一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）．
1. 已知直線，則這條直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由已知直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值求解直線傾斜角的范圍．
【詳解】直線的斜率．
因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，
根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可得．
故選：D．
2. 直線與的方向向量分別為和，則與的位置關(guān)系是（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 重合
【正確答案】B
【分析】判斷向量、的關(guān)系，即可得出直線與的位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)橹本€與方向向量分別為和，
則，所以，，則.
故選：B.
3. 已知直線，，若，則的值為( )．
A. B. C. 或D. 或
【正確答案】C
【分析】根據(jù)兩條直線平行，列式求解即可.
【詳解】由題意,則或,
經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，滿足兩直線平行.
故選:C．
4. 過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】利用兩直線垂直的充要條件及點(diǎn)斜式計(jì)算即可.
【詳解】若直線與垂直，則其斜率為，
又該直線過，根據(jù)點(diǎn)斜式有，整理得.
故選：C
5. 圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ ）．
A 36B. C. 18D.
【正確答案】B
【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算，判斷直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】因?yàn)閳A，即，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑，
因?yàn)閳A心到直線的距離，
所以直線與圓相離，
所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為
.
故選：B.
6. 點(diǎn)是直線（）上動點(diǎn)，，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形面積的最小值是2，則k的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)切線性質(zhì)可知當(dāng)圓心到P的距離最小時(shí)，四邊形的面積最小，列方程求出k的值即可.
【詳解】圓，圓心為，半徑，
設(shè)圓心C到直線的最小距離為d，
則四邊形面積的最小值，
所以，即，
又，∴.
故選：D
7. 如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，E是側(cè)面AA1B1B（含邊界）上的動點(diǎn)，且有AB1⊥平面C1DE，則直線C1E與側(cè)面AA1B1B所成角的正弦值的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】取上靠近的四等分點(diǎn)為F，由題設(shè)可得，利用空間向量證得，由線面垂直的判定可證平面，進(jìn)而確定線面角正弦值最小時(shí)E的位置，即可求得答案.
【詳解】取上靠近的四等分點(diǎn)為F，連接，此時(shí)平面，
證明如下：
因?yàn)橹比庵袀?cè)棱長為，，，是的中點(diǎn)，
所以面，面，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸建系；
所以，即，
此時(shí)，即，，
所以平面，由面，易知：△上邊的高為，
綜上，動點(diǎn)在線段上，且要使直線C1E與側(cè)面AA1B1B所成角的正弦值的最小，只需E、F重合，則，
故直線C1E與側(cè)面AA1B1B所成角的正弦值的最小值為.
故選：C
8. 已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求出和，再根據(jù)向量垂直時(shí)的坐標(biāo)表示，求出實(shí)數(shù)，即可求解.
詳解】設(shè)，，聯(lián)立，得，
因此，，由，解得．
∵，∴，
即，∴，解得．
故“”是“”的充分不必要條件．
故選：A.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）．
9. 直線過點(diǎn)與，則直線的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)直線方程的五種形式分別判斷各選項(xiàng).
【詳解】由直線過點(diǎn)與，
則直線的斜率，
則直線方程的點(diǎn)斜式為，C選項(xiàng)正確；
其一般式為，即，A選項(xiàng)正確；
截距式為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
斜截式為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC.
10. 已知圓，圓，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則圓與圓相交
B. 若，則圓與圓外離
C. 若直線與圓相交，則
D. 若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)直線與圓相交、圓與圓位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解：圓的圓心，半徑
若，，則圓心，半徑，則，
所以，則圓與圓相交，故A正確，B錯(cuò)誤；
若直線與圓相交，則圓心到直線的距離，解得，故C正確；
若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則圓心到直線的距離，所以相交弦長，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則下列判斷中正確的是（ ）

A. 平面平面
B. 平面
C. 異面直線與所成角的范圍是
D. 三棱錐的體積不變
【正確答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】分別以、、為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

對于A：設(shè)邊長為1，則，，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>又平面，所以直線平面，又平面，
所以平面⊥平面，故A正確；
對于B：因?yàn)辄c(diǎn)P在線段上運(yùn)動，所以設(shè)，，則點(diǎn)，
則，由選項(xiàng)A可知：平面的法向量為，
因?yàn)?，又平面，所以直線平面，故B正確；
對于C：，，設(shè)異面直線與所成角為，
所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，綜上，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D：因?yàn)?，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，所以點(diǎn)P到直線的距離不變，即的面積不變，
又因?yàn)辄c(diǎn)到平面距離恒為，所以點(diǎn)到平面的距離不變，
所以三棱錐的高不變，所以三棱錐的體積為定值，
所以為定值，故D正確.
故選：ABD
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知向量，且與垂直，則k的值是______．
【正確答案】##1.6
【分析】兩向量垂直，它們的數(shù)量積為零，據(jù)此即可求k的值.
【詳解】，，
因?yàn)榕c垂直，
所以，即，
即，解得．
故答案為.
13. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
【正確答案】
【分析】畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍.
【詳解】解：，即，即，
表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓在軸上方的部分（含點(diǎn)），
畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示，
由消去并化簡得，
令，解得，
由于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知，的取值范圍是，即.
故
14. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，動點(diǎn)滿足，且在直線上.若滿足條件的點(diǎn)是唯一的，則______.
【正確答案】
【分析】由已知求得動點(diǎn)的軌跡以為圓心，2為半徑的圓.根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得答案.
【詳解】解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得，化簡得，
∴動點(diǎn)的軌跡方程為，表示以為圓心，2為半徑的圓.
又在直線上，且滿足條件的點(diǎn)是唯一的，∴直線與圓相切，且切點(diǎn)為，所以，得，∴.
故答案為.
四、解答題（本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，，E為A1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與B1C的交點(diǎn).
（1）用基底表示向量
（2）化簡，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.
【正確答案】（1），，；（2），圖中標(biāo)注見解析.
【分析】（1）利用空間向量加、減法法則可得出、、關(guān)于、、的表達(dá)式；
（2）結(jié)合空間幾何圖形的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.
【詳解】（1），
，
；
（2）
如圖，連接DA1，則即為所求.
16. 已知三角形ABC的頂點(diǎn)，邊AC上的高BH所在直線方程為，點(diǎn)是邊AB的中點(diǎn).
（1）求邊AC所在直線的方程；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo).
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由邊AC上的高BH所在直線方程為得到邊AC所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出方程即可；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由點(diǎn)是邊AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B在直線BH上，點(diǎn)A在直線AC上，聯(lián)立方程組即可求得，值，從而得解．
【小問1詳解】
因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線方程為，
所以邊AC所在直線的斜率為?2，且經(jīng)過點(diǎn)，
所以邊AC所在直線的方程為，
即AC所在直線的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線方程為，
又因?yàn)辄c(diǎn)是邊AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
由邊AC所在直線的方程為，
所以，即，
由得，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
17. 如圖，在三棱錐中，，.

（1）證明：平面；
（2）若是棱上一點(diǎn)且，求二面角的大小.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.
（2）由（1），得到，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的一個(gè)法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
證明：連接，因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，則，所以，
因?yàn)椋移矫?，所以平?
【小問2詳解】
解：由題設(shè)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由（1），可得，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，設(shè)，因?yàn)?，由題意易得，
所以為正三角形，可得，
因?yàn)椋裕裕?br>設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以，
又由平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，
所以，可得
即二面角的大小為.

18. 如圖，在棱長都為2的平行六面體中，，點(diǎn)在底面上的投影恰為與的交點(diǎn)；
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根據(jù)依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可得結(jié)果；
（2）由線面角的向量求法計(jì)算即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知，底面為菱形，可得，
依題意兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
易知
；
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則即，
據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為：，
又易知
點(diǎn)到平面的距離.
【小問2詳解】
設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為，
又
則即，
據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，
又
因此，
故直線與平面所成角的正弦值為.
19. 已知點(diǎn)，圓.直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，.
（1）若直線過點(diǎn)，求直線的方程；
（2）①若線段AB的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程；
②過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)M、N，設(shè)的斜率分別為，求證：為定值.
【正確答案】（1）或
（2）①；②證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：圓心到直線的距離，分析討論直線的斜率是否存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解；
（2）①分析可知，即可得方程；②設(shè)直線的方程為，設(shè)Mx1,y1、Nx2,y2，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式和韋達(dá)定理可計(jì)算出的值，即可證得結(jié)論成立.
【小問1詳解】
由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，
則圓心到直線的距離，
若直線的斜率不存在，即直線，滿足題意；
若直線的斜率存在，設(shè)直線，即，
則，解得，
所以直線；
綜上所述：直線的方程為或.
【小問2詳解】
①若線段AB的中點(diǎn)為，可得，即，
可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，
所以點(diǎn)的軌跡方程；
②由（1）可知：直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，即，點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，解得，
由韋達(dá)定理可得，，
則
.
所有為定值．
方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

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