一擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知等差數(shù)列則
A.B.C.D.
2.雙曲線的漸近線方程是
A.
B.
C.
D.
3.已知過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn),則切點(diǎn)的坐標(biāo)為
A.
B.
C.
D.
4.若展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則
A.B.C.D.
5.現(xiàn)有4個(gè)同學(xué)站成一排，將甲、乙2個(gè)同學(xué)加入排列，保持原來4個(gè)同學(xué)順序不變，不同的方法共有
A.10種B.20種C.30種D.60種
6.已知等比數(shù)列中，公比,若,則
A.有最小值B.有最小值
C.有最大值D.有最大值
7.函數(shù)的最大值為
A.B.C.D.
8.函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是一對(duì)優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，,,記數(shù)列的前項(xiàng)積為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則當(dāng)時(shí)
A.B.C.D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，直線過點(diǎn)且與交于
兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說法正確的是
A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
B.
C.若,則
D.若以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，則是該圓的一條直徑
10.中國(guó)的五岳是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明與其父母共3人計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，則
A.3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為60
B.恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為15
C.恰有1人選泰山的概率是
D.若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為
11.楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現(xiàn)于南宋杰出數(shù)學(xué)家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規(guī)律如圖所示：在第一行的中間寫下數(shù)字1；在第二行寫下兩個(gè)1，和第一行的1形成三角形；隨后的每一行，第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置的數(shù)都是1，其他的每個(gè)位置的數(shù)都是它左上方和右上方的兩個(gè)數(shù)之和.那么下列說法中正確的是
A.第行的第個(gè)位置的數(shù)是
B.若從楊輝三角形的第三行起，每行第3個(gè)位置的數(shù)依次組成一個(gè)新的數(shù)列則C.70在楊輝三角中共出現(xiàn)了3次
D.記第行的第個(gè)數(shù)為,則
選擇題答題卡
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.用數(shù)學(xué)歸納法證明且,第一步要證的不等式是
13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn),圓,點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
14.設(shè)函數(shù)若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根,,滿足,則的取值范圍是
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15.(本題滿分13分)
設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,且是與的等差中項(xiàng).
(1)求角;
(2)設(shè),求周長(zhǎng)的最大值，
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
16.(本題滿分15分)
已知數(shù)列滿足,且,在數(shù)列
中，,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列和的所有公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17.(本題滿分15分)
如圖①，在等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面,得到如圖②所示的多面體.在圖②中：
(1)證明：;
(2)求平面與平面夾角的余弦值
18.(本題滿分17分)
設(shè),向量分別為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)軸正方向上的單位向量，若向量,且.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)橢圓,曲線的切線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為定值
19.(本題滿分17分)
若,都存在唯一的實(shí)數(shù),使得則稱函數(shù)存在源數(shù)列已知.(1)證明：存在源數(shù)列；
(2)(i)若恒成立，求的取值范圍；
(ii)記的源數(shù)列為證明：的前項(xiàng)和.
湖南師大附中2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.B【解析】由可得公差,故,故選:B.
2.C【解析】在雙曲線中,,,因此,該雙曲線的漸近線方程為.故選:C.
3.A【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,由,得,則過切點(diǎn)的切線方程為,
把點(diǎn)(-1,0)代入切線方程得,,即,
又,所以,則,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).故選:A.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
D
C
B
D
A
4.D【解析】由的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,得展開式共有13項(xiàng),所以.故選:D.
5.C【解析】4個(gè)同學(xué)站成一排有5個(gè)空,甲加入排列有5種情況,隊(duì)列變成5個(gè)人有6個(gè)空,乙加入排列有6種情況,由分步計(jì)數(shù)原理得,共有種不同的方法.故選:C.
6.B【解析】因?yàn)楣?則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),故可知的最小值為12,又可以趨向正無窮大,則可以趨向正無窮大,即無最大值.故選:B.
7.D【解析】(法1)因?yàn)樗?所以該函數(shù)的定義域?yàn)?
,
由,解得時(shí),時(shí),.
所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以,當(dāng)時(shí),.
(法2)設(shè),則在曲線上.
設(shè),
由三角函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí),取最大值.
(法3)用柯西不等式也可.故選:D.
8.A【解析】由題意可得:,
則
可得,
又因?yàn)闉檫f增數(shù)列,且,
所以當(dāng)時(shí),可得.
故選:A.
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得
6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A,拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4,
題號(hào)
9
10
11
答案
ABD
AC
BCD
所以,故A正確;
對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,所以,
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),
得:,所以.
故B正確;
對(duì)選項(xiàng),故錯(cuò)誤;
對(duì)選項(xiàng)D,如圖所示:
過分別向準(zhǔn)線作垂線,垂足為,
因?yàn)?
所以,又圓與準(zhǔn)線相切,
故為圓的直徑,故正確.故選:ABD.
10.AC【解析】對(duì)于人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為,故正確；
對(duì)于,恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為,故錯(cuò)誤;
對(duì)于,恰有1人選泰山的方法總數(shù)為,所有的方法數(shù)為,所以恰有1人選泰山的概率是,故C正確;
對(duì)于,父母都不選擇去泰山的概率為,所以小明已選擇去泰山的情況下,其父母至少有一人選擇去泰山的概率為,故D錯(cuò)誤；故選:AC.
11.BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng):第行的第個(gè)位置的數(shù)是,故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng):由題,所以,又,
正確;
由于,不妨設(shè),令;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,無正整數(shù)解;
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,而遞增,從而無解;
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
由于是第9行中最中間的數(shù),楊輝三角中以該數(shù)為頂點(diǎn)的下方三角形區(qū)域中的數(shù)都大于70,
所以當(dāng)時(shí),共出現(xiàn)3次,正確；
對(duì)于:第行的第個(gè)數(shù)為,
則,故正確;
故選:BCD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.【解析】由題意可知,當(dāng)時(shí),,
所以第一步需驗(yàn)證的不等式為.
13.【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,
如右圖所示:
由圖可知,當(dāng)與圓相切,且位于第一象限時(shí)最小,
此時(shí),即,所以,
故的最小值為.
14.【解析】因?yàn)榍?
作出其圖象如右圖所示:
則由圖知,
滿足,即,
故,令且,
則上式,
令,則,故,
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則.
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【解析】(1)由題意得,,
由正弦定理得,,即,又,得,所以.(2)由正弦定理,,所以,故周長(zhǎng)因?yàn)?所以,所以當(dāng)時(shí),周長(zhǎng)取最大值9.16.【解析】(1)由題設(shè),則,所以,即,又且
,所以,所以是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列,則,由題設(shè),即,又,所以是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列,則.(2)由(1)知,而都是偶數(shù),顯然數(shù)列中為偶數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)項(xiàng)為兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng),令且,則,故17.【解析】(1)由題意知在等腰梯形中,,又分別為的中點(diǎn),所以,即折疊后,,所以平面,又平面,所以.(2)∵平面平面,平面平面,且,所以平面平面,從而兩兩垂直.(也可由直二面角的定義證得)以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,易知,所以,則,設(shè)平面的法向量,則取,則,得;設(shè)平面的法向量,則取,則,可得,因?yàn)槠矫媾c平面夾角為銳角,所以平面與平面夾角的余弦值為.
18.【解析】(1)如右圖,由題意,,
即為點(diǎn)與點(diǎn)的距離,
即為點(diǎn)與點(diǎn)的距離,
由可得,
由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,
且,則,
由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,點(diǎn)的軌跡的方程為.
(2)如圖,由題意可得,直線是曲線的切線,
由可得:,
則,化簡(jiǎn)得:.
由題意,直線交橢圓于兩點(diǎn),
由可得:,
設(shè),則,
,
又.
.
又中邊上的高即為點(diǎn)到直線的距離,
由點(diǎn)到直線的距離公式得,
,
即的面積為定值.
19.【解析】(1)由,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
又,
當(dāng)且趨近于0時(shí),趨向于正無窮大
即的值域?yàn)?
對(duì)于可以取到任意正整數(shù),且在上都有存在唯一自變量與之對(duì)應(yīng),
故,令,其在上的解必存在且唯一,
不妨設(shè)解為,即,則都存在唯一的實(shí)數(shù),使得,
即存在源數(shù)列;
(2)恒成立,即恒成立,
令,即恒成立,令,
則,
令,則,僅在時(shí)取等號(hào),
即在上單調(diào)遞減,
故,即在上單調(diào)遞增,
故,故;
(ii)由(i)得,
故,即,故,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
綜上所述,. 的前項(xiàng)和.

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