點作圓的切線，由，得，
所以切線的方程為，即，故A正確；
對于B，設(shè)橢圓上的點為，過點作圓的切線，
當(dāng)切線斜率存時，設(shè)，，聯(lián)立得： ，
所以，.
作商：，得，
所以切線的方程為，即；
當(dāng)切線斜率不存在時，或，則切線方程和亦滿足，故B正確；
對于C，將代入得，構(gòu)造， ，
當(dāng)時，；當(dāng)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因而當(dāng)時，取到最小值，
所以在無零點，無解，故C錯誤；
對于D，若不在直線族上，則將代入直線得無解，則，所以,
因而可得當(dāng)在曲線上時，則一定在直線族上，
聯(lián)立和得，所以，故直線和相切，
又不包括直線，所以是直線族的包絡(luò)曲線，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 等比數(shù)列的前項和為，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公式和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由條件可知，，所以，，
所以.
故答案為：
13. 若為曲線上任意兩點，則兩點間距離的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】作出曲線的圖象，結(jié)合圖象分析任意兩點距離的最大值即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可得曲線關(guān)于軸，軸，原點對稱，
當(dāng)時，曲線方程化為，圓心;
當(dāng)時，曲線方程化為，圓心；
當(dāng)時，曲線方程化為，圓心；
當(dāng)時，曲線方程化為，圓心；
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
作出曲線在平面直角坐標(biāo)系下的圖象如下圖：
曲線上任意兩點距離的最大值為，
故答案為：.
14. 已知，若不等式恒成立，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】首先不等式轉(zhuǎn)化為，恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，并求得，再討論的正負(fù)，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為的最大值，即可求解.
【詳解】，則，
所以不等式恒成立，即，恒成立，
，，所以
設(shè)，
，得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取值最大值，
所以，即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
設(shè)，，，得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題轉(zhuǎn)化為2次最值，一次是參變分離為，，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，第二次是轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求；
（2）若，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換和正弦定理，化簡條件等式，即可求解；
（2）首先根據(jù)正弦定理以及二倍角的正弦公式，化簡求角，再根據(jù)正弦定理，即可求解.
【小問1詳解】
由條件可知，，
因為，所以，
即，由正弦定理可知，，
即，且，
所以，則，，
所以.
【小問2詳解】
由正弦定理可知，，
即，則，，
所以，，所以，
且，，則，
由正弦定理可知，，即，
，
所以，則,
所以的周長為.
16. 已知函數(shù)．
（1）時，求的極值；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)取得極大值，無極小值；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值；
（2）利用參變分離，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，
，得，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，無極小值；
【小問2詳解】
由題意可知，，
即恒成立，即，恒成立，
設(shè)，，
設(shè)，，
，
設(shè)，所以，得（負(fù)值舍去），
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，即恒成立，
所以單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
所以.
17. 如圖，四棱錐中，是邊長為2的正方形，是以為頂點的等腰直角三角形，為的中點，為的中點，．
（1）證明：；
（2）過兩點的平面與直線分別交于點，且平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，證明平面，即可證明線線垂直；
（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理說明，再根據(jù)（1）的結(jié)果，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用向量法求解.
【小問1詳解】
連結(jié)，因為是等腰直角三角形，且為斜邊的中點，
所以，且，
，，
所以，
所以，且，平面，
所以平面，且平面，
所以.
【小問2詳解】
連結(jié)，因平面，平面，平面平面，
所以，即，
由（1）知平面，
如圖以點為原點，為軸，過點作與平行的直線為軸，
，，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則，，
則平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為
則，即，令，則，
所以平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知橢圓的左，右焦點為，點是橢圓上任意一點，的最小值是．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的上，下頂點，為橢圓上異于的兩點，記直線的斜率分別為，且．
（?。┳C明：直線過定點；
（ⅱ）設(shè)直線與直線交于點，直線的斜率為，試探究滿足的關(guān)系式．
【答案】（1）
（2）（?。┳C明見詳解；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，由求出即可；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程得，由韋達(dá)定理及化簡求解即可得出直線過定點；寫出直線方程，作比化簡得出，解得，即點在直線上，記與軸的交點為，借助表達(dá)出即可.
【小問1詳解】
由橢圓知，，
，
所以，所以，
所以橢圓的方程為；
【小問2詳解】
（?。┤糁本€斜率不存在，則，不符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立直線與橢圓方程，得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
又因為，
所以，
又因為，所以，解得，
即直線方程為，
故直線過定點；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，直線方程為，直線方程為，
所以，解得，即點在直線上，
記與軸的交點為，
則，
，
又因為同號，所以.
19. 某商家推出一個活動：將n件價值各不相同的產(chǎn)品依次展示在參與者面前，參與者可以選擇當(dāng)前展示的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動立刻結(jié)束；若不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類推，整個過程參與者只能繼續(xù)前進(jìn)，不能返回，直至結(jié)束．同學(xué)甲認(rèn)為最好的一定留在最后，決定始終選擇最后一件，設(shè)他取到最大價值產(chǎn)品的概率為；同學(xué)乙采用了如下策略：不取前件產(chǎn)品，自第件開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的每一個產(chǎn)品的價值都大，就選擇這件產(chǎn)品，否則就取最后一件，設(shè)他取到最大價值產(chǎn)品的概率為．
（1）若，求和；
（2）若價值最大的產(chǎn)品是第件（），求；
（3）當(dāng)趨向于無窮大時，從理論的角度（即），求的最大值及取最大值時的值．（取）
【答案】（1），
（2）
（3）的最大值為，此時
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意直接求，根據(jù)同學(xué)乙的選法規(guī)則，結(jié)合排列問題，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合排列，組合問題，以及古典概型概率公式，即可求解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，以及全概率公式求，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
【小問1詳解】
由題意可知，，
依題意，4個產(chǎn)品的位置從第一個到第4個排序，有種情況，同學(xué)乙要取最貴價值產(chǎn)品，有以下兩種情況：
最貴價值產(chǎn)品是第3個，其它的隨意在哪個位置，有種情況；最貴價值產(chǎn)品是第4個，第二貴價值產(chǎn)品是第1個或第2個，
其它的隨意在哪個位置，有種情況，所以所求概率
【小問2詳解】
法一：若考慮全部產(chǎn)品排序，價值最大的產(chǎn)品是第件，共有種排法，
先從件產(chǎn)品中挑件產(chǎn)品出來，
其中價值最大的產(chǎn)品放在前，剩下的全排列，共種排法，剩下的件產(chǎn)品全排列，
即
；
法二：若價值最大的產(chǎn)品是第件，則乙同學(xué)能取到該產(chǎn)品，
只需要前件產(chǎn)品中價值最大的產(chǎn)品排在前件，即；
【小問3詳解】
記事件表示最貴價值產(chǎn)品被乙同學(xué)取到，事件表示最貴價值產(chǎn)品排在第個，則，
由全概率公式可知，，
當(dāng)時，最貴價值產(chǎn)品在前個中，不會被取到，此時,
當(dāng)時，最貴價值產(chǎn)品被取到，當(dāng)且僅當(dāng)前件產(chǎn)品中最貴的一個在前個之中，此時，
此時，
令，，由，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，于是當(dāng)時，取得最大值，
所以的最大值為，此時的值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解同學(xué)乙的選法規(guī)則，利用排列，組合，解決概率問題.

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