1.答題前，務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.
3.答非選擇題時?必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一?單選題（本大題共8個小題，每題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）
1. 已知點，動點滿足，則動點的軌跡是（ ）
A. 射線B. 線段
C. 雙曲線的一支D. 雙曲線
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，計算A，B之間的距離，比較可得，由雙曲線的定義分析可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，點，則，
若動點P滿足，且，
則P的軌跡是以A，B為焦點雙曲線的右支，
故選：C.
2. 已知兩直線和，若，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用兩直線平行的充要條件，列出關于的方程，即可得到答案.
【詳解】因為，所以，且，
解得.
故選：A.
3. 橢圓的一條弦經(jīng)過左焦點，右焦點記為.若的周長為8，且弦長的最小值為3，則橢圓的焦距（ ）
A. 2B. 1C. D.
【正確答案】A
【分析】借助橢圓的定義及通徑概念列出等式即可求解.
【詳解】
由的周長為8，可得，即，
由弦長AB的最小值為3，通徑長為3，即，
所以，
所以，即，
所以橢圓的焦距為2.
故選：A.
4. 的內(nèi)角對應的邊分別為，若，則（ ）
A. B.
C. 或D. 無解
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理列出方程求解即得.
【詳解】在中，因，
于是由余弦定理得：，
即，解得或.
故選：C
5. 阿基米德在其著作《關于圓錐體和球體》中給出了一個計算橢圓面積的方法：橢圓半長軸的長度?半短軸的長度和圓周率三者的乘積為該橢圓的面積.已知橢圓的面積為，兩焦點為和，直線與橢圓交于兩點.若，則橢圓的半短軸的長度（ ）
A. 5B. 4C. 6D. 2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，可得，由橢圓對稱性結合已知可得，求解可得橢圓的短半軸長.
【詳解】因為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0面積為，所以，所以，
因為過原點，結合橢圓對稱性，可得線段，被原點互相平分，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又，所以，
所以由橢圓的定義得，解得，所以，解得，
所以橢圓的短半軸長為.
故選：D.
6. 過定點的直線與拋物線交于兩點，的值為（ ）
A B. 5C. D. 4
【正確答案】B
【分析】設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)，從而求得的值.
【詳解】依題意可知直線與軸不重合、與軸不平行，
設直線的方程為，
由，消去并化簡得，
，
解得，設Ax1,y1,Bx2,y2，
則，
，
所以.
故選：B
7. 焦點在軸上的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過點的直線與雙曲線交于兩點，若線段的中點是，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】設Ax1,y1,Bx2,y2，根據(jù)題意利用點差法可得，設雙曲線的方程為，結合漸近線可得，即可得離心率.
【詳解】設Ax1,y1,Bx2,y2，則，且，
因為，兩式相減可得，
整理可得，即，可得，
即雙曲線的漸近線方程為，
設雙曲線的方程為，則，
所以雙曲線的離心率為.
故選：D.
8. 已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的中垂線經(jīng)過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由題意可得，結合橢圓和雙曲線的定義得到的關系式，根據(jù)取值范圍分析函數(shù)單調(diào)性得到結果.
【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，它們的公共焦距為，不妨設點在第一象限.
∵在的中垂線上，
∴，
由橢圓、雙曲線的定義得：，
∴，整理得，
∴，即，
∴，
∴，
令，由定義法可證在為增函數(shù)，且，
∵，
∴.
故選：B.
二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知是空間內(nèi)兩條不同直線，是空間內(nèi)兩個不同的平面，則下列命題為假命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)空間線線，線面，面面的位置關系判斷.
【詳解】對于A，因為是兩個不同的平面，是兩個不同的直線，，則，故A為真命題；
對于B，若，則與可能平行，相交，異面，故B為假命題；
對于C，若，則，故C為真命題；
對于D，若，則與可能平行，相交，故D為假命題.
故選：BD.
10. 設雙曲線的左焦點為，右焦點為，點在的右支上，且不與的頂點重合，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若且，則雙曲線的兩條漸近線的方程是
B. 若，則的面積等于
C. 若點的坐標為，則雙曲線的離心率大于3
D. 以為直徑的圓與以的實軸為直徑的圓外切
【正確答案】BCD
【分析】將且，帶入方程求解漸近線方程即可判斷A；，結合雙曲線的定義求解即可判斷B；把點坐標代入的方程，然后計算離心率的取值范圍即可判斷C；畫圖，兩圓的圓心距是的中位線，兩圓的半徑之和，故兩圓外切，即可判斷D.
【詳解】當且時，的漸近線斜率為，選項A錯誤；
，故選項B正確；
把點坐標代入的方程得：
，選項C正確；
如圖，兩圓的圓心距是的中位線，
兩圓的半徑之和，故兩圓外切，選項D正確.
故選：BCD
11. 兩個圓錐的母線長度均為，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，分別用和表示兩個圓錐的底面圓半徑?表面積?體積，則正確的有（ ）
A.
B. 的最小值為
C. 為定值
D. 若，則
【正確答案】ABD
【分析】由“它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓”為解題關鍵點，A選項利用側(cè)面展開圖的圓心角和為得到結論；B選項由面積公式以及A選項結論得到結論；C選項由體積公式得出代數(shù)式，由特殊值結論不同得到不為定值；D選項將條件代入C選項中體積公式即可得到比值.
【詳解】A：由得，故A對.
B：，故B對.
C：，如，與時值不同，故不為定值，C錯
D：，故D對.
故選：ABD.
三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）
12. 設為正實數(shù)，若直線被圓所截得的弦長為，則__________.
【正確答案】
【分析】借助圓心到直線距離、半徑及弦長的關系計算即可得.
【詳解】的圓心為，半徑為，
圓心到的距離為，
所以，因為，
解得.
故
13. 已知橢圓的焦點分別為，，且是拋物線焦點，若P是與的交點，且，則的值為___________.
【正確答案】
【分析】利用橢圓定義求出，再借助拋物線的定義結合幾何圖形計算作答.
【詳解】依題意，由橢圓定義得，而，則，
因點是拋物線的焦點，則該拋物線的準線l過點，如圖，
過點P作于點Q，由拋物線定義知，而，則，
所以.
故
14. 已知點在圓上，動圓與圓內(nèi)切并與直線相切，圓心為，則PC的最小值為______.
【正確答案】##
【分析】根據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關系結合拋物線的定義確定C的軌跡，計算即可.
【詳解】如圖，設圓的半徑為，則；
又到的距離為，則到的距離為.
所以C的軌跡是以O為焦點，以為準線的拋物線，頂點為，
則
四?解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明，正明過程或演算步驟）
15. 已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.
（1）求內(nèi)角；
（2）若為邊上的中點，求線段的長.
【正確答案】（1）2π3
（2）
【分析】（1）結合已知利用余弦定理求解即可；
（2）結合三角形面積公式求得，然后由平方，利用數(shù)量積的運算求解．
【小問1詳解】
由已知條件，即，
由余弦定理可得，因為，從而.
【小問2詳解】
因為，由，解得，
因為為邊上的中點，所以，
平方得：，所以.
16. 如圖，在直三棱柱中，，為上一點，為中點，為中點，且.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）.
【分析】（1）結合題目條件建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量垂直證明線面平行.
（2）求直線的方向向量和平面的法向量，利用公式求線面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則
，
設，得，
∴.
由，得，故
∵面的一個法向量，且，平面，
∴面.
【小問2詳解】
由（1）知
設面的法向量為n=x,y,z，
由，
令得，
設直線與平面所成角為，則.
∴直線與平面所成角的正弦值為.
17. 在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為.過拋物線上一點作，垂足為點.已知是邊長為4的等邊三角形.
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，
拋物線上有兩點位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補.求證：直線恒過定點，并求出點的坐標.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析，
【分析】（1）記準線與軸交于點，在中，求出焦準距，即可求解拋物線方程.
（2）設，聯(lián)立拋物線方程，韋達定理，根據(jù)傾斜角互補即斜率之和為0，化簡求得，即可得解.
【小問1詳解】
如圖，記準線與軸交于點，在中，，
所以.
故拋物線.
【小問2詳解】
因為垂直于軸的直線與拋物線僅有一個公共點，所以必有斜率，
設，
由且，
因為位于軸同側(cè)，所以，則，
由得，所以，
又點F0,1，直線和的傾斜角互補，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以直線恒過定點.
18. 已知雙曲線，點，坐標原點.
（1）直線經(jīng)過點A，與的兩條漸近線分別交于點.若面積為，求直線的方程；
（2）如圖，直線交雙曲線的右支于不同兩點.若，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意求漸近線方程，進而求點的坐標，可得，結合面積公式運算求解；
（2）分析可知線段的中垂線經(jīng)過A點，設設的中點為，利用點差法可得，結合點與雙曲線的位置關系運算求解即可.
【小問1詳解】
對于雙曲線，可知，且焦點在x軸上，
則雙曲線的漸近線為，且直線的斜率為，傾斜角為，
設，
聯(lián)立方程，解得，即，
可得，
同理可得，
則解得，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）可知：或，
因為，則線段的中垂線經(jīng)過A點，
設的中點為，
則，且，，
因為，兩式作差得，
整理可得，即，可得，
又因為，則，
聯(lián)立方程，解得，即，
因為點2,3在雙曲線右支上，且在右支的內(nèi)部，
則，所以.且在上，
則，可得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
19. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為和，焦距為2.動點在橢圓上，當線段的中垂線經(jīng)過時，有.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，過原點作的兩條切線，分別與橢圓交于點和點，直線的斜率分別記為.當點在橢圓上運動時，
①證明：恒為定值，并求出這個值；
②求四邊形面積的最大值.
【正確答案】（1）
（2）①證明見解析，；②1
【分析】（1）根據(jù)已知條件以及橢圓的定義求得，從而求得橢圓方程.
（2）①由直線和圓相切列方程，利用根與系數(shù)求得恒為定值.
②先求得四邊形面積的表達式，然后利用基本不等式求得面積的最大值.
【小問1詳解】
取的中點記為，連結.
在中，，所以，
則，
即，所以橢圓方程為
【小問2詳解】
①直線與相切，則；
直線與相切，同理有；
則是關于的方程的兩根，
由韋達定理知
（注：上式中，先由消去的，再代入）
②由①問知，如圖，設，
由，
同理可得，
.
，
，
當，時，.
本題通過橢圓的標準方程、切線性質(zhì)和四邊形面積的求解，綜合考查了橢圓的幾何性質(zhì)、韋達定理及不等式求解的能力．在解題過程中，橢圓參數(shù)的確定、切線斜率的關系及面積最大值的求解環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的緊密結合．在求四邊形面積的最大值時，利用了基本不等式，確保最大值的合理性，并找出條件下的最優(yōu)值．

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