1．已知全集，集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．半徑為2的扇形，其周長為12，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A．8B．6C．5D．4
3．方程的根所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
4．角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）．
A．1B．-1C．D．
6．某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時(shí)間t（單位：年）之間的關(guān)系為．其中為初始量，k為降解系數(shù)．已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的．若該品牌塑料袋需要經(jīng)過n年，使其殘留量為初始量的，則n的值約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．20B．16C．12D．7
7．已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最大值為（ ）
A．B．4C．D．8
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．的圖像經(jīng)過點(diǎn)
B．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．若，則
D．當(dāng)時(shí)，恒成立
10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則具有性質(zhì)（ ）
A．周期為B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在上單調(diào)遞增
11．已知是的三個(gè)內(nèi)角，下列條件是“”的一個(gè)充分不必要條件的為（ ）
A．B．
C．D．
12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①；②當(dāng)時(shí)，．下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時(shí)，
D．方程有個(gè)實(shí)數(shù)根
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則＝ ．
14．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為 .
15．?dāng)?shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關(guān).黃金分割常數(shù)也可以表示成，則 .
16．已知符號(hào)表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)（），給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②為偶函數(shù)；③在單調(diào)遞減；④若方程有且僅有3個(gè)根，則a的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．化簡下面兩個(gè)題：
(1)已知角終邊上一點(diǎn)，求的值；
(2)已知，求的值.
18．已知命題：，成立；命題：有兩個(gè)負(fù)根.
(1)若命題為真命題，求的取值范圍.
(2)若命題和命題有且只有一個(gè)是真命題，求的取值范圍.
19．已知函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)解不等式.
20．已知.
(1)求的最小正周期；
(2)求的單調(diào)增區(qū)間；
(3)當(dāng)時(shí)，求的值域.
21．已知某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個(gè)全等的矩形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為（單位：），部件的面積是．

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；
(2)為節(jié)省材料，請(qǐng)問取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，最小值為多少？
22．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若方程只有一個(gè)解，求的取值范圍．
答案
1．【正確答案】D
【分析】先根據(jù)題意求，再結(jié)合并集的概念求答案.
【詳解】因?yàn)槿?集合，
所以，
又因?yàn)榧?，所以?br>故選：D.
2．【正確答案】D
【分析】利用扇形弧長公式列方程組即可求解.
【詳解】不妨設(shè)扇形的弧長為，所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為，
則有，即，解得，
所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為4.
故選：D.
3．【正確答案】A
根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷.
【詳解】令函數(shù)，則函數(shù)在實(shí)數(shù)集上遞增，
又，，
所以函數(shù)在上有一根，即方程的根所在區(qū)間為.
故選：A.
本題考查函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷，考查根的存在性定理，屬于簡單題.
4．【正確答案】A
【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，列方程得到，然后正切的二倍角公式列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，，所以，解得，
所以，.
故選：A.
5．【正確答案】B
根據(jù)圖象可求出，再根據(jù)圖象所過的點(diǎn)求出，從而可求的值.
【詳解】由圖象可得且，因?yàn)椋剩?br>故.
由圖象可得為軸右側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)，故，
故，故，
所以，
故選：B.
方法點(diǎn)睛：知道正弦型函數(shù)的圖象，求其解析式，一般是根據(jù)圖象觀察振幅和周期，并利用最值點(diǎn)求初相位，注意也可以根據(jù)圖象所過的點(diǎn)求初相位.
6．【正確答案】B
【分析】由可得，再代入，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，
則，，
則經(jīng)過n年時(shí)，有，
即，則，
所以，
則.
故選：B.
7．【正確答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.
【詳解】因?yàn)?，所以，，即?br>又因?yàn)椋?，，即，所?
故選：B.
8．【正確答案】C
【分析】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)求得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)列式求得的范圍，即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上具有單調(diào)性，
所以，
即且，
則，
因?yàn)?，得?br>因?yàn)椋詴r(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，
綜上，，即的最大值為，
故選：C.
9．【正確答案】BCD
【分析】把點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求出未知系數(shù)，得到函數(shù)解析式后分析單調(diào)性奇偶性等性質(zhì)，驗(yàn)證函數(shù)值，逐個(gè)判斷選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，得，∴函數(shù).
由，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)為奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，∴恒成立，故D正確；
故選：BCD
10．【正確答案】AD
由三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】由題意可得，
所以的最小正周期，故A正確；
因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：AD.
本題考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
11．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)題意要逐一判斷由選項(xiàng)能否推出，推出為鈍角三角形，其中A,C項(xiàng)都無從推出鈍角，B項(xiàng)可以利用誘導(dǎo)公式判斷是鈍角，D項(xiàng)利用兩角差的余弦公式可推得，從而得出鈍角.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，則可以是銳角或者鈍角，無法判斷的符號(hào)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，因，故是鈍角，都是銳角，即有；
反過來，由可得中必有一個(gè)鈍角，當(dāng)時(shí),，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)，如果取,則，此時(shí)，不合題意，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由可得,即，因,,
則，即中必有一個(gè)是鈍角，從而是銳角，即必成立，
反過來，由可得中必有一個(gè)鈍角，當(dāng)時(shí),，故D項(xiàng)正確.
故選：BD.
12．【正確答案】ACD
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，結(jié)合周期性可判斷AB選項(xiàng)；利用周期性和對(duì)稱性求出函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)AB，因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，故，
因?yàn)椋?，則，
故，故的周期為，故，故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
故，則，
當(dāng)時(shí)，，，
故當(dāng)時(shí)，，故C正確；
對(duì)D，，即，如下圖所示：
由圖可知，直線與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，故D正確．
故選：ACD．
13．【正確答案】3
【分析】由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，計(jì)算可得所求值．
【詳解】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則.
故3
14．【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由正數(shù)，滿足，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為.
15．【正確答案】2
【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，誘導(dǎo)公式，二倍角公式進(jìn)行求解即得.
【詳解】.
故2.
16．【正確答案】①③④
【分析】根據(jù)新定義分析得到的圖象，即可判斷①②③；將方程有且僅有3個(gè)根轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象即可判斷④.
【詳解】因?yàn)榉?hào)表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
所以函數(shù)的圖象如圖所示：

對(duì)于①，由上面的圖象可知，①是正確的，
對(duì)于②，由上面的圖象可知，②是錯(cuò)誤的，
對(duì)于③，由上面的圖象可知，③是正確的，
對(duì)于④，由上面的圖象可知，，，，
因?yàn)榉匠逃星覂H有3個(gè)根，等價(jià)于與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)或.
故①③④.
17．【正確答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式求得正確答案.
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】（1）角終邊上一點(diǎn)，所以，
所以.
（2）由得，
所以.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）一元二次不等式有解問題，借助二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得；
（2）根據(jù)已知條件，判斷命題和命題一真一假，分類討論即可得到.
【詳解】（1）若命題為真命題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，
解得，故a的取值范圍為；
（2）若命題為真，即一元二次方程有兩個(gè)負(fù)根，設(shè)為
則，解得
若命題p和命題有且只有一個(gè)是真命題，則為真假或假真
當(dāng)真假時(shí)，
有，解得；
當(dāng)假真時(shí)，
命題假，則或；命題為真，則
因此假真，.
綜上，的取值范圍為.
19．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)為偶函數(shù)，由求解；
（2）由（1）可求出，再由可得，即，解不等式即可得出答案.
【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，
，即，
，
.
（2）由（1）知，，
，
不等式，等價(jià)于，
即，
由，解得，
由，得，
得，即，
綜上，不等式的解集為.
20．【正確答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用降冪公式等化簡可得，結(jié)合周期公式可得結(jié)果；
（2）由，，解不等式可得增區(qū)間；
（3）由的范圍，得出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.
【詳解】（1）
∴函數(shù)的最小正周期.
（2）由，
得，
∴所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（3）∵， ∴
∴，，
∴的值域?yàn)?
21．【正確答案】(1)，；
(2)時(shí)，面積最小，.
【分析】（1）利用已知條件求出，然后求解函數(shù)的定義域即可．
（2）設(shè)圓形鐵片半徑為R，面積S=πR2，過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OD，求出R的表達(dá)式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
【詳解】（1）由題意，利用矩形面積和正三角形的面積公式，
可得，整理得，
又由，所以，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>即，．
（2）設(shè)圓形鐵片半徑為R，則面積S=πR2，
過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OD，則，
所以=，
因?yàn)閤2＞0，由基本不等式，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以圓形鐵片的最小面積為（cm2），

答：當(dāng)x=2時(shí)，所用圓形貼片的面積最小，最小面積為（cm2）．
22．【正確答案】(1)
(2)或
【分析】（1）將分別代入函數(shù)解析式，得到不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可；
（2）先分析函數(shù)的定義域，方程化簡可得，再將方程等價(jià)于方程，討論一元二次方程的解即可.
【詳解】（1）由于，
則，
需要保證，得，
若，則，
對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，且，解得，
結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，且，
不等式的解集為.
（2）的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，此時(shí)；
方程，即為
得：，即，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)解等價(jià)于只有一個(gè)小于的正零點(diǎn)即可，
此時(shí)，，
開口向下的拋物線在區(qū)間可能無零點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，或拋物線的頂點(diǎn)恰在區(qū)間對(duì)應(yīng)的橫軸上，
若拋物線的頂點(diǎn)在區(qū)間對(duì)應(yīng)的橫軸上時(shí)，
拋物線對(duì)稱軸滿足：，解得，
有兩個(gè)相等實(shí)根，，
解得（舍去）或，
故；
當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)解等價(jià)于只有一個(gè)大于的零點(diǎn)即可，
，函數(shù)有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，
且，函數(shù)正零點(diǎn)大于，此種情況成立；
綜上，若方程只有一個(gè)解，則或.

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