1. 將化為弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用角度制與弧度制的互化關(guān)系求解.
【詳解】.
故選：A.
2. 已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，由誘導(dǎo)公式得到答案.
【詳解】由三角函數(shù)定義知，，
.
故選：C
3. 已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律和投影向量公式求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是，
故選：D
4. 將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合三角函數(shù)伸縮變換與平移變換的性質(zhì)往回推導(dǎo)即可得.
【詳解】由題意可得，將函數(shù)橫坐標(biāo)變?yōu)榈皆瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，
可得，再將其向右平移個單位長度，
即，即.
故選：B.
5. 函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】分別畫出，圖象，求兩函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可得.
【詳解】令，，
則的零點(diǎn)個數(shù)即為與的交點(diǎn)個數(shù)，
畫出兩函數(shù)圖象如圖所示：

由圖可得與的交點(diǎn)個數(shù)為個，
故函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.
故選：B.
6. 在內(nèi)函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)和對數(shù)的真數(shù)要大于零即可求解.
【詳解】對于，有，
由，得，解得，
又，得；
由，得，解得，
又，得或或；
綜上，或，
所以的定義域?yàn)椋?br>故選：.
7. 已知等邊三角形的邊長為2，點(diǎn)為內(nèi)切圓上一動點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以的內(nèi)切圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求出最小值.
【詳解】正的邊長為2，則其內(nèi)切圓半徑，
以正的中心為原點(diǎn)，邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，
而，因此，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為1.
故選：B
8. 已知且，則的最大值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】將寫成，寫成，利用兩角和與差正弦公式展開得到，再利用結(jié)合基本不等式求得其最大值.
【詳解】因?yàn)?，且，所以?br>所以
即，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題：每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 已知平面向量，下列說法不正確的有（ ）
A. 若，，則
B.
C.
D. 若，則
【答案】AB
【解析】
【分析】由時不成立可得選項(xiàng)A錯誤；根據(jù)數(shù)量積的概念可知選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)可得選項(xiàng)C正確；根據(jù)得，化簡可得選項(xiàng)D正確.
【詳解】A.當(dāng)時，滿足，，但不一定成立，選項(xiàng)A錯誤.
B.設(shè)，則，與關(guān)系不確定，選項(xiàng)B錯誤.
C. ，選項(xiàng)C正確.
D.由得，，即，
∴，即，選項(xiàng)D正確.
故選：AB.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 曲線的一個對稱中心為
B. 函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增
C. 函數(shù)為偶函數(shù)
D. 函數(shù)在內(nèi)有4個零點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，利用三角恒等變換得到，從而得到，A錯誤；B選項(xiàng)，求出，數(shù)形結(jié)合得到B正確；C選項(xiàng)，，
C正確；D選項(xiàng)，令，即，時，，求出時，，故函數(shù)內(nèi)有4個零點(diǎn)，D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，
，
，故一個對稱中心為，A錯誤；
B選項(xiàng)，時，，
由于在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，B正確；
C選項(xiàng)，，
由于為偶函數(shù)，故為偶函數(shù)，C正確；
D選項(xiàng)，令，即，，
時，，
故當(dāng)，即時，，
故函數(shù)在內(nèi)有4個零點(diǎn)，D正確.
故選：BCD
11. 已知，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)，扇形的半徑為1，則弧長，利用面積法證明，進(jìn)而可得，可判斷A，得到在上為減函數(shù)，可判斷B，由已知可得，利用利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用二倍角的正弦可得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.
【詳解】設(shè)，扇形的半徑為1，則弧長，
過作交的延長線與點(diǎn)，由圖形可得，
由題意的邊上的高為，所以，
所以，

對于A，因?yàn)?，又，所以，所以，故A正確；
對于B，因?yàn)椋稍谏暇鶆蛟黾樱?br>而在上增加速度是由快變慢，所以可得在上為減函數(shù)，又
，所以，所以，故B正確；
對于C，由，則，且，
又，則，
所以，故C錯誤；
對于D，由，可得，又，
則，所以，
所以，又在是減函數(shù)，所以，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用圖形證明，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論成立.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 一個扇形的周長為，面積為，則此扇形的圓心角為__________.（用弧度制表示）
【答案】##
【解析】
【分析】借助扇形周長公式與扇形面積公式計算即可得.
【詳解】由題意可得，解得，
即此扇形的圓心角為.
故答案為：.
13. 設(shè)是平面內(nèi)不共線的一組基底，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】
【解析】
【分析】借助向量線性運(yùn)算可得、，再利用向量共線定理計算即可得.
【詳解】，
，
由三點(diǎn)共線，則有，解得.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，其中，在上有6個零點(diǎn)，則的范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由給定區(qū)間求出相位所在的范圍，再由函數(shù)的零點(diǎn)表達(dá)式，結(jié)合6個零點(diǎn)列出不等式組，借助不等式組有解求出范圍.
【詳解】由，得，由，得，
由在上有6個零點(diǎn)，得，
解得，由，解得，無整數(shù)解；
由，解得，而，因此；
由，解得，而，因此或；
由，解得，而，因此，
當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，
所以的范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求出相位范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的零點(diǎn)表達(dá)式及零點(diǎn)個數(shù)列出不等式組，再由不等式組確定整數(shù)的取值進(jìn)而求出范圍.
四?解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)，在線段上，滿足，設(shè).
（1）用表示向量；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線性運(yùn)算和平面向量的基本定理求解；
（2）用表示向量，再利用數(shù)量積的運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
解：，
，
；
【小問2詳解】
，
，
又，
所以，
，
所以.
16. 已知.
（1）分別求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先判斷，，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求和的值；
（2）結(jié)合（1），利用兩角和的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求的值
【小問1詳解】
因?yàn)?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以，則，
【小問2詳解】
即，
可得
17. 已知函數(shù).
（1）若是三角形中一內(nèi)角，且，求的值；
（2）若函數(shù)在，有唯一零點(diǎn)，求的范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)差角公式、倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用題目條件及三角形內(nèi)角的范圍可得結(jié)果.
（2）根據(jù)條件可得，令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有唯一交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可解決問題.
【小問1詳解】
由題意得，
，
∴，∴，
∵，∴，
∴，解得.
【小問2詳解】
由（1）得，，
由得，
令，由得，
問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有唯一交點(diǎn)，作出在上的函數(shù)圖象，
∵，，
∴或，解得或.
∴的范圍是或.
18. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，
（1）求的解析式；
（2）已知在值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?br>（3）將圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為到原來的（橫坐標(biāo)不變），再將所得到圖象向右平移個單位長度得到的圖象.已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解.
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②求的值.（用表示）
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的周期，可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合，，利用余弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)列式求解即可；
（3）①先將化簡，然后結(jié)合該函數(shù)在的單調(diào)性、最值情況構(gòu)造不等式求出的范圍；
②可先根據(jù)兩根關(guān)于對稱軸對稱求出的關(guān)系，然后代入利用三角恒等變換公式化簡求值．
【小問1詳解】
由圖象可知，，所以，則，
所以，
因?yàn)榧矗?br>因?yàn)?，則，所以，解得，
因此；
【小問2詳解】
，，
由題意在的值域?yàn)椋Y(jié)合題干圖象知，
解得；
【小問3詳解】
①將圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為到原來的（橫坐標(biāo)不變），
再將所得到圖象向右平移個單位長度得到的圖象，
則，其中，
因?yàn)?，所以，所以?br>又因?yàn)椋允呛瘮?shù)一個周期的區(qū)間．
所以若方程在內(nèi)有兩個不同的解，
只需，即即為所求．
②令，因?yàn)橛诘姆匠淘趦?nèi)有兩個不同的解，
所以滿足，即，，
又的對稱軸由，
結(jié)合得對稱軸為，
可知，關(guān)于對稱軸對稱，所以，
所以或．
當(dāng)時，
．
當(dāng)時，
．
故．
19. 固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正，余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
（1）已知，求；
（2）類比正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)）的一個正確的結(jié)論（即求或）并證明；
（3）已知，對任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2），，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和的計算公式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則求解即可.
（2）類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，寫出雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)，證明即可．
（3）設(shè)，則，時，，進(jìn)而求的取值范圍，化為，利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解，即可求出的取值范圍．
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以，
所以，所以．
【小問2詳解】
類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，
得雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)；
證明如下：；
．
【小問3詳解】
因?yàn)椋O(shè)，則，
當(dāng)時，，所以，
所以，
可化為，
由題意，只需，對任意恒成立即可，
即或，所以或恒成立；
，故在上的最小值是，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值；
因?yàn)?，所以由對勾函?shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，
所以在上的最大值是7，當(dāng)取得最大值；
所以的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問題，解題方法是抓住新定義，把新定義轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的表達(dá)式，函數(shù)不等式恒成立問題，首先需要通過函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性化簡不等式，對于較復(fù)雜的不等式，需要用換元法等進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化，如本題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分類討論求相應(yīng)二次函數(shù)的最值后求得參數(shù)范圍．

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