1.(人A選必一2.5.1節(jié)習(xí)題改編)直線2x-y+2=0被圓(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦長為　　　　　.?
2.(人B選必一2.2節(jié)習(xí)題改編)已知直線l1:(m+2)x-(m-2)y+2=0,直線l2:3x+my-5=0,且l1⊥l2,則實數(shù)m的值為　　　　　　.?
解析 因為l1⊥l2,所以3(m+2)-m(m-2)=0,即m2-5m-6=0,解得m=6或m=-1.
3.(人A選必一2.5.1節(jié)例題改編)過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l,則切線l的方程為　　 　　　　.?
y-1=0或4x-3y-5=0
4.(人B選必一2.3.4節(jié)探索與研究改編)圓C1:x2+y2=2與圓C2:(x-2)2+y2=8的公切線方程為　　　　 　　.?
x-y+2=0和x+y+2=0
解析 設(shè)公切線方程為y=kx+b,即kx-y+b=0,解得k=1,b=2或k=-1,b=-2,故公切線方程為x-y+2=0和x+y+2=0.
5.(人B選必一第二章習(xí)題改編)過點P(6,3)作圓x2+y2-8x+6y=0的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,則直線AB的方程為　　　 　　　.?
2x+6y-15=0
解析 記圓x2+y2-8x+6y=0的圓心為C(4,-3),因此以PC為直徑的圓的圓心坐標為(5,0),半徑為所以該圓的方程為(x-5)2+y2=10,將兩圓方程相減得直線AB的方程為2x+6y-15=0.
1.(2024·北京,3)圓x2+y2-2x+6y=0的圓心到x-y+2=0的距離為(　　)
2.(2023·新高考Ⅰ,6)過(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sin α=(　　)
解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圓心C(2,0),半徑R= .過點D(0,-2)作圓的切線,與圓的兩個切點為A,B,連接AC,BC,CD,AB,則AB⊥CD,
3.(2023·新高考Ⅱ,15)已知直線x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點,寫出滿足“△ABC面積為 ”的m的一個值　 　　　　.?
4.(2022·新高考Ⅰ,14)寫出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程:　　　　　　　　.?
x=-1(答案不唯一)
解析 在平面直角坐標系中,畫出圓x2+y2=1和圓(x-3)2+(y-4)2=16.設(shè)點O(0,0),O1(3,4),由圖得兩圓外切,則☉O與☉O1有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線,易得其中一條外公切線l的方程為x=-1.由圖可知,內(nèi)公切線l1與另一條外公切線l2的斜率均存在.
考點一 直線與圓的位置關(guān)系
考向1直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用
例1(1)(2024·浙江余姚模擬)已知圓C:x2+2x+y2-1=0,直線l:x+n(y-1)=0與圓C(　　)A.相離B.相切C.相交D.相交或相切
解析 根據(jù)題意,直線l:x+n(y-1)=0恒過定點P(0,1).圓C:x2+2x+y2-1=0,即(x+1)2+y2=2,其圓心為C(-1,0),半徑r= .由|PC|2=12+12=2=r2,得點P在圓C上,則直線l與圓C相交或相切.故選D.
(2)(2024·全國甲,理12)已知b是a,c的等差中項,直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點,則|AB|的最小值為(　　)A.1B.2C.4D.2
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
[對點訓(xùn)練1](多選題)(2024·山東濟南模擬)已知直線l:x+my-m+2=0,圓C:(x-1)2+(y-2)2=5,則下列說法正確的有(　　)A.直線l恒過定點(-2,1)B.直線l與圓C相交C.當直線l平分圓C時,m=-3D.當圓心C到直線l的距離最大時,m=
考向2圓的切線相關(guān)問題
例2(多選題)(2024·遼寧大連模擬)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,M是直線l:y=-x-1上的動點,過點M作圓C的兩條切線,切點分別為A,B,則下列說法正確的有(　　)
(7)線段AB稱為切點弦,它是圓C與經(jīng)過P,A,C,B四點的圓的公共弦,因此可以將這兩個圓的方程相減得切點弦AB所在直線的方程.特別地,若圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,P(x0,y0),則切點弦AB所在直線的方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.(8)切點弦AB所在直線所過定點坐標的求法.在直線l上設(shè)點P坐標為(m,n),然后用m,n表示出切點弦AB所在直線的方程,借助m,n的關(guān)系即可確定切點弦AB所在直線所過定點的坐標.
[對點訓(xùn)練2](2024·山東濰坊模擬)已知圓O:x2+y2=4,P為直線l:y=x+4上一點,過點P作圓O的兩條切線,切點分別為A和B.若四邊形PAOB的面積為12,則直線AB的方程為　　　　　 　　　.?
3x+y+2=0或x+3y-2=0
解得m=-6或m=2.當m=-6時,P(-6,-2),此時直線AB的方程為-6x-2y=4,化簡得3x+y+2=0;當m=2時,P(2,6),此時直線AB的方程為2x+6y=4,化簡得x+3y-2 =0.所以直線AB的方程為3x+y+2=0或x+3y-2=0.
考點二 圓與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用
例3(2024·山東菏澤模擬)已知圓C1:x2+(y-3)2=8與圓C2:(x-a)2+y2=8相交于A,B兩點,直線AB交x軸于點P,則 的最小值為(　　)
[對點訓(xùn)練3](多選題)(2024·安徽合肥模擬)已知圓O:x2+y2=1, 圓C:(x-a)2+(y-1)2=4(a∈R),則下列說法正確的有(　　)A.兩圓的圓心距|OC|的最小值為1D.若圓O與圓C相交,則公共弦長的最大值為2
考點三 “隱圓”及其應(yīng)用
例4(1)(2024·福建泉州模擬)已知A(0,-1),B(0,2),若直線l:y=ax+2上有且只有一點P滿足|PB|=2|PA|,則a的值為(　　)
解析 因為直線l1:mx-y-5m+1=0,l2:x+my-5m-1=0,所以l1⊥l2.又l1的方程可化為m(x-5)-y+1=0,所以l1過定點M(5,1),l2的方程可化為m(y-5)+x-1=0,所以l2過定點N(1,5),因此點P的軌跡是以MN為直徑的圓(除去點(5,5)),其方程為(x-3)2+(y-3)2=8,x≠5,其圓心為E(3,3),半徑r=2 .由于|AB|=2 ,
[對點訓(xùn)練4](1)(2024·山東青島模擬)已知圓O1:x2+(y-m)2=4上動弦AB的長為2 ,若圓O2:x2+y2=9上存在點P恰為線段AB的中點,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)A.[2,4]B.[1,3]C.[-4,-2]∪[2,4]D.[-3,-1]∪[1,3]
解析 由圓O1:x2+(y-m)2=4上動弦AB的長為2 ,可知弦AB的中點P到圓心O1的距離為|O1P|= =1,所以動點P的軌跡為以O(shè)1為圓心,1為半徑的圓,其軌跡方程為x2+(y-m)2=1.又圓O2:x2+y2=9上存在點P,則圓O2與圓x2+(y-m)2=1有公共點,圓O2:x2+y2=9的圓心為O2(0,0),半徑為3,則3-1 ≤ |O2O1|≤3+1,即2≤|m|≤4,解得-4≤m≤-2或2≤m≤4,即m∈[-4,-2]∪[2,4].故選C.
(2)(2024·河北石家莊模擬)若△ABC滿足條件AB=4,AC= BC,則△ABC面積的最大值為　　　　　.?

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