一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。
1．（5分）復數(shù)52+i的共軛復數(shù)是（ ）
A．2﹣iB．﹣2﹣iC．﹣2+iD．2+i
2．（5分）已知A={?1，12}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的取值構成的集合是（ ）
A．{﹣1，2}B．{﹣2，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣1，0，2}
3．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2，a7為函數(shù)f(x)=12x2+lnx?3x+1的兩個極值點，則a4+a5＝（ ）
A．1B．3C．5D．3+52
4．（5分）已知點O為△ABC外接圓的圓心，AB→+AC→=2AO→且|AB→|=|AC→|，則向量BA→在向量BC→上的投影向量為（ ）
A．BC→B．BO→C．CB→D．OB→
5．（5分）已知α，β為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，則m⊥β的一個充分不必要條件可以是（ ）
A．m與β內(nèi)所有的直線都垂直
B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
C．m與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直
D．l⊥α，l⊥β，m⊥α
6．（5分）把函數(shù)y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，且y＝g（x）的圖象關于點(π4，0)中心對稱，則函數(shù)y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．f(x)=sin(x2?7π12)B．f(x)=sin(x2+π12)
C．f(x)=sin(2x?7π12)D．f(x)=sin(2x+π12)
7．（5分）已知函數(shù)f(x)=2x，0≤x＜32f(x?3)，x≥3，則f（lg22024）＝（ ）
A．2538B．2534C．2532D．253
8．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域是R，其導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（ ）
A．1022B．1024C．2046D．2048
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）已知a＞b＞0，c為實數(shù)，則下列不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)3＞b3B．a(chǎn)c2＞bc2
C．a(chǎn)b+ba＞2D．a(chǎn)﹣sina＜b﹣sinb
（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝sin（sinx）﹣cs（csx），則下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）是周期函數(shù)
C．f（x）關于直線x=π2對稱
D．當x∈（0，π）時，﹣1＜f（x）＜0
（多選）11．（6分）如圖，在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且OA＝OB＝OC＝1，M，N分別為線段OB，AC上異于端點的動點，滿足OMOB=λ，ANAC=μ，下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐O﹣ABC的外接球的表面積是3π
B．當λ＝μ時，線段MN的最小值是22
C．當λμ＝1時，三棱錐O﹣AMN的體積是定值
D．若空間中的點P滿足PA⊥PO且PB⊥PC，則滿足條件的點P所形成的軌跡長度為63π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知sin(α+π2)=12，則cs2α＝ ．
13．（5分）已知圓錐的表面積為π，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為 ．
14．（5分）已知△ABC外接圓的半徑為2，S是△ABC的面積，a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，則λ的最大值為 ；點P為△ABC外接圓上的任意一點，當λ取得最大值時，PA→?PB→的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，且a1＝1，an+12?an2=2n+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn＝（﹣1）nan+3an，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n．
16．（15分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且bcsC+3bsinCa+c=1．
（1）求B；
（2）若△ABC為銳角三角形，且有c＝1，求△ABC面積的取值范圍．
17．（15分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長是1，點E，F(xiàn)，G分別在側棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F(xiàn)，G四點共面．設直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為α、β．
（1）設平面AEFG與平面ABCD相交于直線l，求證：當BD∥l時，α＝β；
（2）當α+β=π2時，求平面AEFG與平面ABCD所成角的余弦值的最大值．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）（ex﹣ax），a∈R．
（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過的所有的定點坐標，并寫出函數(shù)y＝f（x）的一條以上述一個定點為切點的切線；
（2）討論函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；
（3）當a＝0時，證明：f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．
19．（17分）一般地，對于無窮數(shù)列{an}：a0，a1，a2，…an，…，我們稱冪級數(shù)f（x）=n=0∞ anxn即f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn+…為無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)．
例如：數(shù)列1，3，5，…，2n+1，…的母函數(shù)為f（x）＝1+3x+5x2+…+（2n+1）xn+…
附公式：1(1?x)k=n=0∞ Cn+k?1k?1xn=1+Ckk?1x+Ck+1k?1x2+?+Cn+k?1k?1xn+?，其中|x|＜1．
（1）已知數(shù)列{an}，a0＝0，an＝2an﹣1+1（n≥1），求無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)f（x）；
（2）已知無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)為g（x），記Sn＝a0+a1+a2+…+an，請用g（x）表示數(shù)列S0，S1，S2，…，Sn，…的母函數(shù)G（x）；
（3）已知數(shù)列{an}，an＝（n+2）（n+1）2n（n≥0），記Sn＝a0+a1+a2+…+an，求Sn．
答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。
1．（5分）復數(shù)52+i的共軛復數(shù)是（ ）
A．2﹣iB．﹣2﹣iC．﹣2+iD．2+i
【分析】無求出復數(shù)52+i，由此能求出復數(shù)52+i的共軛復數(shù)．
解：復數(shù)52+i=5(2?i)(2+i)(2?i)=2﹣i．
∴復數(shù)52+i的共軛復數(shù)是2+i．
故選：D．
【點評】本題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的模、復數(shù)相等的定義等基礎知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎題．
2．（5分）已知A={?1，12}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的取值構成的集合是（ ）
A．{﹣1，2}B．{﹣2，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣1，0，2}
【分析】由A∩B＝B可得B?A，分a＝0和a≠0兩種情況討論，分別求出a的值即可．
解：由A∩B＝B可得B?A，
當a＝0時，B＝?，符合題意，
當a≠0時，B＝{?1a}，
所以?1a=?1或?1a=12，
解得a＝1或a＝﹣2，
綜上所述，實數(shù)a的取值構成的集合是{0，1，﹣2}．
故選：C．
【點評】本題主要考查了集合間的包含關系，屬于基礎題．
3．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2，a7為函數(shù)f(x)=12x2+lnx?3x+1的兩個極值點，則a4+a5＝（ ）
A．1B．3C．5D．3+52
【分析】由題意可得a2，a7為導函數(shù)方程x2﹣3x+1＝0的兩根，由韋達定理可得a2+a7，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5即可．
解：∵a2，a7是函數(shù)f（x）=12x2+lnx﹣3x+1的極值點，∴a2，a7是導函數(shù)方程f′（x）＝0的兩根，
對函數(shù)求導數(shù)可得f′（x）＝x+1x?3=x2?3x+1x，
∴a2，a7為方程x2﹣3x+1＝0的兩根，
由韋達定理可得a2+a7＝3，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5＝a2+a7＝3．
故選：B．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．
4．（5分）已知點O為△ABC外接圓的圓心，AB→+AC→=2AO→且|AB→|=|AC→|，則向量BA→在向量BC→上的投影向量為（ ）
A．BC→B．BO→C．CB→D．OB→
【分析】由題意知，△ABC是等腰直角三角形，且BC為外接圓的直徑，由此得出向量BA→在向量BC→上的投影向量．
解：O為△ABC外接圓的圓心，AB→+AC→=2AO→，且|AB→|＝|AC→|，
所以△ABC是等腰直角三角形，且BC為外接圓的直徑，
所以向量BA→在向量BC→上的投影向量為BO→．
故選：B．
【點評】本題考查了投影向量的定義與應用問題，是基礎題．
5．（5分）已知α，β為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，則m⊥β的一個充分不必要條件可以是（ ）
A．m與β內(nèi)所有的直線都垂直
B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
C．m與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直
D．l⊥α，l⊥β，m⊥α
【分析】根據(jù)空間中各要素的位置關系及充分與必要條件的概念，即可求解．
解：∵m與β內(nèi)所有的直線都垂直的充要條件為m⊥β，∴A選項錯誤；
∵α⊥β，α∩β＝l，m⊥l不能得到m⊥β，∴B選項錯誤；
∵m與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直不能得到m⊥β，∴C選項錯誤；
∵l⊥α，l⊥β，可得α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，
但反過來m⊥β，不一定能得到l⊥α，l⊥β，m⊥α，∴D選項正確．
故選：D．
【點評】本題考查空間中各要素的位置關系，充分與必要條件的概念，屬基礎題．
6．（5分）把函數(shù)y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，且y＝g（x）的圖象關于點(π4，0)中心對稱，則函數(shù)y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．f(x)=sin(x2?7π12)B．f(x)=sin(x2+π12)
C．f(x)=sin(2x?7π12)D．f(x)=sin(2x+π12)
【分析】直接利用函數(shù)圖象的伸縮變換和平移變換求出結果．
解：對于選項A：假設函數(shù)為f（x）＝sin（x2?7π12）時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（14x?7π12），再把所得曲線向左平移π3個單位長度，
得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（14x?π2）的圖象，當x=π4時，g（π4）≠0，故A錯誤；
對于選項B：假設函數(shù)為f(x)=sin(x2+π12)時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（x4+π12），再把所得曲線向左平移π3個單位長度，
得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（14x+π6）的圖象，當x=π4時，g（π4）≠0，故B錯誤；
對于選項C：假設函數(shù)為f（x）＝sin（2x?7π12）時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（x?7π12），再把所得曲線向左平移π3個單位長度，
得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（x?π4）的圖象，當x=π4時，g（π4）＝0，故C正確；
對于選項D：假設函數(shù)為f（x）＝sin（2x+π12）時，圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin（x+π12），再把所得曲線向左平移π3個單位長度，
得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（x+5π12）的圖象，當x=π4時，g（π4）≠0，故D錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查的知識點：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．
7．（5分）已知函數(shù)f(x)=2x，0≤x＜32f(x?3)，x≥3，則f（lg22024）＝（ ）
A．2538B．2534C．2532D．253
【分析】將x的值代入函數(shù)解析式，即可求解．
解：10＝lg21024＜lg22024＜lg＝11，
f（lg22024）＝23f（lg22024﹣9）=8×2lg22024?9=2538．
故選：A．
【點評】本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎題．
8．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域是R，其導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（ ）
A．1022B．1024C．2046D．2048
【分析】根據(jù)已知條件，設出函數(shù)，代點求出函數(shù)解析式，再結合等比數(shù)列的前n項和公式，即可求解．
解：導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＝f'（x+1），
設f（x）＝ax+b，
f（0）＝0，f（1）＝2，
則b=0a+b=2，解得a＝2，b＝0，
故f（x）＝2x，
f（1）+f（2）+f（22）+...+f（29）＝2+22+23+...+210=2×(1?210)1?2=2046．
故選：C．
【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）已知a＞b＞0，c為實數(shù)，則下列不等式正確的是（ ）
A．a(chǎn)3＞b3B．a(chǎn)c2＞bc2
C．a(chǎn)b+ba＞2D．a(chǎn)﹣sina＜b﹣sinb
【分析】對A，由不等式的性質(zhì)可得；對B，取c＝0即可得；對C，由基本不等式可得；對D，設f（x）＝x﹣sinx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得．
解：對于A，因為a＞b＞0，所以a3＞b3，故A正確；
對于B，若c＝0，所以ac2＝bc2，故B錯誤；
對于C，因為a＞b＞0，所以ab+ba＞2ab?ba=2，故C正確；
對于D，設f（x）＝x﹣sinx，f′（x）＝1﹣csx≥0，
所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又a＞b＞0，
所以a﹣sina＞b﹣sinb，故D錯誤．
故選：AC．
【點評】本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題．
（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝sin（sinx）﹣cs（csx），則下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）是周期函數(shù)
C．f（x）關于直線x=π2對稱
D．當x∈（0，π）時，﹣1＜f（x）＜0
【分析】由f(π2)≠f(?π2)，可判斷選項A；由f（x+2π）＝f（x）可判斷選項B；由f（π﹣x）＝f（x）可判斷選項C；對于選項D，只需判斷當x∈(0，π2]時，﹣1＜f（x）＜0是否成立即可．
解：f(π2)=sin(sinπ2)?cs(csπ2)=sin1?cs0=sin1?1，
f(?π2)=sin(sin(?π2）?cs(cs(?π2）=sin(?1)?cs0=?sin1?1，
則f(π2)≠f(?π2)，
所以f（x）不是偶函數(shù)，故選項A錯誤；
f（x+2π）＝sin（sin（x+2π））﹣cs（cs（x+2π））＝sin（sinx）﹣cs（csx）＝f（x），
所以f（x）是以2π為周期的周期函數(shù)，故選項B正確；
f（π﹣x）＝sin（sin（π﹣x））﹣cs（cs（π﹣x））＝sin（sinx）﹣cs（cs（﹣x））＝f（x），
所以f（x）關于直線x=π2對稱，故選項C正確：
對于選項D，由f（x）關于直線x=π2對稱，只需看當x∈(0，π2]時，﹣1＜f（x）＜0是否成立即可．
當x∈(0，π2]時，0＜sinx≤1，0≤csx＜1，0＜sin（sinx）≤sinl，csl＜cs（csx）≤1，
所以sin（sinx）﹣cs（csx）＞﹣1，
又因為sinx+csx=2sin(x+π4)≤2＜π2，
所以0＜sinx＜π2?csx＜π2，
所以sin(sinx)＜sin(π2?csx)=cs(csx)，
所以﹣1＜f（x）＜0，故選項D正確．
故選：BCD．
【點評】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
（多選）11．（6分）如圖，在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且OA＝OB＝OC＝1，M，N分別為線段OB，AC上異于端點的動點，滿足OMOB=λ，ANAC=μ，下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐O﹣ABC的外接球的表面積是3π
B．當λ＝μ時，線段MN的最小值是22
C．當λμ＝1時，三棱錐O﹣AMN的體積是定值
D．若空間中的點P滿足PA⊥PO且PB⊥PC，則滿足條件的點P所形成的軌跡長度為63π
【分析】A選項：根據(jù)三棱錐O﹣ABC的外接球是棱長為1的正方體的外接球，得到半徑R=32，即可求解；
B選項：利用勾股定理求出MN，再利用二次函數(shù)求最值即可：
C選項：利用等體積轉(zhuǎn)換法求解即可；
D選項：先確定點P的軌跡是分別以OA，BC為直徑的球相交所得的圓，再求解即可．
解：A選項，三棱錐O﹣ABC的外接球是棱長為1的正方體的外接球，其半徑R=32，
所以表面積為4πR2=4π×(32)2=4π×34=3π，所以A選項正確；
B選項，在三棱錐O﹣ABC中，由OA，OB，OC兩兩垂直可得OA⊥底面OBC，
如圖所示，在線段OC上取一點D，使得ODOC=ANAC=μ，即得DN∥OA且DN＝1﹣μ，
再由OA⊥底面OBC，
可得ND⊥底面OBC，而MD?平面OBC，
故ND⊥DM，又因為OMOB=λ=μ，
所以DM∥BC且DM=2λ=2μ，
所以可得MN=DM2+DN2=2μ2+(1?μ)2=3μ2?2μ+1=3(μ?13)2+23≥63，所以B選項錯誤；
C選項，因為λ?μ＝1，所以ODOC=ANAC=μ=1λ，即OD=1λ，
又因為OMOB=λ，所以OM＝λOB＝λ，
再由DN∥OA可得，點N到平面OAM的距離等于點D到平面OAM的距離，
故有VO﹣AMN＝VN﹣OAM＝VD﹣OAM＝VA﹣ODM，
因為OA⊥底面OBC，所以OA即為三棱錐A﹣ODM的高，
從而VO?AMN=VA?ODM=13×S△ODM×OA=13×12×λ×1λ×1=16，是定值，所以C選項正確；
D選項，滿足PA⊥PO且PB⊥PC的點P的軌跡是分別以OA，BC為直徑的球相交所得的圓，
如圖下左所示，其軸截面如下右圖所示，
該圓的直徑為線段HG，OA的中點E是OA為直徑的球的球心，BC中點F是BC為直徑的球的球心，
可得EG=12，F(xiàn)G=22，EF=32，從而GI=12×2232=66，
點P所形成的軌跡長度為2π×66=63π，所以D選項正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查立體幾何綜合問題，屬于難題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知sin(α+π2)=12，則cs2α＝ ?12 ．
【分析】根據(jù)二倍角公式即可得．
解：sin(α+π2)=12，csα=12，
則cs2α＝2cs2α﹣1=12?1=?12．
故?12．
【點評】本題考查二倍角公式，屬于基礎題．
13．（5分）已知圓錐的表面積為π，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為 π9 ．
【分析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，由題意列式求解r，進一步求出圓錐的高，代入體積公式得答案．
解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
由題意，πrl+πr2＝π，2πr＝πl(wèi)，
則r=33，l=233，
∴?=l2?r2=1．
∴圓錐的體積為V=13π×(33)2×1=π9．
故π9．
【點評】本題考查圓錐體積與側面積的求法，是基礎題．
14．（5分）已知△ABC外接圓的半徑為2，S是△ABC的面積，a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，則λ的最大值為 43 ；點P為△ABC外接圓上的任意一點，當λ取得最大值時，PA→?PB→的取值范圍是 [﹣2，6] ．
【分析】根據(jù)余弦定理與三角形的面積公式化簡不等式a2+b2+c2≥λS，得到a2+b22ab≥λ8sinC+12csC，結合基本不等式可得a2+b22ab≥1，所以λ8sinC+12csC≤1恒成立，從而可得λ264+14≤1，由此解得?43≤λ≤43，可得λ的最大值，然后證出當λ取得最大值時，△ABC為正三角形，根據(jù)外接圓的半徑為2，利用正弦定理求出正△ABC的邊長，接下來作出△ABC的外接圓，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡PA→?PB→，利用圓的性質(zhì)求出PA→?PB→的最大值與最小值，即可得到PA→?PB→的取值范圍．
解：根據(jù)余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC，
所以不等式a2+b2+c2≥λS可化為2a2+2b2﹣2abcsC≥λ2absinC，
即2a2+2b2≥λ2absinC+2abcsC，整理得a2+b22ab≥λ8sinC+12csC，
因為a、b為正數(shù)，a2+b2≥2ab，所以a2+b22ab≥1，當且僅當a＝b時，取等號．
若要使不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，則λ8sinC+12csC≤1恒成立，
所以λ264+14≤1，解得λ2≤48，即?43≤λ≤43，可得λ的最大值為43．
當λ=43時，λ8sinC+12csC=32sinC+12csC＝sin（C+π6）＝1，
而C∈（0，π），可知C=π3，結合a＝b，可得△ABC是正三角形．
因為△ABC外接圓的半徑R＝2，所以正△ABC的邊長等于2Rsinπ3=23．
作出△ABC的外接圓O，設過C點的直徑為CE，AB交CE于點D，則D為AB的中點，連接PD，
則PA→?PB→=（PD→+DA→）?（PD→+DB→）＝|PD→|2﹣|DA→|2＝|PD→|2?14|AB→|2=|PD→|2﹣3，
點P在圓O上運動，當點P與C重合時，|PD→|＝|CD→|=32|AB|＝3，達到最大值，
當點P與E重合時，|PD→|＝2R﹣|CD→|＝4﹣3＝1，達到最小值．
所以|PD→|∈[1，3]，可得|PD→|2﹣3∈[﹣2，6]，即PA→?PB→的取值范圍是[﹣2，6]．
故43；[﹣2，6]．
【點評】本題考查了解三角形及其應用、基本不等式、三角恒等變換公式、平面向量數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)等知識，考查了計算能力、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，且a1＝1，an+12?an2=2n+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn＝（﹣1）nan+3an，求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n．
【分析】（1）利用累加法求解；
（2）利用分組求和法和并項求和法求解．
解：（1）因為an+12?an2=2n+1，且a1＝1，
所以an2=a12+（a22?a12）+（a32?a22）+…+（an2?an?12）＝1+2×1+1+2×2+1+…+2（n﹣1）+1＝1+2[1+2+…+（n﹣1）]+n﹣1＝1+2×(n?1)n2+n?1=n2，
又因為數(shù)列{an}為正項數(shù)列，
所以an＝n；
（2）由（1）可知an＝n，
所以bn＝（﹣1）nn+3n，
所以S2n＝（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）+3+32+33+…+32n＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣2n+1+2n）]+3×(1?32n)1?3=1×n+3(32n?1)2=n+32n+1?32．
【點評】本題主要考查了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了分組求和法和并項求和法的應用，屬于中檔題．
16．（15分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且bcsC+3bsinCa+c=1．
（1）求B；
（2）若△ABC為銳角三角形，且有c＝1，求△ABC面積的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡所給等式，可得sinBcsC+3sinBsinC＝sinA+sinC，結合sinA＝sin（B+C）利用兩角和的正弦公式化簡，可得3sinB﹣csB＝1，進而可得sin（B?π6）=12，結合B∈（0，π）求出角B的大小；
（2）根據(jù)c＝1，利用正弦定理算出a=sinAsinC，結合sinA＝sin（2π3?C），利用三角恒等變換公式化簡出a=32tanC+12，然后根據(jù)△ABC是銳角三角形，算出角C的取值范圍，結合正切函數(shù)的性質(zhì)求出a∈（12，2），再利用三角形的面積公式推導出△ABC的面積S=34a，即可得到△ABC面積的取值范圍．
解：（1）由bcsC+3bsinCa+c=1，可得bcsC+3bsinC＝a+c，
根據(jù)正弦定理，得sinBcsC+3sinBsinC＝sinA+sinC，
因為△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+3sinBsinC＝（sinBcsC+csBsinC）+sinC，
整理得sinC（3sinB﹣csB﹣1）＝0，
結合sinC≠0，可得3sinB﹣csB＝1，即2sin（B?π6）＝1，sin（B?π6）=12．
而B為三角形的內(nèi)角，可知B?π6=π6，所以B=π3；
（2）△ABC中，c＝1，B=π3，由正弦定理asinA=csinC，
可得a=csinAsinC=sinAsinC=sin(2π3?C)sinC=32csC+12sinCsinC=32tanC+12．
因為△ABC是銳角三角形，
所以0＜C＜π2A=2π3?C∈(0，π2)，解得C∈（π6，π2），可得tanC＞tanπ6，即tanC＞33，
可得1tanC∈（0，3），a=32tanC+12∈（12，2）．
因此，△ABC的面積S=12acsinB=34a∈（38，32）．
【點評】本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理與三角形的面積公式、正切函數(shù)的性質(zhì)等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．
17．（15分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長是1，點E，F(xiàn)，G分別在側棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F(xiàn)，G四點共面．設直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為α、β．
（1）設平面AEFG與平面ABCD相交于直線l，求證：當BD∥l時，α＝β；
（2）當α+β=π2時，求平面AEFG與平面ABCD所成角的余弦值的最大值．
【分析】（1）先證明直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為∠EAB，∠GAD，結合BE＝DG，AB＝AD即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面AEFG的法向量，利用向量法結合基本不等式求解即可．
解：（1）證明：由BD∥l，BD?平面AEFG，l?平面AEFG可得，BD∥平面AEFG，
再由BD?平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面AEFG＝EG，
所以BD∥EG，
又因為BE∥DG，
所以四邊形BDGE為平行四邊形，所以BE＝DG，
在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1，DD1均垂直于平面ABCD，
所以直線AE、AG與平面ABCD所成的角分別為∠EAB，∠GAD，即α＝∠EAB，β＝∠GAD，
又因為BE＝DG，AB＝AD，所以tanα＝tanβ，從而α＝β；
（2）以A為坐標原點，分別以AB→，AD→，AA1→的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則E（1，0，tanα），G（0，1，tanβ），
所以AE→=(1，0，tanα)，AG→=(0，1，tanβ)，
設平面AEFG的法向量n1→=(x，y，z)，
則有AE→?n1→=x+ztanα=0AG→?n1→=y+ztanβ=0，
令z＝﹣1，則有x＝tanα，y＝tanβ，
所以n1→=(tanα，tanβ，?1)，
易知平面ABCD的法向量為n2→=(0，0，1)，
所以csθ=|cs＜n1→，n2→＞|=1tan2α+tan2β+1=1tan2α+tan(π2?α)+1
=1tan2α+1tan2α+1≤12tan2α?1tan2α+1=33，
當且僅當tan2α=1tan2α，即α=π4時等號成立，
即平面AEFG與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為33．
【點評】本題考查線面角以及向量法的應用，屬于難題．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）（ex﹣ax），a∈R．
（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過的所有的定點坐標，并寫出函數(shù)y＝f（x）的一條以上述一個定點為切點的切線；
（2）討論函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；
（3）當a＝0時，證明：f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．
【分析】（1）先確定f（x）的圖象經(jīng)過的所有定點的坐標為（2，0）和（0，﹣2），然后分別求切線即可；
（2）利用導數(shù)分情況求解即可；
（3）根據(jù)f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0?ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，令g（x）＝ex（xlnx+x2﹣x）+1，利用導數(shù)求解即可．
解：（1）顯然y＝f（x）的圖象經(jīng)過（2，0），當x＝0時，y＝﹣2，
所以f（x）的圖象經(jīng)過的所有定點的坐標為（2，0）和（0，﹣2），
由題知f'（x）＝ex﹣ax+（x﹣2）（ex﹣a）＝（x﹣1）（ex﹣2a），
若以（2，0）為切點，f'（2）＝e2﹣2a，切線為y＝（e2﹣2a）（x﹣2）；
若以（0，﹣2）為切點，f'（0）＝2a﹣1，切線為y＝（2a﹣1）x﹣2；
（2）①當a≤0時，ex﹣2a＞0恒成立，
所以當x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，
當x＞1時，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
②當a＞0時，由f'（x）＝0，得x1＝1或x2＝ln（2a），
當ln（2a）＝1，即a=e2時，f'（x）≥0恒成立，則f（x）在R上單調(diào)遞增，
當ln（2a）＞1時，即a＞e2時，當x＜1時，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞增；
當1＜x＜ln（2a）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，ln（2a））單調(diào)遞減；
當x＞ln（2a）時，f'（x）＞0，f（x）在（ln（2a），+∞）單調(diào)遞增；
當ln（2a）＜1時，即0＜a＜e2時，
當x＜ln（2a）時，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，ln（2a））單調(diào)遞增；
當ln（2a）＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）在（ln（2a），1）單調(diào)遞減；
當x＞1時，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
綜上所述：當a≤0時，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當0＜a＜e2時，f（x）在（﹣∞，ln（2a））單調(diào)遞增，在（ln（2a），1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當a=e2時，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當a＞e2時，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞增，在（1，ln（2a））單調(diào)遞減，在（ln（2a），+∞）單調(diào)遞增．
（3）證明：當a＝0時，f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0?ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，
令g（x）＝ex（xlnx+x2﹣x）+1，
則g′（x）＝ex（xlnx+x2﹣x+lnx+1+2x﹣1）＝ex（x+1）（lnx+x），
令h（x）＝lnx+x，?′(x)=1x+1，
則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又因為h（1）＝1＞0，?(1e)=?1+1e＜0，
所以存在t∈(1e，1)，使得h（t）＝lnt+t＝0，
即lnt＝﹣t，即et=1t，當x∈（0，t）時，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（t，+∞）時，h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
所以g（x）≥g（t）＝et（tlnt+t2﹣t）+1＝0，
所以ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，也即f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．
【點評】本題考查導數(shù)的應用，屬于難題．
19．（17分）一般地，對于無窮數(shù)列{an}：a0，a1，a2，…an，…，我們稱冪級數(shù)f（x）=n=0∞ anxn即f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn+…為無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)．
例如：數(shù)列1，3，5，…，2n+1，…的母函數(shù)為f（x）＝1+3x+5x2+…+（2n+1）xn+…
附公式：1(1?x)k=n=0∞ Cn+k?1k?1xn=1+Ckk?1x+Ck+1k?1x2+?+Cn+k?1k?1xn+?，其中|x|＜1．
（1）已知數(shù)列{an}，a0＝0，an＝2an﹣1+1（n≥1），求無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)f（x）；
（2）已知無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)為g（x），記Sn＝a0+a1+a2+…+an，請用g（x）表示數(shù)列S0，S1，S2，…，Sn，…的母函數(shù)G（x）；
（3）已知數(shù)列{an}，an＝（n+2）（n+1）2n（n≥0），記Sn＝a0+a1+a2+…+an，求Sn．
【分析】（1）根據(jù)遞推式求出an，進而可得無窮數(shù)列{an}的母函數(shù)f（x）；
（2）利用錯誤相減法即可求解G（x）；
（3）令已知公式中的k＝3，可得數(shù)列{an}的母函數(shù)f（x），結合（2）中結論可得數(shù)列{Sn}的母函數(shù)G（x），進而可得Sn．
解：（1）由an＝2an﹣1+1（n≥1）可得an+1＝2（an﹣1+1），
所以數(shù)列{an+1}為公比是2的等比數(shù)列，
所以an+1=2n(a0+1)=2n，即得an=2n?1，
所以數(shù)列的母函數(shù)為f(x)=n=0∞ (2n?1)xn．
（2）由題意得G(x)=S0+S1x+S2x2+?+Snxn+?①，
那么xG(x)=S0x+S1x2+S2x3+?+Snxn+1+?②，
①﹣②得（1﹣x）G（x）＝S0+（S1﹣S0）x+（S2﹣S1）x2+（S3﹣S2）x3+…+（Sn﹣Sn﹣1）xn+…
=a0+a1x+a2x2+?+anxn+?=g(x)，
所以G(x)=g(x)1?x．
（3）由公式1(1?x)k=n=0∞ Cn+k?1k?1xn=1+Ckk?1x+Ck+1k?1x2+?+Cn+k?1k?1xn+?，
令k＝3得1(1?x)3=n=0∞ Cn+22xn，
所以2(1?2x)3=2n=0∞ Cn+22(2x)n=n=0∞ (n+2)(n+1)2nxn=n=0∞ anxn，
數(shù)列{an}的母函數(shù)為f(x)=2(1?2x)3，
由（2）結論知數(shù)列{Sn}的母函數(shù)為：
G(x)=f(x)1?x=2(1?x)(1?2x)3=?21?x+41?2x?4(1?2x)2+4(1?2x)3
=?2n=0∞ Cn0xn+4n=0∞ Cn02nxn?4n=0∞ Cn+112nxn+4n=0∞ Cn+222nxn
=n=0∞ (?2+4?2n?4Cn+112n+4Cn+222n)xn=n=0∞ [2n+1(n2+n+2)?2]xn，
所以Sn=2n+1(n2+n+2)?2．
【點評】本題主要考查數(shù)列的新定義，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于難題．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
B
D
C
A
C

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