1．（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？奸_學考試）如圖，在平行四邊形中，連接對角線，交于點E，交于點G．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點C作的垂線，交于點F，交于點H；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）所作的圖形中，求證：．（請補全下面的證明過程）
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴______①______
∵
∴
∵
∴
∵______②______
∴，．
即______③______
∴
∴______④______
∴
∴．
2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？奸_學考試）四邊形為平行四邊形，對角線，交于點O．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點O作的垂線，分別交，于點E，F(xiàn)．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）
(2)在（1）問所作的圖形中，連接，，求證：四邊形為菱形．
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴______①______，，
∴
在和中
∴
∴______③______
∵
∴四邊形AFCE為平行四邊形
∵______④______
∴平行四邊形AFCE為菱形
3．（2023春·重慶北碚·九年級西南大學附中?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，于E．
(1)尺規(guī)作圖：在邊上截取，過點G作對角線的垂線，交于點F．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）
(2)連接，證明．請將下面證明過程補充完整．
證明：∵， ①
∴四邊形是平行四邊形
∴， ②
∴ ③
∵，
∴
在和中
∴
4．（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學校校考開學考試）已知四邊形為菱形，對角線相交于點O，射線；
(1)尺規(guī)作圖：以為一邊，在菱形外部作，射線交射線于點E，連接．（只保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）；
(2)求證：．（請補全下面的證明過程）
證明：∵，
∴ ① ，
又∵，即
∴四邊形為 ② ，
又∵四邊形為菱形，
∴ ③ ，
∴
∴ ④ ，
∴
5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考期末）如圖，在四邊形中，，連接，，且．
(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：過點作的角平分線交于點，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法和結論）
(2)在（1）所作圖形中，若，求證：四邊形為矩形．
（補全證明過程）
證明：∵ ① ，
∴，
在和中，
∴
∴ ② ，
∵，平分，
∴ ③ ，且
∴，，
又∵
∴ ④ ．
∵，
∴平行四邊形為矩形．
6．（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，連接對角線，平分分別交、于點、．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點，交的于點．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）問的條件下，求證：．
證明：四邊形是平行四邊形
∴， ①
∴，
∵平分，平分，
∴ ② ，，
∵四邊形為平行四邊形，
∴ ③
∴，
在△ABF和△CDG中，
，
∴．
∴
7．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期末）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出的角平分線DE，交BC于點E；在線段AD上截取，連接EF；
(2)在（1）所作圖中，請證明四邊形CDFE是菱形．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴______，
∴，
∵DE平分，
∴
∴______
∴______，
∵，
∴，
而，
∴四邊形CDFE為______
∵，
∴四邊形CDFE為菱形．
8．（2023秋·重慶北碚·九年級西南大學附中?？计谀┤鐖D．四邊形是平行四邊形．
(1)尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出的角平分線，交于點E；在線段上截取，連接；
(2)在（1）所作圖中，請證明四邊形是菱形．
∵四邊形為平行四邊形，
∴____________，
∴，
∵平分，
∴
∴______
∴______，
∵，
∴，
而，
∴四邊形為菱形．
9．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，在中，，，射線；
(1)在原圖上用尺規(guī)完成以下基本作圖：在射線上截取線段，使，連接；作的平分線交于點.（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)小明在（1）所作的圖形中，連接后發(fā)現(xiàn)，并給出了以下證明，請你將他的證明過程補充完整：
證明：∵在中，，
∴，
∵______①
∴
∵，
∴四邊形是平行四邊形
∴，，______②
∴
∴
∴
又∵______③
∴為等邊三角形
∴______④
∴
10．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，點在上，連接，．
(1)過點作，垂足為（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法和結論，保留作圖痕跡）；
(2)根據（1）中作圖，求證．
證明：∵四邊形是矩形，
∴，且
∵
∴ ①
∴
∵
∴
在與中

∴ ②
∴
∵，
∴
∴ ③ - ④
∴
11．（2022秋·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習）如圖，在矩形中，是上一點，連接．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在矩形內部作交于點（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）．
(2)在（1）所作的圖形中，求證：四邊形是平行四邊形（請補全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）．
（2）證明：
∵四邊形為矩形
∴，， ①
∵
∴ ②
∴，
∴ ③
即 ④
又∵
∴四邊形是平行四邊形．
12．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在對角線BD上，連接AE．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作，使，CF與對角線BD交于點F，連接AF，CE．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）
(2)根據（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴，___________①___________
∴___________②___________
在與中
∵
∴
∴，___________③___________
∴
即
∴___________④___________
∴四邊形AECF為平行四邊形
13．（2022·重慶·重慶八中?？寄M預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，BA⊥AD，點E是線段AD上的一點，連接BE．
(1)在線段BC上求作一點F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）所作的圖中，證明：四邊形BFDE為平行四邊形的結論．
解：（2）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵BA⊥AD
∴
∴四邊形ABCD是矩形
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC
在ABE和CDF
∴ABE≌CDF（ASA）
∴ ，BE＝DF．
∴AD﹣AE＝CB﹣CF
∴
∴四邊形BFDE為平行四邊形（兩邊分別相等的四邊形為平行四邊形）
14．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，四邊形是矩形，連接交于點O，的平分線交于點E．
(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點F，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)求證：四邊形是平行四邊形．
證明：∵四邊形是矩形
∴，
∴
∵平分，平分
∴
∴
∵在和中

∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形
15．（2022秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，在中，點為邊上的中點，連接．
(1)尺規(guī)作圖：在下方作射線，使得，且射線交的延長線于點（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求證：四邊形是菱形．（請補全下面的證明過程）
證明：∵點為邊上的中點，
∴，在和中，

∴ ______，
∴ ______，
∵，
∴ ______．
∴四邊形是平行四邊形．
又∵______，
∴平行四邊形是菱形．
16．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中AD＞AB．
(1)尺規(guī)作圖：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分線交BC于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）所作圖形中，連接BE，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（請補全下面的證明過程，不寫證明理由）．
證明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四邊形ABCD中，BCAD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
17．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學校考開學考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對角線BD于點E．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對角線BD于點F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請補全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=∠BAD，②___________，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE與△CDF中
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
18．（2022春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中校考階段練習）如圖，在中，是邊的中點．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖，在直線下方作，為與延長線的交點．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，取中點，連接，若，
求證：四邊形是菱形．
證明：
__________
為邊上的中點
為邊上的中點
為的中位線
__________
為中點
四邊形為__________
又為邊上的中點
____________________
四邊形是菱形．
19．（2023秋·重慶大渡口·九年級重慶市第九十五初級中學校?？茧A段練習）如圖，在中，．
(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點；作線段的垂直平分線交AC于點，交于點；連接，（不寫做法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，證明：．
證明：∵GF垂直平分線段，
∴，①
∵平分，
∴② ，
∵在和中
∴，
∴④ ，
∴．
20．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？奸_學考試）如圖，線段是的角平分線．
(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線分別交于點E，O，F(xiàn)；（保留痕跡，不寫作法）
(2)在（1）所作的圖中，連接，求證：四邊形是菱形．（請補全下面的證明過程）
證明：∵是線段的垂直平分線，
∴①______，②_______，
∵，
∴，
∵線段是的角平分線，
∴③________，
∵，
∴④______，
∴⑤______，
∴，
∴四邊形是菱形．

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