湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)量：120分鐘滿分150
命題：高二數(shù)學(xué)備課組審定：高二數(shù)學(xué)備課組
一?單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)正確答案）
1. 命題“對(duì)，都有”的否定為（）
A. 對(duì)，都有B. 對(duì)，都有
C. ，使得D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，再直接寫出否定即可.
【詳解】命題“對(duì)，都有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以所求否定是：，使得.
故選：C.
2. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式平方關(guān)系計(jì)算得到答案；
【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又由，可得．
故選：A.
3. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，根據(jù)模長(zhǎng)公式得到，兩邊平方得到答案.
【詳解】，則，
即，故.
故選：C
4. 若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（）
A. 函數(shù)是奇函數(shù)
B. 函數(shù)是奇函數(shù)
C. 函數(shù)是奇函數(shù)
D. 函數(shù)是奇函數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，
A選項(xiàng)，，所以是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，，
所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
5. 正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的倍，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意設(shè)出底面邊長(zhǎng)，列出關(guān)于的不等式求解即可.
【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，側(cè)棱長(zhǎng)度為，
則，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D.
6. 已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則（）
A. 為一條直線B. 為橢圓
C. 為與圓O相交的圓D. 為與圓O相切的圓
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)Px0,y0，由，可得，代入圓方程，可得到點(diǎn)的軌跡的方程，即可判斷軌跡是圓，圓為與圓O相切.
【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)Px0,y0，由，可得，
則，
所以，即，
把代入圓，
則點(diǎn)的軌跡的方程為：，
即是圓心為，半徑為1的圓，則，
由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓O相切的圓.
故選：D.
7. 集合，集合，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根據(jù)直線平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解.
【詳解】從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)相加，有種情況，
當(dāng)直線，則，則，
當(dāng)時(shí)，從中取一個(gè)數(shù)相加為的有，2種情況，
當(dāng)時(shí)，從中取一個(gè)數(shù)相加為的有，2種情況，
所以滿足條件的有4種情況，
所以滿足條件的概率.
故選：B
8. 已知，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且圓心在直線上．當(dāng)直線的斜率取最大值時(shí)，（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用兩點(diǎn)間斜率公式，結(jié)合基本不等式可解.
【詳解】由題意可得，，直線的斜率為．
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，
即當(dāng)直線的斜率取最大值時(shí)，，所以，故．
故選：B．
二，多選題（本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，每小題有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分．選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得部分分）
9. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 直線的傾斜角為
B. 方程與方程可表示同一直線
C. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為
D. 過(guò)兩點(diǎn)的直線都可用方程表示
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于A：先求斜率，進(jìn)而可得傾斜角；對(duì)于B，注意區(qū)分方程與方程的不同之處，對(duì)于C：設(shè)直線l：，
進(jìn)而可得截距，根據(jù)題意進(jìn)行求解即可，對(duì)于D：根據(jù)兩點(diǎn)式方程的變形進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的斜率，傾斜角為，故A正確；
對(duì)于B，表示過(guò)點(diǎn)斜率為k的直線，但不含點(diǎn)，而表示過(guò)點(diǎn)斜率為k的直線，且含點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率存在，設(shè)直線為，若在，軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，
所以直線方程為或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，方程為直線兩點(diǎn)式方程的變形，可以表示經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)Px1,y1、Qx2,y2的直線，故D正確；
故選：AD.
10. 已知函數(shù)下列命題正確的是（）
A. 的值域?yàn)?br>B. 若，則為奇函數(shù)
C. 若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
D. 若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性，依次判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以的值域不為R，A錯(cuò)誤.
若時(shí)，圖象如圖，
由圖可知為奇函數(shù)，B正確.
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為，C正確.
若在R上單調(diào)遞減，則時(shí)，在上單調(diào)遞減，則有，即的取值范圍為，D正確.
故選：BCD
11. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A. 三棱錐的體積為定值B. 直線平面
C. 當(dāng)時(shí)，D. 直線與平面所成角的正弦值為
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于A，將三棱錐轉(zhuǎn)換成后易得其體積為定值；對(duì)于B，建系后，證明與平面的法向量不垂直即可排除B項(xiàng)；對(duì)于C，設(shè)出，利用證得，再計(jì)算，結(jié)果不為0，排除C項(xiàng)；對(duì)于D，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.
【詳解】
對(duì)于A，如圖1，因,故A正確；

對(duì)于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,
于是，，
設(shè)平面的法向量為，則，故可取，
由知與不垂直，
故直線與平面不平行，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由上圖建系，則, ,
因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn),不妨設(shè)，則，，
由題意，，即，于是，
此時(shí)，故與不垂直，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由圖知平面的法向量可取為，因，
設(shè)直線與平面所成角，
則，故D正確.
故選：AD.
三?填空題（本題共3個(gè)小題，每題5分，共15分）
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】求使式子有意義的實(shí)數(shù)的集合即可.
【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，
則有，即，解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
13. 已知梯形ABCD中，，，，，點(diǎn)在線段上，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，先求直線方程，設(shè)點(diǎn)后利用坐標(biāo)運(yùn)算可得.
【詳解】如圖，由題意以，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)構(gòu)成的一次函數(shù)為，代入，，
得，得，即，
因點(diǎn)P在線段BC上，可設(shè)，其中，
則，，
，
因，故當(dāng)時(shí)取最小值為.
故答案為：
14. 已知點(diǎn)，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求得直線（）與x軸的交點(diǎn)為，由可得點(diǎn)M在射線OA上.求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得.再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為，
由于直線與x軸的交點(diǎn)為，
由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，
故，故點(diǎn)M在射線OA上，設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N，
則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：
則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故，把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，
求得.
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：
此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，
即，即，可得，求得，
故有.
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，
則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，求得.
設(shè)直線和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，
即，化簡(jiǎn)可得，由于此時(shí)，
所以，兩邊開(kāi)方可得，所以，
故有.
綜上可得b的取值范圍應(yīng)是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線與三角形的交點(diǎn)位置分類討論，利用三角形的面積求得等式，根據(jù)不等式性質(zhì)求解即可，要注意討論的完整性.
四?解答題（本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求直線的方程；
（2）求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）直線的方程為：，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂直的位置關(guān)系，算出直線的斜率為，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)整理即可得到直線的方程；
（2）由邊的高所在直線方程和，解出，從而得出直線的方程．由直線、關(guān)于直線對(duì)稱，算出方程，最后將方程與方程聯(lián)解，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【小問(wèn)1詳解】
由于所在直線的方程為，故的斜率為，
與互相垂直，直線的斜率為，
結(jié)合，可得的點(diǎn)斜式方程：，
化簡(jiǎn)整理，得，即為所求的直線方程．
【小問(wèn)2詳解】
由和聯(lián)解，得
由此可得直線方程為：，即，
，關(guān)于角平分線軸對(duì)稱，
直線的方程為：，
直線方程為，
將、方程聯(lián)解，得，，
因此，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．
16. 在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角的大??；
（2）若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.
(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理得，所以
所以，整理得，
因?yàn)椋?，因此，所以?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
由的面積為，得，解得，
又,則，.
由余弦定理得，解得，，
所以的周長(zhǎng)為.
17. 在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手（1到5號(hào)）登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中選3名歌手．
（1）求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；
（2）表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)古典概型分別求出甲、乙選中號(hào)歌手的概率；利用求得結(jié)果；（2）根據(jù)，分別求解出兩人選擇號(hào)歌手和三人選擇號(hào)歌手的概率，加和得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)表示事件“觀眾甲選中號(hào)歌手”，表示事件“觀眾乙選中號(hào)歌手”
則，
事件與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立
則表示事件“甲選中號(hào)歌手，且乙沒(méi)選中號(hào)歌手”
即觀眾甲選中號(hào)歌手且觀眾乙未選中號(hào)歌手的概率是
（2）設(shè)表示事件“觀眾丙選中號(hào)歌手”，則
依題意，，，相互獨(dú)立，，，相互獨(dú)立，且，，，彼此互斥
故“”的事件的概率為
【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用古典概型分別求解出符合題意情況的概率，屬于基礎(chǔ)題.
18. 如圖，已知圓，動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．
（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）若兩條切線與軸分別交于兩點(diǎn)，求的面積的最小值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出A，B在以PC為直徑的圓上，再求出以PC為直徑的圓M的方程，最后由兩個(gè)圓求出公共弦即可；
（2）先考慮一條切線斜率不存在的情況，求出面積，再考慮斜率都存在的情況下求出面積，最后得到面積的最小值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心，半徑，
因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，，
所以A，B在以PC為直徑的圓上，
又因?yàn)椋襊C的中點(diǎn)為，
所以以PC為直徑的圓M的方程為，
化簡(jiǎn)可得，
所以AB為圓C與圓M的公共弦，
所以直線AB的方程為，令，解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)PA，PB有一條斜率不存在，即時(shí)，
不妨設(shè)PA的斜率不存在，則直線PA的方程為，此時(shí)，，
設(shè)直線PB的方程為，
由圓心到PB的距離，解得，
所以直線PB的方程為，
所以，
此時(shí)，；
同理斜率不存在時(shí)；
當(dāng)PA，PB斜率均存在，即時(shí)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，
因?yàn)镻A，PB與圓C相切，
所以圓心C到直線的距離，
即，，
設(shè)PA，PB斜率分別為，，
則，，
又點(diǎn)直線上，點(diǎn)在直線上，
，，
所以
而，
所以．
又因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，，
此時(shí)．
綜上，面積的最小值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為斜率的問(wèn)題，進(jìn)而應(yīng)用韋達(dá)定理解決.
19. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.
（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）（i）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積：
（ii）若集合.記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小
【答案】（1）
（2）
（3）（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）利用題中概念分別計(jì)算出直線方向向量與平面法向量，然后利用線面角與直線方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算平面法向量，找到平面上一點(diǎn)，然后利用向量的投影計(jì)算即可；
（3）（i）先建立等式，然后畫出所表示的面，計(jì)算所圍成的圖形的面積即可；（ii）因?yàn)槭且粋€(gè)完全對(duì)稱的圖形，只需計(jì)算第一卦限內(nèi)相鄰面的二面角，我們需要畫出第一卦限內(nèi)的圖象，得到其二面角為鈍角.
【小問(wèn)1詳解】
由題可知，直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，則有，所以，
直線與平面所成角的正弦值為.
【小問(wèn)2詳解】
由題可知平面的法向量為，且過(guò)點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問(wèn)3詳解】
（i）建立空間直角坐標(biāo)系，
先分別畫平面，
然后得到幾何體為幾何體是底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為2的長(zhǎng)方體，
故幾何體的體積為，
（ii）由（i）可知，的圖象是一個(gè)完全對(duì)稱的圖象，
所以我們只需討論第一卦限的相鄰兩個(gè)平面的二面角即可，
此時(shí)，得，畫出第一卦限圖象，顯然其二面角為鈍角，

計(jì)算平面得二面角，
所以兩個(gè)平面的法向量分別為，
所以其二面角的余弦值為，所以二面角為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：我們需要按照解析式畫出平面，在空間中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，可以直接找三個(gè)點(diǎn)即可，找到的點(diǎn)，最好是三個(gè)平面的交點(diǎn)，一般直接建立方程求解即可.

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