高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?br>.
故選：A.
2. 已知，，且，的夾角為，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算可得，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得，所以
，
故，
故選：D
3. 為了得到的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ）
A. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】A
【解析】
【分析】先將寫成的形式，根據(jù)函數(shù)的圖像“左加右減”的原則，比較前后變化即得平移變換的方向與長(zhǎng)度.
【詳解】因，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得函數(shù)的圖像.
故選：A.
4. 已知，且滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)進(jìn)行求解，得到答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以在上的投影向量為.
故選：D
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由展開求的值，再將展開后構(gòu)造齊次式，將其轉(zhuǎn)化成正切的式子代入求解即得.
【詳解】由可得：，解得：，
因，
，
故.
故選：C.
6. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)后即可比較大小.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，即，
故選：B.
7. 在中，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是直線，的交點(diǎn)，過點(diǎn)做一條直線交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)（其中點(diǎn)，均不與端點(diǎn)重合）設(shè)，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意作交于F，可推出，利用向量的線性運(yùn)算推出，結(jié)合題意推出，根據(jù)三點(diǎn)共線可得，結(jié)合“1”的妙用，即得，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】作交于F，連接 ，則∽，故，
由于點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，故，
，故，又∽，故，
故，
則
,
由于，，故，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為，
故選：B
8. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得，繼而利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值，即得答案.
【詳解】由題意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡(jiǎn)得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)求值即可.
二、選擇題：本題共4小題，每小迻5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，全部選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 相位為
B. 對(duì)稱中心為，
C. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
D. 將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象
【答案】AD
【解析】
【分析】求解正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心及單調(diào)性時(shí)，一般都要把相位看成整體，再利用正弦函數(shù)在一個(gè)周期上的相關(guān)性質(zhì)解決；對(duì)于圖象平移伸縮變換，要弄清對(duì)圖像的影響即得.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)定義可知即相位，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，由可得：
即其對(duì)稱中心為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得：，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間應(yīng)是，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，故D項(xiàng)正確.
故選：AD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 已知，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B. ，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得
C. 兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向
D. 中，，，則為等邊三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基底的定義可判斷選項(xiàng)A；利用向量共線定理可判斷選項(xiàng)B；利用數(shù)量積的定義可判斷選項(xiàng)C、D.
【詳解】由，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，
所以設(shè)，所以，則不存在，
所以與不共線，則可作為平面的一組基底，故A對(duì)；
只有當(dāng)時(shí)，若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)；
因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，，設(shè)與夾角為，
由，平方得，
，所以，又，所以，則與共線且反向，
故C對(duì)；
在中，，所以，，所以，
由，得，即，則為等邊三角形，故D對(duì).
故選：ACD
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為B. 為偶函數(shù)
C. 的圖象關(guān)于對(duì)稱D. 的值域?yàn)?br>【答案】BD
【解析】
【分析】通過與的關(guān)系即可判斷項(xiàng);通過與的關(guān)系即可判斷項(xiàng);通過化簡(jiǎn)與2的關(guān)系即可判斷項(xiàng);令則通過討論的單調(diào)性,結(jié)合最值,即可得出值域,從而判斷項(xiàng).
【詳解】對(duì)于,故錯(cuò)誤;
對(duì)于由得,的定義域?yàn)?br>且是偶函數(shù),故正確;
對(duì)于不是定值,故錯(cuò)誤；
對(duì)于
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
又
當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?
即的值域?yàn)?故正確.
故選:.
12. 已知函數(shù)，若（）有個(gè)零點(diǎn)，記為，，…，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，可判斷A；確定的取值范圍，利用基本不等式可判斷B；確定的取值范圍，結(jié)合不等式性質(zhì)可判斷C；結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可判斷D.
【詳解】將函數(shù)的圖象沿y軸對(duì)稱并將x軸下方部分翻折到x軸上方，
即可得到的圖象；
對(duì)于，最小正周期為，
故上有4個(gè)周期，令,
則可得的對(duì)稱軸為；
由此作出函數(shù)的圖象，如圖：
則（）零點(diǎn)問題即為的圖象與直線的交點(diǎn)問題，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有5個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有9個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，的圖象與直線有10個(gè)交點(diǎn)，符合題意，A正確；
由題意可知，滿足，
則，即，
，，即，
即，B正確；
當(dāng)時(shí)，或，
即或；
結(jié)合圖象知，故，C錯(cuò)誤；
由圖象可知的圖象與直線有10個(gè)交點(diǎn)，即，
且關(guān)于直線對(duì)稱，故，
同理得，
，
故
，D正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，因此要熟練應(yīng)用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，求解問題，解答時(shí)要注意三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，特別是正弦函數(shù)的對(duì)稱軸問題.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知一個(gè)扇形的面積和弧長(zhǎng)均為，則該扇形的圓心角為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出扇形的半徑，結(jié)合圓心角弧度的計(jì)算，即得答案.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，由于一個(gè)扇形的面積和弧長(zhǎng)均為，
則，
故該扇形的圓心角為，
故答案為：
14. 設(shè)，為兩個(gè)單位向量，且，若與垂直，則______.
【答案】##-0.4
【解析】
【分析】根據(jù)向量與垂直可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意知設(shè)，為兩個(gè)單位向量，且，與垂直，
故，即，
故，解得，
故答案為：
15. 已知，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)角的范圍，確定的范圍，結(jié)合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用兩角和的余弦公式即可求得答案.
【詳解】由于，故，結(jié)合，
可得，
則，
，
所以
；
故答案為：
16. 函數(shù)（，），設(shè)為函數(shù)的最小正周期，，且函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合求出參數(shù)，再分類討論函數(shù)的單調(diào)性，列出相應(yīng)的不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意得
，
由于，即，
結(jié)合，可得，
故在上單調(diào)，
若在上單調(diào)遞增，
則，即，，
需滿足，
而，故時(shí)，；
若在上單調(diào)遞減，
則，即，，
需滿足，
而，故時(shí)，；
故的取值范圍為為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答時(shí)由題意可求出，因此解答的關(guān)鍵在于要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，列出相應(yīng)的不等式組，求出的范圍.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
17. 單位向量，滿足.
（1）求與夾角的余弦值：
（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，再由模長(zhǎng)與數(shù)量積求得與夾角的余弦值；
（2）由題意得且與不共線，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，即，則，
則，即與夾角的余弦值.
【小問2詳解】
因?yàn)榕c的夾角為銳角，
所以且與不共線，
當(dāng)與共線時(shí)，有，即，
由（1）知與不共線，所以，解得，
所以當(dāng)與不共線時(shí)，，
由，得，
即，解得，
所以且，即實(shí)數(shù)取值范圍為.
18. 已知
（1）化簡(jiǎn)；
（2）若，且滿足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)即可；
（2）解出或，再利用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)代入計(jì)算即可.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
，解得或，即或，
，
當(dāng)時(shí)，且，有，解得，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，且，有，解得，
此時(shí)；
綜上.
19. 如圖所示，鎮(zhèn)海中學(xué)甬江校區(qū)學(xué)生生活區(qū)（如矩形所示），其中為生活區(qū)入口.已知有三條路，，，路上有一個(gè)觀賞塘，其中，路上有一個(gè)風(fēng)雨走廊的入口，其中.現(xiàn)要修建兩條路，，修建，費(fèi)用成本分別為，.設(shè).
（1）當(dāng)，時(shí)，求張角的正切值；
（2）當(dāng)時(shí)，求當(dāng)取多少時(shí)，修建，的總費(fèi)用最少，并求出此的總費(fèi)用.
【答案】（1）-3 （2），
【解析】
【分析】（1）設(shè)，求出，求出，根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，即可求得答案；
（2）當(dāng)時(shí)，，從而求出的表達(dá)式，即可求得總費(fèi)用的表達(dá)式，利用三角換元，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解得答案.
【小問1詳解】
設(shè)為銳角，則;
設(shè)，則，
故
；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
故，
設(shè)修建，的總費(fèi)用為y，則，
設(shè)，則，則，
故，
由于在上單調(diào)遞增，故，時(shí)取得等號(hào)，
故的最小值為，
此時(shí)，即，
故當(dāng)時(shí)，修建，的總費(fèi)用最少，最少為.
20. 已知向量，，.
（1）求的最大值，并求此時(shí)的值；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）最大值為，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出模，表示為函數(shù)，求最值即可.
（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算得到乘積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)合理求值即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
【小問2詳解】
，設(shè)，易知是第一象限角，故原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，易知是第一象限角，故，，
當(dāng)時(shí)，，，
故，即，
21. 如圖是函數(shù)的部分圖象,其中,.其中為圖象最高點(diǎn),為圖象與軸的交點(diǎn),且為等腰直角三角形,,______.（從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在橫線處并解答）
①；②是奇函數(shù)；③
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè),不等式對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件和圖像,可得與的值.若選①,根據(jù)正弦型圖像的對(duì)稱軸可求得的值；若選②,根據(jù)正弦型圖像的奇偶性可求得的值；若選③,通過代入法結(jié)合圖像可求得的值,從而得到函數(shù)的解析式.
（2）由（1）得題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立,利用換元法,令則對(duì)恒成立,分離參數(shù),再結(jié)合基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
為等腰直角三角形,
且又
則.
若選①,由,得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,
則
故函數(shù)的解析式為
若選②,是奇函數(shù),
故函數(shù)解析式為
若選③,則,結(jié)合圖像和
故函數(shù)解析式為
【小問2詳解】
由（1）得
對(duì)于恒成立.
令則對(duì)恒成立,
令則在時(shí)單調(diào)遞增,
即,
故的取值范圍為
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
22. 函數(shù)，最大值為，最小值為.
（1）設(shè)，求；
（2）設(shè)，若對(duì)恒成立，求的取值范圍.
【答案】22.
23.
【解析】
【分析】（1）用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的值域問題求解.
（2）把問題轉(zhuǎn)化成，恒成立，再化為最值問題，討論求解.
【小問1詳解】
,
設(shè)，則，.
則.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增.
此時(shí)，，;
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增.
此時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增.
此時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增.
此時(shí)，，.
綜上：.
【小問2詳解】
恒成立可化為，恒成立.
①當(dāng)時(shí)，，，
所以且，
解得：；
②當(dāng)時(shí)，，，
故且
解得：；
③當(dāng)時(shí)，，，
故且，
解得：;
當(dāng)時(shí)，，，
故且，
解得：
綜上所述：.

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