2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（一模）含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．（4分）不等式2x?1x?1＜0的解集為．
3．（4分）直線3x﹣y+1＝0的傾斜角為．（用反三角函數(shù)表示）
4．（4分）已知正數(shù)a，b滿足ab＝1，則1a+1b的最小值為．
5．（4分）已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側(cè)面積為．
6．（4分）(x+1x)8的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x4項(xiàng)的系數(shù)為．
7．（5分）已知函數(shù)y=lg2x，x＞0，f(x)，x＜0為奇函數(shù)，則f（﹣8）＝．
8．（5分）從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為．
9．（5分）已知f（n）＝in+1+in+2+in+3+in+4+in+5（i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)），當(dāng)n1、n2取遍所有正整數(shù)時(shí)，f（n1）+f（n2）的值中不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為．
10．（5分）已知F1、F2分別為橢圓x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AF1→?AF2→=0，則AF2→?BF2→= ．
11．（5分）如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域ABCD，其中AB＝40米，AD＝20米，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，左右兩個(gè)扇形區(qū)域?yàn)榛▔▋蓚€(gè)扇形的圓心分別為A、B，半徑均為20米），其余區(qū)域?yàn)椴萜海F(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個(gè)三角形的兒童游樂(lè)區(qū)，且三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在線段CD上，則該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）
12．（5分）已知f（x）＝|sinωx|，若存在x1、x2∈[ωπ，2ωπ]，且x1≠x2，使得1f(x1)+1+1f(x2)+1=1成立，則ω的取值范圍是．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。
13．（4分）在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（）
A．充分非必要條件
B．必要非充分條件
C．充要條件
D．既非充分又非必要條件
14．（4分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)的為（）
A．y=x12B．y=1x2+1C．y＝2xD．y＝lg|x|
15．（5分）設(shè)f（x）＝（sinx﹣csx）（csx﹣tanx）（tanx﹣sinx），若α、β為同一象限的角，且不存在α、β，使得f（α）f（β）＜0，則α、β所在的象限為（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
16．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|，其中λ為常數(shù)．對(duì)于下述兩個(gè)命題：
①對(duì)于任意的λ＞0，任意的a1∈R，都有{an}是嚴(yán)格增數(shù)列；
②對(duì)于任意的λ＜0，存在a1∈R，使得{an}是嚴(yán)格減數(shù)列．
以下說(shuō)法正確的為（）
A．①真命題；②假命題B．①假命題；②真命題
C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟。
17．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，連接A1C，M、E分別為A1C和BC的中點(diǎn)．
（1）證明：直線EM∥平面A1ABB1；
（2）求二面角A1﹣BC﹣A的大小．
18．（14分）已知f（x）=x2?ax，x≥0，x+1x，x＜0.
（1）若a＝1，求函數(shù)y＝f（x）的值域；
（2）若存在φ∈（0，π4），使得f（sinφ）＝f（csφ），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（14分）為了解某市高三學(xué)生的睡眠時(shí)長(zhǎng)，從該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中隨機(jī)抽取600人，統(tǒng)計(jì)他們的日均睡眠時(shí)長(zhǎng)及分布人數(shù)如下表所示：
注：睡眠時(shí)長(zhǎng)在[8，10]的為睡眠充足，在[6，8）的為睡眠良好，在[4，6）的為睡眠不足．
（1）估計(jì)該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為多少？
（2）估計(jì)該市高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)；
（3）若從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率．
20．（18分）已知圓O：x2+y2＝1，雙曲線Γ：x2?y2b2=1，直線l：y＝kx+b，其中k∈R，b＞0．
（1）當(dāng)b＝2時(shí)，求雙曲線Γ的離心率；
（2）若l與圓O相切，證明：l與雙曲線Γ的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）設(shè)l與y軸交于點(diǎn)P，與圓O交于點(diǎn)A、B，與雙曲線Γ的左右兩支分別交于點(diǎn)C、D，四個(gè)點(diǎn)從左至右依次為C、A、B、D．當(dāng)k=22時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得PA→?PC→=PB→?PD→成立？若存在，求出b的值；若不存在，說(shuō)明理由．
21．（18分）設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽，集合M＝{x|f（x）＝a，x∈R}．若M中有且僅有一個(gè)元素，則稱a為函數(shù)y＝f（x）的一個(gè)“S值”．
（1）設(shè)f（x）＝x2﹣2x，求y＝f（x）的S值；
（2）g（x）＝3x4﹣（4k+4）x3+6kx2+1，且0＜k≤1，若y＝g（x）的函數(shù)值中不存在S值，求實(shí)數(shù)k取值的集合；
（3）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝h（x）的圖像是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)y＝h（x）的所有函數(shù)值均為S值，若m＜n，證明：y＝h（x）在[m，n]上為嚴(yán)格增函數(shù)的一個(gè)充要條件是h（m）＜h（n）．
答案與試題解析
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果。
1．（4分）設(shè)集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝ {1，2} ．
【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．
解：集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x＜3}，
則A∩B＝{1，2}．
故{1，2}．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）不等式2x?1x?1＜0的解集為 {x|12＜x＜1} ．
【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可求解．
解：由2x?1x?1＜0可得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，
解得12＜x＜1．
故{x|12＜x＜1}．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）直線3x﹣y+1＝0的傾斜角為 arctan3 ．（用反三角函數(shù)表示）
【分析】由直線的方程可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角的大?。?br>解：直線3x﹣y+1＝0的斜率為3，
所以直線的傾斜角為arctan3．
故arctan3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知正數(shù)a，b滿足ab＝1，則1a+1b的最小值為 2 ．
【分析】利用基本不等式即可得出．
解：∵正數(shù)a，b滿足ab＝1，
∴1a+1b=a+bab=a+b≥2ab=2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．
∴1a+1b的最小值為2．
故2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側(cè)面積為 60π ．
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．
解：因?yàn)閳A錐的高為8，底面半徑為6，
所以圓錐的母線長(zhǎng)為82+62=10，
所以該圓錐的側(cè)面積為π×6×10＝60π．
故60π．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）(x+1x)8的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x4項(xiàng)的系數(shù)為 28 ．
【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．
解：(x+1x)8的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為C8rx8﹣2r，r＝0，1，2…，8．
令8﹣2r＝4，解得r＝2，
則x4項(xiàng)的系數(shù)為C82=28．
故28．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知函數(shù)y=lg2x，x＞0，f(x)，x＜0為奇函數(shù)，則f（﹣8）＝ ﹣3 ．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f（8）的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性計(jì)算可得答案．
解：根據(jù)題意，函數(shù)y=lg2x，x＞0，f(x)，x＜0為奇函數(shù)，
則f（8）＝lg28＝3，
又由f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣3．
故﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為 144 ．
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．
解：從10名老師中選出3人安排值班，其中甲老師必須參加且不能安排在第一天，
首先，甲老師有2種選擇（第二天或第三天），
然后，從剩下的9名老師中選出2人安排在剩余的兩天，共有A92=9×8=72種方法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的安排方法數(shù)為2×72＝144種．
因此，不同的值班安排方法種數(shù)為144．
故144．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）已知f（n）＝in+1+in+2+in+3+in+4+in+5（i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)），當(dāng)n1、n2取遍所有正整數(shù)時(shí)，f（n1）+f（n2）的值中不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為 6 ．
【分析】化簡(jiǎn)f（n），可得f（n）的所有取值，再由復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算得答案．
解：∵f（n）＝in+1+in+2+in+3+in+4+in+5
＝in（i+i2+i3+i4+i5）＝in（i﹣1﹣i+1+i）＝in+1，
∴f（n）∈{﹣1，1，﹣i，i}，
當(dāng)n1、n2取遍所有正整數(shù)時(shí)，f（n1）+f（n2）＝{﹣2，0，2，﹣2i，2i，﹣1﹣i，﹣1+i，1﹣i，1+i}，
其中不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為6．
故6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，是中檔題．
10．（5分）已知F1、F2分別為橢圓x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AF1→?AF2→=0，則AF2→?BF2→= 4 ．
【分析】設(shè)A（x，y），則AF1→=(?2?x，?y)，AF2→=(2?x，?y)，由AF1→?AF2→=0，然后聯(lián)立橢圓的方程即可解得：x=0，y=±2，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解．
解：因?yàn)镕1、F2分別為橢圓x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，
則F1(?2，0)，F(xiàn)2(2，0)，設(shè)A（x，y），
所以AF1→=(?2?x，?y)，AF2→=(2?x，?y)，
因?yàn)锳F1→?AF2→=0，
所以(?2?x)(2?x)+(?y)(?y)=0，
即x2+y2=2，又x24+y22=1，解得：x=0，y=±2，
不妨設(shè)A(0，2)，F(xiàn)2(2，0)，
則AF2→?BF2→=AF2→?(AF2→?AB→)=|AF2→|2?AF2→?AB→=|AF2→|2=4．
故4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)及向量與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
11．（5分）如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域ABCD，其中AB＝40米，AD＝20米，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，左右兩個(gè)扇形區(qū)域?yàn)榛▔▋蓚€(gè)扇形的圓心分別為A、B，半徑均為20米），其余區(qū)域?yàn)椴萜海F(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個(gè)三角形的兒童游樂(lè)區(qū)，且三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在線段CD上，則該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為 137 平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）
【分析】游樂(lè)區(qū)為△PMQ，當(dāng)M在EF上移動(dòng)時(shí)，讓PQ最大，則△PMQ的面積最大，即PM、QM與圓弧相切，
由對(duì)稱性，求出Rt△PMF面積的最大值，即可求解，設(shè)∠MAE＝θ，θ∈[0，π4），由此求出ME，MF，PD，PF，求解即可．
解：游樂(lè)區(qū)為△PMQ，當(dāng)M在EF上移動(dòng)時(shí)，讓PQ最大，則△PMQ的面積最大，即PM、QM與圓弧相切，
由對(duì)稱性知，在Rt△PMF中，設(shè)∠MAE＝θ，θ∈[0，π4），
則ME＝20tanθ，MF＝20﹣20tanθ，PD＝20tan（π4?θ），PF＝20﹣20tan（π4?θ），且S△PMQ＝2S△PMF，
S△PMF=12PF?MF=12（20﹣20tanθ）[20﹣20tan（π4?θ）]＝200（1﹣tanθ）（1?tanπ4?tanθ1+tanπ4tanθ）＝400?tanθ(1?tanθ)1+tanθ，
其中θ∈[0，π4），tanθ∈[0，1）；
設(shè)1+tanθ＝t，則tanθ＝t﹣1，t∈[1，2）；
則S△PMF＝400?(t?1)(2?t)t=?400（t+2t?3），
因?yàn)閠+2t∈[22，3），所以t+2t?3∈[22?3，0）；
所以S△PMF的最大值為﹣400（22?3）＝1200﹣8002，
所以△PMQ的最大值為2400﹣（2=3﹣22）≈137，
即該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為137平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是難題．
12．（5分）已知f（x）＝|sinωx|，若存在x1、x2∈[ωπ，2ωπ]，且x1≠x2，使得1f(x1)+1+1f(x2)+1=1成立，則ω的取值范圍是 [52，62]∪[72，+∞) ．
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式推出f（x1）＝f（x2）＝1，t＝ωx∈[ω2π，2ω2π]，說(shuō)明|sint|＝1至少有兩個(gè)解，通過(guò)推理ω的范圍，推出結(jié)果．
解：f（x）＝|sinωx|，故0≤f（x）≤1，12≤1f(x)+1≤1，1f(x1)+1+1f(x2)+1=1，故f（x1）＝f（x2）＝1，而x∈[ωπ，2ωπ]（ω＞0），t＝ωx∈[ω2π，2ω2π]，故|sint|＝1至少有兩個(gè)解，
①當(dāng)ω2≤32時(shí)，2ω2≥52?52≤ω≤62；
②當(dāng)32≤ω2≤2時(shí)，2ω2≥72?72≤ω≤2；
③當(dāng)ω2≥2?ω≥2時(shí)，顯然成立．
故綜上可得ω∈[52，62]∪[72，+∞)．
故[52，62]∪[72，+∞)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。
13．（4分）在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（）
A．充分非必要條件
B．必要非充分條件
C．充要條件
D．既非充分又非必要條件
【分析】根據(jù)題意，由異面直線的定義和充分必要條件的判斷方法分析可得答案．
解：根據(jù)題意，若a、b為異面直線，則a、b一定不相交，
反之，若a、b不相交，則a、b為異面直線或a∥b，
故“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的定義，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
14．（4分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)的為（）
A．y=x12B．y=1x2+1C．y＝2xD．y＝lg|x|
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案．
解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，y=x12=x，在（0，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于B，y=1x2+1，設(shè)t＝x2+1，則y=1t，
在區(qū)間（0，+∞）上，t＝x2+1為增函數(shù)，而y=1t在（0，+∞）上為減函數(shù)，
則y=1x2+1在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)，符合題意；
對(duì)于C，y＝2x，是指數(shù)函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于D，y＝lg|x|，在（0，+∞）上，y＝lgx，是增函數(shù)，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，注意常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）設(shè)f（x）＝（sinx﹣csx）（csx﹣tanx）（tanx﹣sinx），若α、β為同一象限的角，且不存在α、β，使得f（α）f（β）＜0，則α、β所在的象限為（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】由題意，分類討論，利用三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)即可求解．
解：f（x）＝（sinx﹣csx）（csx﹣tanx）（tanx﹣sinx），
若α、β為同在第一象限，tanx﹣sinx＝|tanx|﹣|sinx|＞0，sinx﹣csx不確定正負(fù)，csx﹣tanx不確定正負(fù)，則f（x）不確定正負(fù)，故錯(cuò)誤；
若α、β為同在第二象限，tanx﹣sinx＝﹣|tanx|﹣|sinx|＜0，sinx﹣csx不確定正負(fù)，csx﹣tanx不確定正負(fù)，則f（x）不確定正負(fù)，故錯(cuò)誤；
若α、β為同在第三象限，tanx﹣sinx＝|tanx|+|sinx|＞0，sinx﹣csx不確定正負(fù)，csx﹣tanx＝﹣|csx|﹣|tanx|＜0，則f（x）不確定正負(fù)，故錯(cuò)誤；
若α、β為同在第四象限，tanx﹣sinx＝﹣|tanx|+|sinx|＜0，sinx﹣csx＝﹣|sinx|﹣|csx|＜0，csx﹣tanx＝|csx|+|tanx|＞0，則一定有f（x）＞0，故正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．
16．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|，其中λ為常數(shù)．對(duì)于下述兩個(gè)命題：
①對(duì)于任意的λ＞0，任意的a1∈R，都有{an}是嚴(yán)格增數(shù)列；
②對(duì)于任意的λ＜0，存在a1∈R，使得{an}是嚴(yán)格減數(shù)列．
以下說(shuō)法正確的為（）
A．①真命題；②假命題B．①假命題；②真命題
C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題
【分析】對(duì)于①，分an＞0和an≤0兩種情況來(lái)證明若λ＞0，則an+1＞an；對(duì)于②，可取反例λ＝﹣1，說(shuō)明此時(shí)不論a1取何值均不能使{an}是嚴(yán)格減數(shù)列．
解：對(duì)于①，當(dāng)λ＞0時(shí)，若an≤0，則an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|＞λ|an﹣1|＝λ（1﹣an）＞0≥an，即an+1＞an，
若an＞0，則an+1＝|an+1|+λ|an﹣1|＞|an+1|＝an+1＞an，
綜上，對(duì)于任意的λ＞0，都有an+1＞an，所以{an}是嚴(yán)格增數(shù)列，①正確；
對(duì)于②，當(dāng)λ＜0時(shí)，取λ＝﹣1，若a1≥1，則a2＝2，a3＝2，不是遞減數(shù)列，
若a1∈[0，1），則a2＝2a1≥a1，不是遞減數(shù)列，
若a1≤﹣1，則a2＝﹣2，a3＝﹣2，不是遞減數(shù)列，
若a1∈（﹣1，0），則a2＝2a1，若a2≤﹣1，則a3＝a4＝﹣2，不是遞減數(shù)列，若a2∈（﹣1，0），則a3＝2a2，
同樣的，對(duì)a3進(jìn)行討論，一直下去，必存在k∈N，使得ak≤﹣1，則ak+1＝ak+2＝﹣2，矛盾，
綜上所述，當(dāng)λ＝﹣1時(shí)，對(duì)任意的a1∈R，{an}都不是是嚴(yán)格減數(shù)列，因此②錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是中檔題．
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟。
17．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，連接A1C，M、E分別為A1C和BC的中點(diǎn)．
（1）證明：直線EM∥平面A1ABB1；
（2）求二面角A1﹣BC﹣A的大?。?br>【分析】（1）先證ME∥A1B，再利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）先證∠A1EA為所求二面角的平面角，再解三角形即可．
解：（1）證明：連接A1B，∵M(jìn)為A1C中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)，∴ME∥A1B，
又∵A1B?平面A1ABB1，ME?平面A1ABB1，
∴EM∥平面A1ABB1；
（2）連接AE，∵AB＝AC，E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，又∵AA1⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，
∴∠A1EA即為所求二面角的平面角，
則tan∠A1EA=A1AAE=32=322∴∠A1EA=arctan322，
∴二面角A1﹣BC﹣A的大小為arctan322．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，以及二面角的計(jì)算，屬于中檔題．
18．（14分）已知f（x）=x2?ax，x≥0，x+1x，x＜0.
（1）若a＝1，求函數(shù)y＝f（x）的值域；
（2）若存在φ∈（0，π4），使得f（sinφ）＝f（csφ），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）代入a＝1，可得f（x）的解析式，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，求值域即可；
（2）分析可得x＝sinφ和x＝csφ關(guān)于直線x=a2對(duì)稱，從而有a＝sinφ+csφ，再結(jié)合輔助角公式與正弦函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．
解：（1）若a＝1，則f（x）=x2?x，x≥0x+1x，x＜0，
當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x+1x在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增，在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，
所以y≤﹣2；
當(dāng)x≥0時(shí)，y＝x2﹣x在[0，12）上單調(diào)遞減，在（12，+∞）上單調(diào)遞增，
所以y≥?14，
綜上，函數(shù)y＝f（x）的值域?yàn)椋ī仭?，?]∪[?14，+∞）．
（2）因?yàn)棣铡剩?，π4），所以sinφ＞0，csφ＞0，
此時(shí)f（x）＝x2﹣ax，是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=a2的二次函數(shù)，
若f（sinφ）＝f（csφ），則x＝sinφ和x＝csφ關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
即sinφ+csφ＝2×a2=a，
所以a＝sinφ+csφ=2sin（φ+π4），
由φ∈（0，π4），知φ+π4∈（π4，π2），
所以sin（φ+π4）∈（22，1），
所以a=2sin（φ+π4）∈（1，2），
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19．（14分）為了解某市高三學(xué)生的睡眠時(shí)長(zhǎng)，從該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中隨機(jī)抽取600人，統(tǒng)計(jì)他們的日均睡眠時(shí)長(zhǎng)及分布人數(shù)如下表所示：
注：睡眠時(shí)長(zhǎng)在[8，10]的為睡眠充足，在[6，8）的為睡眠良好，在[4，6）的為睡眠不足．
（1）估計(jì)該市6.6萬(wàn)名高三學(xué)生中日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為多少？
（2）估計(jì)該市高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)；
（3）若從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率．
【分析】（1）利用樣本估算總體即可；
（2）利用平均數(shù)的定義求解；
（3）利用古典概型的概率公式求解．
解：（1）600名樣本中睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)為450人，頻率為34，
該市所有高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于等于6小時(shí)的人數(shù)約為34×66000=49500人；
（2）先求出各區(qū)間的中點(diǎn)值分別為：5、7、9，
估計(jì)該市所有高三學(xué)生日均睡眠時(shí)長(zhǎng)為150×5+270×7+180×9600=7.1（小時(shí)）；
（3）按照分層抽樣方法，在睡眠充足中抽取的人數(shù)為6人，在睡眠良好中抽取的人數(shù)為9 人，在睡眠不足中抽取的人數(shù)為5人，
再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取4人，可能的情況有C204=4845種，
設(shè)A表示事件“這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生”，
A所包含的樣本點(diǎn)有C51×C91×C62+C51×C61×C92+C91×C61×C52=2295個(gè)，
因此事件A的概率是P（A）=22954845=919．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻數(shù)分布表的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．
20．（18分）已知圓O：x2+y2＝1，雙曲線Γ：x2?y2b2=1，直線l：y＝kx+b，其中k∈R，b＞0．
（1）當(dāng)b＝2時(shí)，求雙曲線Γ的離心率；
（2）若l與圓O相切，證明：l與雙曲線Γ的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）設(shè)l與y軸交于點(diǎn)P，與圓O交于點(diǎn)A、B，與雙曲線Γ的左右兩支分別交于點(diǎn)C、D，四個(gè)點(diǎn)從左至右依次為C、A、B、D．當(dāng)k=22時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得PA→?PC→=PB→?PD→成立？若存在，求出b的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求出a，c即可得解；
（2）因?yàn)橹本€l與圓O相切，可得b2＝k2+1，再聯(lián)立x2?y2b2=1y=kx+b，可得x2﹣2kbx﹣2b2＝0，Δ＝4k2b2+8b2＞0，兩根之積為﹣2b2＜0，由二次方程的兩根一正一負(fù)即可得證；
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）、D（x4，y4），聯(lián)立x2+y2=1y=kx+b，可得x1+x2=?2kb1+k2x1x2=b2?11+k2，聯(lián)立x2?y2b2=1y=kx+b，可得x3+x4=2kbb2?k2x3x4=?2b2b2?k2，由PA→?PC→=PB→?PD→，C、A、B、D四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，可得x1x2=x4x3，x2x1=x3x4，所以x1x2+x2x1=x4x3+x3x4，即x12+x22x1x2=x32+x42x3x4，然后代入化簡(jiǎn)得4b4+b2﹣3＝0即可得解．
解：（1）由題可得，a2＝1，b2＝4，
所以c2＝a2+b2＝5，即c=5，
故雙曲線Γ的離心率e=ca=5；
（2）證明：因?yàn)橹本€l與圓O相切，
所以|b|k2+1=1，即b2＝k2+1，
聯(lián)立x2?y2b2=1y=kx+b，化簡(jiǎn)得（b2﹣k2）x2﹣2kbx﹣2b2＝0，又b2＝k2+1，
即x2﹣2kbx﹣2b2＝0，則Δ＝4k2b2+8b2＞0，
因此有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根之積為﹣2b2＜0，
所以兩根一正一負(fù)，
即l與雙曲線Γ的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）、D（x4，y4），
聯(lián)立x2+y2=1y=kx+b，化簡(jiǎn)得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣1＝0，
則Δ1＝4k2b2﹣4（1+k2）（b2﹣1）＞0，即4b2﹣k2＜1，
所以x1+x2=?2kb1+k2x1x2=b2?11+k2，
聯(lián)立x2?y2b2=1y=kx+b，化簡(jiǎn)得（b2﹣k2）x2﹣2kbx﹣2b2＝0，
則x3+x4=2kbb2?k2x3x4=?2b2b2?k2，
所以Δ2＝4k2b2+8b2（b2﹣k2）＝4b2（2b2﹣k2）＞0，且分別交于左右兩支，
所以2b2?k2＞0b2?k2＞0，
又PA→?PC→=PB→?PD→，C、A、B、D四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，
所以|PA→|?|PC→|=|PB→|?|PD→|，
即|PA||PB|=|PD||PC|，即|x1||x2|=|x4||x3|
所以x1x2=x4x3，還可得x2x1=x3x4，
所以x1x2+x2x1=x4x3+x3x4，即x12+x22x1x2=x32+x42x3x4，
則(x1+x2)2x1x2=(x3+x4)2x3x4，
即(?2kb1+k2)2b2?11+k2=(2kbb2?k2)2?2b2b2?k2，
化簡(jiǎn)得：2b2k2+1=b2?1k2?b2，又k=22，
代入后化簡(jiǎn)可得4b4+b2﹣3＝0，
解得：b=±32，由b＞0，得b=32，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)l與雙曲線Γ的兩支分別有交點(diǎn)，
所以b=32為唯一滿足條件的實(shí)數(shù)b．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于難題．
21．（18分）設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽，集合M＝{x|f（x）＝a，x∈R}．若M中有且僅有一個(gè)元素，則稱a為函數(shù)y＝f（x）的一個(gè)“S值”．
（1）設(shè)f（x）＝x2﹣2x，求y＝f（x）的S值；
（2）g（x）＝3x4﹣（4k+4）x3+6kx2+1，且0＜k≤1，若y＝g（x）的函數(shù)值中不存在S值，求實(shí)數(shù)k取值的集合；
（3）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝h（x）的圖像是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)y＝h（x）的所有函數(shù)值均為S值，若m＜n，證明：y＝h（x）在[m，n]上為嚴(yán)格增函數(shù)的一個(gè)充要條件是h（m）＜h（n）．
【分析】（1）由定義可得方程x2﹣2x＝a有唯一實(shí)數(shù)解，由Δ＝0即可得解；
（2）對(duì)g（x）求導(dǎo)，討論當(dāng)0＜k＜1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意可得及“S值”的定義可得k的值，當(dāng)k＝1時(shí)，存在“S值”，不符合題意，綜合可得答案；
（3）分別從必要性和充分性兩方面證明即可．
解：（1）設(shè)a為函數(shù)y＝f（x）的S值，
則方程x2﹣2x＝a有唯一實(shí)數(shù)解，即x2﹣2x﹣a＝0有唯一解，
由Δ＝4+4a＝0，可得a＝﹣1，∴y＝f（x）的S值為﹣1；
（2）由題意，g'（x）＝12x3﹣（12k+12）x2+12kx＝12x（x﹣1）（x﹣k），
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)y＝g（x）在（﹣∞，0]上嚴(yán)格減，在[0，k]上嚴(yán)格增，在[k，1]上嚴(yán)格減，在[1，+∞）上嚴(yán)格增，
若y＝g（x）的函數(shù)值中不存在S值，則g（0）＝g（1），即1＝2k，解得k=12．
當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)y＝g（x）在（﹣∞，0]上嚴(yán)格減，在[0，+∞）上嚴(yán)格增，顯然g（0）是S值，舍，
因此，實(shí)數(shù)k的取值集合為{12}．
（3）證明：必要性：∵m＜n，y＝h（x）是[m，n]上的嚴(yán)格增函數(shù)，∴h（m）＜h（n）；
充分性：假設(shè)y＝h（x）不是區(qū)間[m，n]上的嚴(yán)格增函數(shù)，
則存在m≤x1＜x2≤n，使得h（x1）≥h（x2），
∵y＝h（x）的所有函數(shù)值均為S值，顯然h（x1）≠h（x2），∴h（x1）＞h（x2）；
①若x1＝m，∵h(yuǎn)（m）＜h（n），即h（x1）＜h（n），又∵h(yuǎn)（x1）＞h（x2），
構(gòu)造函數(shù)H（x）＝h（x）﹣h（x1），則H（x2）＜0，H（n）＞0，且函數(shù)y＝H（x）的圖像是一連續(xù)曲線，
由零點(diǎn)存在性定理得：存在x0∈（x2，n）使得H（x0）＝0，即h（x0）＝h（x1），
這與y＝h（x）所有函數(shù)值都是S值矛盾．
②若m＜x1＜n，
（i）若h（x1）＝h（m），這與y＝h（x）所有函數(shù)值都是S值，矛盾；
（ii）若h（x1）＞h（m）：
a．若h（x2）＞h（m），構(gòu)造函數(shù)H（x）＝h（x）﹣h（x2），
則H（m）＜0，H（x1）＞0且函數(shù)y＝H（x）的圖像是一條連續(xù)曲線，
由零點(diǎn)存在性定理得：存在x0∈（m，x1），使得H（x0）＝0，即h（x0）＝h（x2），
這與y＝h（x）所有函數(shù)值都是S值矛盾．
b．若h（x2）＝h（m），這與y＝h（x）所有函數(shù)值都是S值矛盾．
c．若h（x2）＜h（m），同理可證矛盾．
（iii）若h（x1）＜h（m），同理可證矛盾．
綜上假設(shè)不成立，∴y＝h（x）是[m，n]上的嚴(yán)格增函數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于難題．
睡眠時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）
[4，6）
[6，8）
[8，10]
人數(shù)
150
270
180
題號(hào)
13
14
15
16
答案
A
B
D
A
睡眠時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）
[4，6）
[6，8）
[8，10]
人數(shù)
150
270
180

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多