一、單選題（本大題共8小題）
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，平行四邊形中，，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知球O的半徑為R，A，B，C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面的距離為，，，則球O的表面積為（ ）
A． B．C．D．
7．若數(shù)列和滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間是
B．的單調(diào)遞增區(qū)間是
C．在上有3個(gè)零點(diǎn)
D．將函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長度得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
10．下列說法正確的有（ ）
A．若，則函數(shù)的最大值為
B．已知，則的最小值為
C．若正數(shù)x、y滿足，則的最小值為3．
D．設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為6
11．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成組合，把這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成空間幾何體．若圖中每個(gè)正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．點(diǎn)到直線的距離是
C．D．異面直線與所成角的正切值為4
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
13．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是 ．
14．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)，分別是線段，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與底面所成角的度數(shù)為，則線段長度的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，（x∈R，且為常數(shù)），若．
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若時(shí)，函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．
16．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，且的面積為，求的周長.
18．如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面平面；
(2)在圖2中，若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
19．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
答案
1．【正確答案】B
【詳解】∵，，
∴．
故選：B．
2．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，在第三象限，
故選：C.
3．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得?br>即，可得，
因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，
所以，得，
又因?yàn)?，所以?br>故有：．
從而有
．
故選：B．
4．【正確答案】D
【詳解】由題得，，
所以
，
所以.
故選；D.
5．【正確答案】C
【詳解】由題，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
所以若函數(shù)是R上的增函數(shù)，
則.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：C.
6．【正確答案】B
【詳解】，，
由正弦定理得（是的外接圓半徑），解得：，
，解得：，
球O的表面積．
故選：B．
7．【正確答案】A
【詳解】由題可得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，故，
又由題可得即，
所以，故，
所以.
所以，
所以.
故選：A.
8．【正確答案】A
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，，
令，可得，，
由題意是方程的兩根，且
故且，解得，
又，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A．
9．【正確答案】AC
【詳解】由圖象得，周期，得，
所以，．
令，解得，
故單調(diào)遞增區(qū)間為．A正確，B錯(cuò)誤；
令，解得，
令得，解得，可知C選項(xiàng)正確；
函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，向左平移3個(gè)單位長度，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
10．【正確答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以則函數(shù)的最小值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
則的最小值為，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)檎龜?shù)x、y滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為3，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)閤、y為正實(shí)數(shù)，且，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為6，故D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】依題意得，故A正確；
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
對(duì)于BC，，
所以，設(shè)，
則點(diǎn)到直線的距離，故BC正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以異面直線與所成角的正切值為，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
12．【正確答案】
【詳解】由題可設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，
所以，所以函數(shù)，
所以函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，
所以若，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】由題得定義域?yàn)镽，，
所以時(shí)，；時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
所以，故m的取值范圍是.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
由題意可設(shè)，，其中，
所以，
顯然為平面的法向量，
所以，
化簡得，
顯然（否則矛盾）， 從而，解得，
，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為，
所以的取值范圍為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)，
(2)2
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴的最小正周期為，
由，得，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)，即時(shí)，有最小值，
即．
16．【正確答案】(1)證明見解析，；
(2).
【詳解】（1）證明：由題可得，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
整理得，
所以
，
又，所以
所以①，
又，均滿足①式，所以.
又，即數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）得，
數(shù)列的前n項(xiàng)和，
所以，
所以
，
所以.
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，所以.
因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)?，所以，所?
（2）由（1）可得，所以.
因?yàn)榈拿娣e為，所以，
所以，則.
由余弦定理可得，
即，所以，則.
故的周長為.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）連接，
由題意，
則為等邊三角形，
由余弦定理得，所以，
則，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
故，
，
因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一條法向量為，
所以，
化簡得，解得或（舍去），
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
所以點(diǎn)到平面的距離為．

19．【正確答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
【方法總結(jié)】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1 通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2 利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3 根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．

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