數(shù) 學(xué)
本試卷共4頁(yè),19題,全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后,將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.與直線平行,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為
B. C. D.
如圖所示,在三棱柱中,為的中點(diǎn).
若,則可表示為
A. B.
C. D.
3.已知圓與直線和都相切,圓心在直線上,則圓的方程為
A. B.
C. D.
4.設(shè)兩條異面直線的方向向量分別為,則直線與所成的角為
A. B. C. D.
5.已知在中,點(diǎn),點(diǎn),若,則點(diǎn)的軌跡方程為
A. B. C. D.
6.若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于,則半徑的取值范圍
是
A. B. C. D.
7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中,,動(dòng)點(diǎn)分別在線段上,則線段長(zhǎng)度的最小值是
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說(shuō)法中正確的是
A. 是共線的充分不必要條件
B. 若共線,則
C. 三點(diǎn)不共線,對(duì)空間中任意一點(diǎn),若,則四點(diǎn)共面 D. 若為空間四點(diǎn),且有,則是三點(diǎn)共線的充要條件
10.已知直線,圓,則下列結(jié)論正確的是
A. 直線恒過(guò)定點(diǎn)
B. 直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)
C. 直線與圓的相交弦長(zhǎng)的最大值為
D. 當(dāng)時(shí),圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱
11.設(shè)橢圓的方程為,斜率為的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),而且與橢圓相交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是
A. 直線與垂直
B. 若點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線方程為
C. 若直線方程為,則點(diǎn)坐標(biāo)為
D. 若直線方程為,則
三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.
過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,則直線的斜率為________.
已知.若四點(diǎn)共面,則實(shí)數(shù)_______.
已知橢圓,的上頂點(diǎn)為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,離心率為,過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn),,則的周長(zhǎng)是________.
四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）如圖所示,在正四棱柱中,已知分別為上的點(diǎn),且.
（1）求證：;
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
16.（15分）已知橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率.
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),,求的面積.
17.（15分）已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓切線,切點(diǎn)分別為
.
當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),求切線方程;
試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò),求出該定點(diǎn)；若不過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
18.（17分）如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,為側(cè)棱上的點(diǎn).
（1）求證：;
（2）若平面,求平面與平面的夾角的大小;
（3）在（2）的條件下,側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得平面.若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.（17分）已知橢圓中,點(diǎn)分別是的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),,且的焦距為.
求的方程和離心率;
過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,求的值.
2024年11月山東師大附中高二階段性測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案
選擇題
三、填空題
或 13. 14.
四、解答題
15.（13分）
（1）證明：以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則
所以.
因?yàn)?所以,又,所以平面.
（平面的法向量為）
（2）解：由（1）知,為平面的一個(gè)法向量,
所以點(diǎn)到平面的距離.
所以點(diǎn)到平面的距離.
（15分）
解：（1）將代入橢圓方程可得,即.因?yàn)?所以,代入上式可得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由題可得,設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立,得,
設(shè),則,
則,
所以
,
解得,所以,
則的面積.
（15分）
解：（1）當(dāng)時(shí),的長(zhǎng)最小,根據(jù)兩直線垂直斜率之積等于,可得直線的斜率為；
此時(shí)可得直線的方程為,
聯(lián)立,得交點(diǎn),
當(dāng)切線斜率不存在時(shí),切線方程為,符合題意；
當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為,則有,解得,所以切線方程為,
綜上所述,切線方程為和.
（2）由點(diǎn)在直線上,可設(shè)為,又設(shè),則由都與圓相切,得的方程分別為,
又點(diǎn)在直線上,故,
即可知直線的方程為,即.
令,得,即直線恒過(guò)點(diǎn).
（17分）
證明：連接,交于點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅问钦叫?所以,又因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以平面,因?yàn)槠矫?所以.
法一：因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,
又由（1）知平面,所以平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)底面邊長(zhǎng)為,則,于是
,
平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,
設(shè)所求角為,則.所以平面與平面的夾角的大小為.
法二：由（1）知平面,所以,所以是平面與平面的夾角,因?yàn)槠矫?平面,所以,設(shè),
所以.
因?yàn)闉殇J角,所以,所以平面與平面的夾角的大小為.
存在,,理由如下：
由（2）知是平面的一個(gè)法向量,,
設(shè),則,
而,解得,即當(dāng)時(shí),,而平面,所以平面.
（17分）
解：（1）因?yàn)?所以,又焦距為,所以,解得,
所以橢圓的方程為,離心率.
（2）由（1）知,設(shè),且,
所以,
由題意知直線,
代入得,易知,
則,
所以
,
即,
所以,
整理得,解得或,又因?yàn)?所以.
綜上所述,的值為.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
B
A
D
A
C
A
ACD
ABD
BD

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