1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．1D．
3．已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．若是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共2小題）
7．下列命題中，真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若.則
D．若，則
8．函數(shù)的圖象，如圖所示，則（ ）
A．的最小正周期為
B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D．若在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則
三、填空題（本大題共3小題）
9．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為
10．已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
11．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為 .
四、解答題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù).
(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
13．已知函數(shù).（其中是自然對(duì)數(shù)的底，）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求整數(shù)的最大值.
14．已知無窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足滿足滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.
(1)已知為二階等差數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式：
(2)若數(shù)列為二階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列.證明：為三階等比數(shù)列：
(3)已知，令的前項(xiàng)和為.證明.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由可得：，
所以，
所以.
故選：D.
2．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：B.
3．【正確答案】A
【詳解】根據(jù)兩向量垂直，
可得，解得或；
可推出或,充分性成立，
而或推不出，必要性不成立，
即“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，
又，則，解得，
則.
故選：C.
5．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)椋?，?br>，故，
所以，
且，故，
故.
故選：D.
6．【正確答案】B
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
由題意知，在上恒成立，
即在上恒成立，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，
又因?yàn)椋裕?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
7．【正確答案】BC
【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知其在R上單調(diào)遞增，
，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，若，則，則，
而，根據(jù)不等式的性質(zhì)，，從而，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，滿足，但無意義，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
8．【正確答案】BCD
【詳解】依題意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；
是奇函數(shù)，B正確；
，
，故是的對(duì)稱中心，
故關(guān)于對(duì)稱，C正確；
，，當(dāng)時(shí)，，
依題意，中恰好包含，于是，
解得，D正確.
故選：BCD
9．【正確答案】
【詳解】解：由題意可得，公比，根據(jù)，及可得，
化簡(jiǎn)可得．則.
故答案為.
10．【正確答案】
【詳解】由，得，
所以，
因?yàn)?，，所以?br>所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為.
11．【正確答案】?2
【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，；
在點(diǎn)處的切線方程為：，即
在點(diǎn)處的切線方程為：即.
由已知：可得：，化簡(jiǎn)得：；
代入所求式子.
故答案為.
12．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
（2）當(dāng)時(shí)，，
由已知，不等式恒成立，
因?yàn)椋裕?br>以上不等式可化為：，
所以，
整理可得：，
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>上式可轉(zhuǎn)化為，
因?yàn)椋驗(yàn)椋?br>所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
13．【正確答案】(1)
見解析
(2)1
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得：，解得：，
由得：，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，，即：，所以，
令，
則，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以，使得，
即，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取最小值，
令，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
，，
所以，因?yàn)?，所以整?shù)的最大值為1.
14．【正確答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【詳解】（1）因?yàn)椋郑?br>所以為公差為，首項(xiàng)為4的等差數(shù)列，
因此，即，
所以
（2）因?yàn)闉槎A等差數(shù)列，所以(為常數(shù))，
因此，即，
所以
，
故是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，
又是一階等比，設(shè)公比為，則，則，
由是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，知是關(guān)于的三次多項(xiàng)式.
下面證明是三階等差數(shù)列:
設(shè)，則，
所以
，
，此為常數(shù)，
因此是三階等差數(shù)列，故是常數(shù)列，故是三階等比數(shù)列.
（3）由上可知，可設(shè)(其中)，
則，
所以
故，
所以，
因此，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，
所以，
兩式相減，得，
，
所以.即，得證.

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