2025年1月
時(shí)量：120分鐘 滿分：150分 命題：張?zhí)祜w 審定：何玲
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
4.已知點(diǎn)，若過的直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為（ ）
A. B. C.或 D.
5.如圖，平行六面體中，與交于點(diǎn)，設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函數(shù)，則（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（ ）
A.2 B.1 C. D.
8.若數(shù)列滿足且，則稱數(shù)列為“冪數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列是“冪2數(shù)列”且，設(shè)的前項(xiàng)積為，則（ ）
A.1024 B.1023 C. D.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.對于數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是（ ）
A.極差為6 B.平均數(shù)為5.25
C.30百分位數(shù)為3 D.眾數(shù)為6
10.下列選項(xiàng)中，說法不正確的是（ ）
A.若，則
B.向量共線的充要條件是
C.命題“”的否定是“”
D.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的充要條件
11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，若，且，則（ ）
A.
B.
C.雙曲線的漸近線方程為
D.直線的斜率為4
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.過點(diǎn)，且圓心與已知圓相同的圓的方程為__________.
13.已知，則通項(xiàng)公式__________.
14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，則的最大值為__________.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）已知銳角三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，且，若，求的面積.
16.（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足：.
（1）若，求證：為等差數(shù)列.
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面分別在棱上，平面.
（1）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
18.（本小題滿分17分）設(shè).
（1）求在處的切線方程；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明：對于任意正整數(shù)都有恒成立.
19.（本小題滿分17分）已知橢圓焦距為2，離心率是.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，其中在軸的上方，且在的右側(cè)，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.
①若弦的斜率均存在，求四邊形面積的最小值；
②判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由.
明德中學(xué)2024年下學(xué)期期末考試
高二年級數(shù)學(xué)試卷
參考答案：
2025年1月
8.【詳解】正項(xiàng)數(shù)列是“冪2數(shù)列”，
，又，
，解得或（舍去），
，
，即，
又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
，
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
D
D
D
C
D
題號(hào)
9
10
11
答案
AC
ABC
BC
，
所以.
故選：D.
11.【詳解】由，設(shè)，由，得，
則，而，解得，因此，
，對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，顯然，則，B正確；
對于C，令，在中，由，得，
則，即，因此雙曲線的漸近線方程為，
C正確；對于D，由，結(jié)合對稱性，圖中位置可互換，則直線的斜率為錯(cuò)誤.
故選：BC
12. 13.
14.根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
令，解得或，令，解得或或，
由題意可知：與有三個(gè)交點(diǎn)，則，
此時(shí)，且，
所以，
令，
則恒成立，
所以在單增，
的最大值為，
即的最大值為.
15.【詳解】（1）
，所以函數(shù)的最小正周期.
（2）因?yàn)?，所?
因?yàn)锳是銳角三角形的內(nèi)角，所以或（舍去），
所以.又，所以的面積.
16.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>即，又，
所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得，則，
所以，
所以
.
17.【詳解】（1）由題意：底面是正方形；連接交于點(diǎn)，連接；
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嫫矫妫?br>所以；又是中點(diǎn)，故是中點(diǎn)；
以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系；
不妨設(shè)，則.
由題意，是的中點(diǎn)，則；故；
設(shè)平面的法向量為，則；
令，得；
記與平面所成角為，則，
故；
故與平面所成角的余弦值為.
（2），故，
故；又平面，
平面，故平面；
故平面的法向量；
平面的法向量；
記平面與平面的夾角為，則，
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18.【詳解】（1）已知，則，
則，又，
所以切線方程為，即.
（2），所以，
令，解得，
可知當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以.
（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，，即，
令，可得，
從而
，
，
即，
則對于任意正整數(shù)都有恒成立.
19.【詳解】（1）依題意有，解得，所以橢圓的方程為；
（2）①設(shè)，則，
聯(lián)立，
由弦長公式可得：
同理可得：，
所以
令，則
當(dāng)?shù)淖钚≈凳牵?br>②
，由代替，得，
當(dāng)，即時(shí)，，過點(diǎn).
當(dāng)，即時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證直線過點(diǎn)，
綜上，直線恒過點(diǎn).

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