(1)求樓房的高度；
(2)在（1）的條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請(qǐng)問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)？
【答案】(1)米；
(2)經(jīng)過(guò)15秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)．
【分析】（1）作，交于，，交于，由題意可知，，米，米，四邊形為矩形，與飛行方向平行，可得，，的長(zhǎng)度， ，求得，進(jìn)而可得樓房的高度；
（2）延長(zhǎng)與飛行方向相交于，由（1）知米，米，可得，則，，易知，求出，再由無(wú)人機(jī)的速度即可得到時(shí)間．
【詳解】（1）解：作，交于，，交于，
由題意可知，，米，米，
則米，
∴米，
∵，，易知四邊形為矩形，與飛行方向平行，
∴，米，，
∴米，
∴米；
（2）延長(zhǎng)與飛行方向相交于，
由（1）知米，米，
∴，
∴，
∴，，
∴米，
∵無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向繼續(xù)勻速向前飛行，
∴無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)的時(shí)間為：秒，
即：經(jīng)過(guò)15秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）2022年8月21日，重慶市北碚區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無(wú)情，人間有愛(ài)，各地消防迅速出動(dòng)，沖鋒在前，共抗險(xiǎn)情．消防員在縉云山山腳A觀(guān)測(cè)到一處著火點(diǎn)D的仰角為30°，然后沿著坡比為的斜坡前進(jìn)104米到達(dá)B處平臺(tái)，繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)C，測(cè)得斜坡CD的坡角為37°，沿斜坡CD前行800米到達(dá)著火點(diǎn)D．
(1)求著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度；
(2)已知消防員在平地的平均速度為4m/s，求消防員通過(guò)平臺(tái)BC的時(shí)間．（保留一位小數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度為米
(2)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)分別作水平線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，分別解，，即可求解；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得，解中，根據(jù)圖形求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)分別作水平線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，
依題意，，，，
在中，，設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
∴,,
在中，，
∴(米)，
即著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度為米；
（2）解：依題意，，
∴，
∵中，，
又,
∴（米），
∵消防員在平地的平均速度為4m/s，
∴消防員通過(guò)平臺(tái)BC的時(shí)間為（秒）．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)試題）如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌，小華準(zhǔn)備利用所學(xué)的在角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該建筑的高度．由于場(chǎng)地有限，不便測(cè)量，所以小華從點(diǎn)A處滑坡度為的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P處，測(cè)得廣告牌底部C的仰角為45°，廣告牌頂部B的仰角為53°，小華的身高忽略不計(jì)，已知廣告牌米．（參考數(shù)據(jù)：，，）
(1)求P處距離水平地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
【答案】(1)
(2)67m
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作于H，根據(jù)坡比設(shè)，，用勾股定理求得，求解得出即可．
（2）過(guò)點(diǎn)P作于G，先證四邊形為矩形，得，在利用三角形函數(shù)解可得的長(zhǎng)，從而得解．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P作于H，
∵，
∴設(shè)，，
∴，
∵從點(diǎn)A處滑坡度為的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P處，
∴，
∴，
∴．
（2）解：過(guò)點(diǎn)P作于G，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
在中，，，
∴，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角與坡比問(wèn)題，熟練掌握仰角與坡比的定義，勾股定理，三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
4．（重慶市沙坪壩區(qū)南開(kāi)中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在一場(chǎng)足球比賽中，進(jìn)攻方甲隊(duì)三名球員、、，與乙隊(duì)的防守球員的位置如圖所示．此時(shí)足球在球員腳下，他想將球繞過(guò)對(duì)手傳至隊(duì)友處，再由經(jīng)線(xiàn)路回傳給隊(duì)友．已知對(duì)手在的北偏東60°方向，米．球員在對(duì)手的正東方向，米．球員在隊(duì)友的正北方向，且在隊(duì)友的北偏東37°方向．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
(1)求傳球線(xiàn)路的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）；
(2)根據(jù)對(duì)手的跑動(dòng)和攔截范圍估計(jì)，對(duì)手可以破壞掉在點(diǎn)5米范圍內(nèi)的球．球員經(jīng)線(xiàn)路傳球給隊(duì)友的同時(shí)，隊(duì)友沿方向去接球，已知球速為10m/s，球員的平均速度為8m/s．計(jì)算說(shuō)明球員是否能避開(kāi)防守順利接到球？
【答案】(1)12米
(2)無(wú)法攔截
【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為P，證明平行四邊形是矩形，分別求出即可得到結(jié)論；
（2）求出的長(zhǎng)，再進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為P，
，
∴四邊形是平行四邊形
∴平行四邊形是矩形
，米，
，
，
米
米
米
米，
米
答：的長(zhǎng)為12米
（2）設(shè)點(diǎn)C與球相遇于點(diǎn)E，連接，設(shè)后C與球相遇，則：
解得，，
所以，米，米，
∵
∴大于5，
故無(wú)法攔截
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解此題的關(guān)鍵是將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．
5．（重慶市九龍坡區(qū)育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，為學(xué)校旁邊一座小山的截面圖．已知是水平線(xiàn)，經(jīng)測(cè)量米，、、是斜坡，斜坡的坡角為，坡長(zhǎng)為米，，斜坡的坡比為，過(guò)點(diǎn)作垂足為．（參考數(shù)據(jù)：）
(1)求坡頂?shù)剿骄€(xiàn)的距離；
(2)某徒步愛(ài)好者小明沿著這個(gè)截面按照的路線(xiàn)走完全程，求小明所走的總路程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，在中，，，設(shè)，，根據(jù)，進(jìn)而得出；
（2）過(guò)作于，于，中，，，設(shè)，，則，得出，中，得出，得出，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：垂足為，斜坡的坡角為，坡長(zhǎng)為米
，，
中，，
設(shè)，
；
解得：，
，
答：坡頂?shù)剿矫娴木嚯x為．
（2）過(guò)作于，于
，
，
，
，
中，，，
設(shè)，，則，
，，，
，
四邊形是矩形，
，，
斜坡的坡比為，
中，，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
答：小明所走的總路程是．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6．（2022年重慶市第一中學(xué)校九年級(jí)下學(xué)期階段性消化作業(yè)（四）（一診）數(shù)學(xué)試題）3月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線(xiàn)通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)在處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn)．
(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在處北偏西15°方向300米的處，露出一片礁石，求、兩地的距離；（精確到1米）
(2)為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)265米
(2)會(huì)影響，長(zhǎng)度為100米，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，根據(jù)方位角求得，解，即可求解；
（2）根據(jù)題意，設(shè)，勾股定理求得，即可求解．
【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，
根據(jù)題意可得，
，
中，米，
米，米，
米，
米，
中，米；
（2）會(huì)影響，長(zhǎng)度為100米，理由如下，
米，
中，米，
，
該條航道被這片淺灘區(qū)域影響，
根據(jù)題意，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，
設(shè)米，
中，米，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得被影響的航道長(zhǎng)度為100米．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，理解題意構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
7．（重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖是某景區(qū)的觀(guān)光扶梯建設(shè)示意圖．起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3∶2的扶梯，扶梯總長(zhǎng)為米．但這樣坡度大陡，扶梯太長(zhǎng)容易引發(fā)安全事故．工程師修改方案：修建兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯和平臺(tái)形成的為135°，從E點(diǎn)看D點(diǎn)的仰角為30°，段扶梯長(zhǎng)20米．（參考數(shù)據(jù)：，）
(1)求點(diǎn)A到的距離．
(2)段扶梯長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）
【答案】(1)30米
(2)
【分析】（1）作于H，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（2）延長(zhǎng)交于N，作于G，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)30°角的函數(shù)值求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，作于H，
∵扶梯的坡度為3∶2，
∴設(shè)，
∵，
∴，即，
∴解得（舍去），
∴米，
∴點(diǎn)A到的距離為30米；
（2）延長(zhǎng)交于N，作于G，如圖所示：
∵
∴
在中，，
∴
∵
∴
∵四邊形是矩形
∴
在中，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并正確作出輔助線(xiàn)．
8．（重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向的點(diǎn)處，它沿著點(diǎn)的南偏東的方向航行千米到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏東．
(1)求此時(shí)漁船距離直線(xiàn)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
(2)漁船到達(dá)點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行一段時(shí)間后，到達(dá)點(diǎn)等待補(bǔ)給，此時(shí)漁船在點(diǎn)的南偏東的方向．在漁船到達(dá)點(diǎn)的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)千米的速度前往處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能在分鐘內(nèi)到達(dá)點(diǎn)嗎？
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)漁船距離直線(xiàn)的距離為千米
(2)能，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意得出是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)（1）得出是等腰直角三角形，根據(jù)題意得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得的長(zhǎng)，然后計(jì)算出補(bǔ)給船分鐘的路程，比較即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
依題意，，，
∴，
在中，，
即漁船距離直線(xiàn)的距離為千米；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
依題意，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)千米的速度前往處，
分鐘小時(shí)，，
∵，
∴補(bǔ)給船能在分鐘內(nèi)到達(dá)點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方位角的計(jì)算，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東方向上的B處．
(1)問(wèn)B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）
(2)假設(shè)有一圓形暗礁區(qū)域，它的圓心位于射線(xiàn)上，距離燈塔150海里的點(diǎn)O處．圓形暗礁區(qū)域的半徑為60海里，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域，就有觸礁的危險(xiǎn)．
①請(qǐng)判斷海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由．
②如果海倫從B處繼續(xù)向正北方向航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)海里
(2)①海輪到達(dá)處沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析；②海輪從處繼續(xù)向正北方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）過(guò)作交于點(diǎn)，求出，得海里，再證明是等腰直角三角形，得海里即可；
（2）①求出的長(zhǎng)，即可；②過(guò)點(diǎn)作交于，求出的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
由題意可知，海里，，．
．
（海里），
在中，，
是等腰直角三角形，
（海里）（海里）．
答：處距離燈塔約海里．
（2）解：①海輪到達(dá)處沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由如下：
由題意知：海里，海里，
海里海里海里，
海輪到達(dá)處沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．
②海輪從處繼續(xù)向正北方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)，理由如下：
過(guò)點(diǎn)作交于，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，
則，
，
，
海輪從處繼續(xù)向正北方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形求解．
10．（重慶市萬(wàn)州區(qū)第二高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計(jì)劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示（圖中地面AD與通道BC平行，通道水平寬度BC為8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的長(zhǎng)為6米，通道斜面AB的坡度i=1：．
（1）求通道斜面AB的長(zhǎng)；
（2）為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計(jì)圖中的通道斜面CD的坡度變緩，修改后的通道斜面DE的坡角為30°，求此時(shí)BE的長(zhǎng)．
（答案均精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈2.24，≈2.45）
【答案】（1）通道斜面AB的長(zhǎng)約為7.4米；（2）BE的長(zhǎng)約為4.9米．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，再根據(jù)∠BCD=135°，通道斜面CD的長(zhǎng)為6米，就可以得出通道的高度DM，AN=DM，再根據(jù)通道斜面AB的坡度i=1：，就可以求出通道斜面AB的長(zhǎng)；（2）修改后的通道斜面DE的坡角為30°和DM高度可以求出EM長(zhǎng)度，EC=EM-CM，BE=BC-EC即可得出答案
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCM=45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，
∴DM=CM=CD=3，
∴AN=DM=3，
∵通道斜面AB的坡度i=1：，
∴tan∠ABN==，
∴BN=AN=6，
∴AB==3≈7.4．
即通道斜面AB的長(zhǎng)約為7.4米；
（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3，
∴EM=DM=3，
∴EC=EM﹣CM=3﹣3，
∴BE=BC﹣EC=8﹣（3﹣3）=8+3﹣3≈4.9．
即此時(shí)BE的長(zhǎng)約為4.9米．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際問(wèn)題中三角形知識(shí)的應(yīng)用，主要考查已知角和邊的情況求其它三角形的邊角情況.
11．（重慶市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，某火車(chē)站位于東西方向火車(chē)軌道上，小區(qū)在火車(chē)站的西北方向400米處，小區(qū)在火車(chē)站的北偏東15°方向上，小區(qū)在小區(qū)的北偏東60°方向上．
(1)求火車(chē)站與小區(qū)之間的距離（精確到1米）；
(2)火車(chē)在行駛過(guò)程中，周?chē)?00米內(nèi)都能聽(tīng)到它發(fā)出的噪聲，深夜更加明顯，一列火車(chē)從火車(chē)站向西行駛，火車(chē)發(fā)出的噪聲會(huì)影響小區(qū)的住戶(hù)嗎？如果受到影響，需要在軌道旁安裝降噪裝置，請(qǐng)求出需安裝降噪裝置的軌道長(zhǎng)度；如果不受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：，）．
【答案】(1)546米
(2)受影響，安裝降噪裝置的軌道長(zhǎng)度200米
【分析】（1）根據(jù)題意，得過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，得到根據(jù)米，求得米，米，結(jié)合計(jì)算即可．
（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，得到，根據(jù)米，求得米，小于300米，判定受到影響，以300米為腰長(zhǎng)，以為高構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算米，根據(jù)三線(xiàn)合一性質(zhì)，得到米 ．
【詳解】（1）如圖，根據(jù)題意，得
所以
過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，
所以
所以，
因?yàn)槊祝?br>所以米，米，
所以（米）．
（2）受到影響，理由如下：
過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，
所以，
因?yàn)槊祝?br>所以米，小于300米，
所以小區(qū)B受到影響，
以300米為腰長(zhǎng)，以為高構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算米，根據(jù)三線(xiàn)合一性質(zhì)，
所以米 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了解斜三角形，解直角三角形的應(yīng)用，判定是否受影響，熟練掌握化斜為直的基本輔助線(xiàn)，正確判定是否受到影響是解題的關(guān)鍵．
12．（重慶市沙坪壩區(qū)第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，一貨船從港口A出發(fā)，以40海里/小時(shí)的速度向正北方向航行，經(jīng)過(guò)1小時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得小島C在B的東北方向，且在點(diǎn)A的北偏東方向．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
(1)求的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；
(2)由于貨船在B處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時(shí)的速度沿趕往小島C維修，同時(shí)向維修站D發(fā)出信號(hào)，在D處的維修船接到通知后立即準(zhǔn)備維修材料，之后以50海里/小時(shí)的速度沿前往小島C，已知D在A的正東方向上，C在D的北偏西方向，通知時(shí)間和維修船準(zhǔn)備材料時(shí)間一共6分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明維修船能否在貨船之前到達(dá)小島C．
【答案】(1)的距離為77海里
(2)維修船能在貨船之前到達(dá)小島C
【分析】（1）過(guò)C作交延長(zhǎng)線(xiàn)于M，由題意可得，設(shè)，則，通過(guò)勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行列方程求解即可；
（2）結(jié)合三角函數(shù)和平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行求解并比較即可得到解答．
【詳解】（1）過(guò)C作交延長(zhǎng)線(xiàn)于M，
由題意得，海里，
由題意得，在中，，
∴，
設(shè) ，則，
在中，，
∴，
解得，
∴海里，
在中，，
∴海里；
（2）∵海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
貨船從B到C用時(shí)：（小時(shí)），
∵6分鐘小時(shí)，
∴（小時(shí)）
∴（海里），
∵（海里），
∴能在貨船之前到達(dá)小島C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合、勾股定理的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用和平行線(xiàn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．
13．（2022年重慶市第八中學(xué)校中考全真模擬考試強(qiáng)化訓(xùn)練（四）數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島千米的點(diǎn)處，它沿著點(diǎn)的南偏東的方向航行．
(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島最近（結(jié)果保留根號(hào)）？
(2)漁船到達(dá)距離小島最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少．（結(jié)果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)）
【答案】(1)；
(2)從處沿南偏東出發(fā)，最短行程．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則為所求，根據(jù)已知條件得到即可解答；
（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值得到，從而求出的長(zhǎng)度，再求出的度數(shù)，即可得到的度數(shù)．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，
∵垂線(xiàn)段最短，上的點(diǎn)距離點(diǎn)最近，即為所求，
由題意可知：，，
∴，
∴漁船航行時(shí)，距離小島最近．
（2）解：在中，，
，，
，
∵，，
，
．
答：從處沿南偏東出發(fā)，最短行程．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．
14．（重慶市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C處，烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽(yáng)帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn)，15分鐘后，他們?cè)谟慰椭行腁的北偏西37°方向的點(diǎn)D處相遇．
(1)求媽媽步行的速度；
(2)求明明從C處到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】(1)；
(2)1.37km．
【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)求出BD的長(zhǎng)，即路程，則速度=路程÷時(shí)間，代入計(jì)算即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，設(shè)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，得矩形BEFD，可得，表示出DF，CF，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】（1）根據(jù)題意可知：，
∴，
∴，
答：媽媽步行的速度為；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
∵，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE=CE，
設(shè)，
過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，得矩形BEFD，
∴，，
∴，
在Rt△CDF中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明從C處到D處的距離約為1.37km．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，掌握方向角定義．
15．（重慶市大渡口區(qū)第九十五初級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）“五一”節(jié)期間，許多露營(yíng)愛(ài)好者在我市郊區(qū)露營(yíng)，為遮陽(yáng)和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹(shù)干上的點(diǎn)處，使得，，在一條直線(xiàn)上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)的高度可控制“天幕”的開(kāi)合，m，m．
(1)天晴時(shí)打開(kāi)“天幕”，若，求遮陽(yáng)寬度（結(jié)果精確到0.1m）；
(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，從65°減少到45°，求點(diǎn)下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)遮陽(yáng)寬度約為
(2)點(diǎn)下降的高度約為
【分析】（1）在中，利用正弦可得的長(zhǎng)，由此即可得；
（2）設(shè)點(diǎn)下降到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再分別解直角三角形可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)線(xiàn)段和差即可得．
【詳解】（1）解：由題意得：是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
，
，，
，
，
答：遮陽(yáng)寬度約為．
（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)下降到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則四邊形和四邊形都是矩形，
，
，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則，
答：點(diǎn)下降的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、軸對(duì)稱(chēng)圖形、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．
16．（2022年重慶市沙坪壩區(qū)初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如圖，某社區(qū)公園內(nèi)有A，B，C，D四個(gè)休息座椅，并建有一條從的四邊形循環(huán)健身步道．經(jīng)測(cè)量知，，，，步道AB長(zhǎng)40米，步道CD長(zhǎng)20米．（A，B，C，D在同一平面內(nèi)，步道寬度忽略不計(jì)．結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）
(1)求步道BC的長(zhǎng)；
(2)公園管理處準(zhǔn)備將四邊形ABCD的內(nèi)部區(qū)域全部改建成兒童活動(dòng)區(qū)，經(jīng)調(diào)研，改建兒童活動(dòng)區(qū)成本為每平方米200元．社區(qū)公園目前可用資金為18萬(wàn)元，計(jì)算此次改建費(fèi)用是否足夠？
【答案】(1)步道BC的長(zhǎng)為24米；
(2)此次改建費(fèi)用足夠．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，垂足為G，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，根據(jù)題意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，BE的長(zhǎng)，再在Rt△GCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG，DG的長(zhǎng)，從而求出BF的長(zhǎng)，最后在Rt△CBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，即可解答；
（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+梯形BEGC的面積+△CGD的面積，進(jìn)行計(jì)算即可求出四邊形ABCD的面積，然后再求出此次改建費(fèi)用，進(jìn)行比較即可解答．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)C作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G．
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在矩形CGEF中，，
∴，
在，，且，
∴．
∴，
∴．
答：步道BC的長(zhǎng)為24米．
（2）在中1，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴
，
∴總共花費(fèi)：，
∵，
答：此次改建費(fèi)用足夠．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
17．（重慶市重慶市沙坪壩區(qū)第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)自主學(xué)習(xí)檢查數(shù)學(xué)試題）夜晚， 小明站在兩路燈之間的點(diǎn) 處， 小明身高， 如圖， 若，他在路燈下的影子為，在路燈下的影子為．
(1)若，，求路燈的高度?
(2)若和的高度都恰好等于（1）中的高度，小明在兩路燈 之間行走（不包括點(diǎn)，點(diǎn)），則線(xiàn)段的長(zhǎng)是否為定值? 若是， 請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）由題可知，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到，從而可求出的長(zhǎng)度；
（2）由題可知，，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到，，結(jié)合邊的關(guān)系整理得到，結(jié)合 ，推出，從而得解．
【詳解】（1）解：由題可知，，
則，
∵，，，
∴，，
又∵，
故，
解得；
（2）解：線(xiàn)段的長(zhǎng)是定值為，理由如下，
由題可知，，
∴，，
，，
∵，,
∴，
化簡(jiǎn)得，
∵，，，
∴，
解得，
故線(xiàn)段的長(zhǎng)是定值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，采用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．
18．（2022年重慶市九龍坡區(qū)六校九年級(jí)下學(xué)期階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在一筆直的海岸線(xiàn)上有，兩個(gè)觀(guān)測(cè)站，在的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)處，從處測(cè)得漁船在北偏西的方向，從處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．
(1)求觀(guān)測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；
(2)漁船從點(diǎn)處沿射線(xiàn)的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從測(cè)得漁船在北偏西的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)觀(guān)測(cè)站A，B之間的距離為（+）海里
(2)可以在82分鐘內(nèi)到達(dá)C處
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長(zhǎng)，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長(zhǎng)，然后根據(jù)BD＋AD＝AB，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．先解Rt△ABF，得出BF的長(zhǎng)，再解Rt△BCF，得出BC的長(zhǎng)，從而求解．
【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴．
在Rt△PBD中，，
∴．
∴PD=海里．
∴∠BPD=90°-∠PBD=45°．
∴BD=PD=海里．
在Rt△ADP中，，
∴．
海里．
∴AB=AD+BD=（+）海里．
答：觀(guān)測(cè)站A，B之間的距離為（+）海里；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．∠BFC=∠BFA=90°．
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=（）海里．
由題意，．
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°．
在Rt△BCF中，，
∴BC=BF=（）海里．
補(bǔ)給船從B到C的航行時(shí)間為：分鐘．
∴可以在82分鐘內(nèi)到達(dá)C處.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，難度適中．通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2022年重慶市巴南區(qū)重點(diǎn)中學(xué)指標(biāo)到?？荚嚁?shù)學(xué)試題）4月重慶市巴南區(qū)某景區(qū)紅楓爛漫，迎來(lái)大量游客觀(guān)賞，為了落實(shí)防疫要求，景區(qū)計(jì)劃在西門(mén)A和東門(mén)B之間修建一條筆直的專(zhuān)用通道（其中B在A的正東方向上）．已知通道的一側(cè)有一個(gè)半徑為800米的圓形湖泊，湖泊正中央是多彩噴泉C，在通道上的有個(gè)觀(guān)景臺(tái)M，經(jīng)測(cè)得噴泉C在觀(guān)景臺(tái)M的北偏東方向上，從觀(guān)景臺(tái)M向東走300米到達(dá)涼亭N處，此時(shí)測(cè)得噴泉C正好在涼亭N的東北方向上．（參考數(shù)據(jù)：）
(1)求觀(guān)景臺(tái)M與多彩噴泉C之間的距離是多少米？
(2)為了不破壞湖泊，修建的通道是否需要改變線(xiàn)路？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)1495.48米；
(2)修建的通道AB不需要改造．見(jiàn)詳解．
【分析】（1）過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D，由于CD是△CDN與△CDM的公共直角邊，可用CD表示出MD，ND，然后根據(jù)MN的長(zhǎng)，求出CD，MC的長(zhǎng)即可求解；
（2）比較CD的長(zhǎng)與800米即可求解．
【詳解】（1）解： 如圖，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D，
由題可知：∠CND=45°，∠CMD=90°-53°=37°．
設(shè)CD=x千米，，
則MD=， ，
則，
∵M(jìn)N=300米，
∴MD-ND=MN，即，
∴，
解得 x=900．
，
，
答：觀(guān)景臺(tái)M與多彩噴泉C之間的距離是1495.48米
（2）解：修建的通道AB不需要改造．理由如下：
于D，
的長(zhǎng)就是點(diǎn)C到AB的最近距離，
由（1）知，CD=900米＞800米，
∴修建通道AB不需要改造．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．解直角三角形的應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，如果有共用直角邊的，可以利用公共邊來(lái)進(jìn)行求解．
20．（重慶市沙坪壩區(qū)南開(kāi)中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖1，在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂(lè)小鎮(zhèn)，有一座號(hào)稱(chēng)“山城之光”的摩天輪建在山體上．如圖2，小北在山體底部A處測(cè)得摩天輪頂端D的仰角為52°，然后乘坐扶梯到達(dá)山體平臺(tái)B處，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于點(diǎn)C（A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一平面內(nèi)，AE∥BF）．
(1)求平臺(tái)上點(diǎn)B到山體底部地面AE的距離；
(2)求摩天輪頂端D到山體平臺(tái)BF的距離CD的長(zhǎng)．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3）
【答案】(1)米
(2)100米
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)AB坡度，且米，設(shè)，則，進(jìn)而求得，即可求得，進(jìn)而求得；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，解直角三角形,進(jìn)而即可求得,
【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，
AB坡度，且米，
設(shè)，則，
米，米
米
即平臺(tái)上點(diǎn)B到山體底部底面AE的距離為48米；
（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
,，
四邊形是矩形
則米，米，
在山體底部A處測(cè)得摩天輪頂端D的仰角為52°，
即，
在中，米
米
即摩天輪頂端D到山體平臺(tái)BF的距離CD的長(zhǎng)為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．

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(天津?qū)Ｓ?中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類(lèi)訓(xùn)練專(zhuān)題06 統(tǒng)計(jì)(2份，原卷版+解析版）：

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