一、單選題（本大題共8小題）
1．等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前9項和為（ ）
A．54B．63C．66D．72
2．棱長為的正四面體中，點是AD的中點，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè) Sn 是等比數(shù)列 an 的前 n 項和，若 S3=4 ， a4+a5+a6=6 ，則 S9S6= （ ）
4．已知兩條直線與被圓截得的線段長均為2，則圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點，在x軸上，A，B是橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．5
8．正方體的棱長為5，點在棱上，且，點是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為25，則動點到點的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則（ ）
A．公差B．C．D．時，最大
10．在正方體中，，點是的中點，空間中一點滿足，則（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面
D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得與所成角為
11．雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）
B．已知，，為雙紐線上任意一點，則
C．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為
D．曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則 ．
13．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，若，則 .
14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)（）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點，為直線：上的動點，為圓：上的動點，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．若數(shù)列的前n項和為，且，等差數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
16．如圖，在四棱錐中，，，，，平面，與平面所成角為，為中點，

(1)證明：；
(2)若直線與平面所成角為，求的值.
17．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：eq \f(k1,k2)為定值．
18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為，離心率為，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點，的延長線分別交橢圓于點，連接，若的周長為.

(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)軸，求的面積；
(3)若分別記的斜率分別為，求的最大值.
19．已知兩個數(shù)列和的項數(shù)均為，且對于數(shù)列，其中，若存在滿足：①，都有；②，使得，則稱數(shù)列是的單極數(shù)列.
(1)已知，若的單極數(shù)列為，求滿足條件的的個數(shù).
(2)已知是的單極數(shù)列.
（i）若，求.
（ii）若，當(dāng)時，證明.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，
故前9項的和為.
故選A.
2．【正確答案】A
【詳解】因為，
所以，
又，，，，
所以．
故選：A．
3．【正確答案】B
【分析】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q ，求得 q3 的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q ，若 q=1 ，則 a4+a5+a6=3a1=S3 ，矛盾.
所以， q≠1 ，故 a4+a5+a6=a41?q31?q=a1q31?q31?q=q3S3 ，則 q3=32 ，
所以， S6=a11?q61?q=1+q3?a11?q31?q=52S3 ，
S9=a11?q91?q=1+q3+q6a11?q31?q=194S3 ，
因此， S9S6=19S34?25S3=1910 .
4．【正確答案】A
【詳解】因為兩條直線與，
所以，
所以與間的距離為，
所以圓心到直線的距離為1，
因為直線被圓截得的弦長為2，
所以圓的半徑為，
所以圓的面積為.
故選：A.
5．【正確答案】B
【詳解】橢圓方程，
則點P的坐標(biāo)為，，，，
于是，，由得，即，
故，．
故選：B
6．【正確答案】D
【詳解】以為原點，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，，，，．，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，，故．
因為直線與平面所成角的正切值為，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
即，解得．
所以平面的一個法向量，
故到平面的距離為．
故選：D
7．【正確答案】A
【分析】先確定兩直線所過的定點、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】依題意，直線過定點，直線可整理為，故直線過定點，
又因為直線和直線始終垂直，為兩直線交點，
所以，
則，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值是.
故選：A.
8．【正確答案】A
【詳解】
如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，
過點Q作，交于，則易知平面，所以即為P到直線的距離．
因為，且，所以．
所以點P的軌跡是以AD為準(zhǔn)線，點M為焦點的拋物線．
如圖建立直角坐標(biāo)系，則點P的軌跡方程是，
點，設(shè)，所以
，所以當(dāng)，取得最小值.
故選：A
9．【正確答案】BC
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得，
由于，所以，，所以AD選項錯誤，B選項正確.
，C選項正確.
故選：BC
10．【正確答案】AC
【詳解】對于選項A，當(dāng)時，，
如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時P在線段上，
由于在正方體中，平面，平面，
所以，選項A正確；
對于選項B，當(dāng)時，，
如圖所示，

由平面向量基本定理，此時P在線段上，
由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時為定值，
但因為頂點P在線段上運動，所以P到底面的高不確定，
故三棱錐的體積不是定值，選項B錯誤；
對于選項C，當(dāng)時，如圖所示，

此時，
由平面向量基本定理，取AB與中點M，N，則P在線段MN上運動，
由圖可知，過B點且與平面平行的平面為平面，
平面，所以此時平面，
又P是MN與交點，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點時，有平面，
故選項C正確；
對于選項D，如圖所示，

以D為原點，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因為，則有，
又，
所以，
所以.
于是，，
所以的夾角為時有，
，
解得或，
即或都可以使得的夾角為，
選項D錯誤.
故選：AC.
11．【正確答案】BCD
【詳解】對于A，由，可得，
所以，即，
令，解得，或；
當(dāng)時，得，無解；
當(dāng)時，得，無解；
所以曲線C經(jīng)過整點，故A錯；
對于B，由于，，則，
所以為雙紐線上任意一點，則，B正確；
對于C，直線與曲線一定有公共點，
若直線與曲線C只有一個交點，
所以，整理得無非零實數(shù)解，
，實數(shù)k的取值范圍為，故C正確；
對于D，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為
，故D正確.
故選：BCD.
12．【正確答案】
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，
當(dāng)時，有；
當(dāng)時，有，不符合，
故
故
13．【正確答案】
【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，
所以
又
所以
即.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】令，則，
依題意，圓是由點，確定的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點坐標(biāo)為，則，
整理得，而該圓的方程為，
則，解得，點的坐標(biāo)為，
因此，當(dāng)時，最小，最小值為，
所以當(dāng)時，的值最小為.
故
15．【正確答案】(1)；
(2)
【詳解】（1），
又，
兩式相減得，
即，故數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，
又當(dāng)時，，得，
，
，，
等差數(shù)列的公差為，
；
（2）由（1）可得，
，
上兩式相減得，
.
16．【正確答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）因為，，
所以，因為平面，與平面所成角為，
所以為與平面所成角，即，
則，又平面，
所以，
所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由題，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，所以，所以由（1）得，
取，則，又直線與平面所成角為，
所以
，解得.
17．【正確答案】(1) x2－eq \f(y2,4)＝1(2)證明見詳解
【詳解】(1)∵虛軸長為4，∴2b＝4，即b＝2，
∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，
∴eq \f(b,a)＝2，∴a＝1，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，
由題可知，直線l的斜率不能為零，故可設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，）
得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y1＋y2＝－eq \f(16n,4n2－1)，
y1y2＝eq \f(12,4n2－1)，
∴ny1y2＝－eq \f(3,4)(y1＋y2)，
∵直線MA的斜率k1＝eq \f(y1,x1＋1)，
直線NB的斜率k2＝eq \f(y2,x2－1)，
∴eq \f(k1,k2)＝eq \f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1）＝eq \f(y1(ny2＋1),y2(ny1＋3）＝eq \f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq \f(－\f(3,4)(y1＋y2)＋y1,－\f(3,4)(y1＋y2)＋3y2)＝－eq \f(1,3)，為定值．
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意：，
可得：，
故橢圓方程；
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
當(dāng)時，由在第一象限，可得，
即P1,22，故求得直線方程為，
聯(lián)立方程，得，
整理得，
，
所以；
（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，因為Px0,y0在橢圓上，故，
由題意
故將直線與橢圓聯(lián)立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即
同理：將直線與橢圓聯(lián)立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即，
所以，
故
由Px0,y0在第一象限內(nèi)，故
的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)在處取到等號.
19．【正確答案】(1)18
(2)（i）；（ii）證明見解析
【詳解】（1）由題意可知，為的最大值.
若的單極數(shù)列為，
則有或，
或或或或，
則滿足條件的的個數(shù)為.
（2）（i）由為的最大值，可知，
由，得，
兩式相減，得，
整理，得，
又，
則，即，所以，即.
（ii）設(shè)，
因為，
則，
，
.
易知，
，即，
，即.
又，
則有.
所以
由，得，
即.A． 32
B． 1910
C． 53
D． 196

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