一、填空題（本大題滿分54分，1-6小題每題4分，7-12小題每題5分）
1. 已知全集，集合，，則______.
【正確答案】
【分析】將集合化簡(jiǎn)，即可得到，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則或x>1，
且，所以.
故
2. 若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為______.
【正確答案】2
【分析】根據(jù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可根據(jù)實(shí)部定義求解.
【詳解】，故實(shí)部為2，
故2
3. 已知，向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是______.
【正確答案】3
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】依題意可知，即，
解得.
故3
4. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，間的距離為3，則實(shí)數(shù)的值是______.
【正確答案】或
【分析】利用空間中兩點(diǎn)間距離公式即可解得.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，間的距離為3，結(jié)合距離公式可得：
，解得或.
故或.
5. 已知二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)和等于64，則______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)展開式各項(xiàng)系數(shù)和等于列出方程，即可求解出的值.
【詳解】因?yàn)檎归_式各項(xiàng)系數(shù)和等于，
所以，解得，
故答案為.
6. 若，則等于______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式直接求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>解得，
故答案為.
7. 若對(duì)任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【正確答案】
【分析】變形可得，利用基本不等式求得的最小值即可.
【詳解】因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，所以，
所以由，可得，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
8. 為了解某年級(jí)學(xué)生的課外學(xué)習(xí)情況，從該年級(jí)名學(xué)生中按分層抽樣，從男生中抽取名，女生中抽取名，則男生甲被抽中且女生乙沒有被抽中的概率為______（用數(shù)字作答）
【正確答案】##
【分析】求出男生甲被抽中的概率、女生乙沒有被抽中的概率，即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)樵跇颖局?，男生占?br>所以該年級(jí)男生總?cè)藬?shù)為：(人)，
所以男生甲被抽中的概率為，
同理可得該年級(jí)女生總?cè)藬?shù)為：(人)，
所以女生乙被抽中的概率為，沒有被抽中的概率為，
所以男生甲被抽中且女生乙沒有被抽中的概率為.
故
9. 已知平面四邊形的四個(gè)內(nèi)角、、、由小到大依次排列恰成公差不為零的等差數(shù)列，，則的取值范圍是______
【正確答案】
【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，并求出范圍，再將表示為公差的函數(shù)，利用單調(diào)性求出值域即可.
【詳解】依題意，設(shè)內(nèi)角、、、所成等差數(shù)列的公差為，
，而，解得，
則，由，得，
因此，
而函數(shù)在上遞減，，即函數(shù)在上都遞減，
則在上遞減，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，于是，
所以的取值范圍是.
故
10. 在平面上，已知兩個(gè)單位向量、的夾角為，向量，其中.則的最大值為______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再結(jié)合基本不等式求解即可.
詳解】由題意，，，，，
則，
因?yàn)?，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即的最大值為.
故答案為.
11. 已知A、、、是半徑為1的球面上的四點(diǎn)，且這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間的距離都相等，則點(diǎn)A到平面的距離為______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意可以補(bǔ)成正方體來研究，再用等體積法計(jì)算距離即可.
【詳解】由于A、B、C、D這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間距離相等，
所以這四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正四面體，可以補(bǔ)成正方體，如圖所示，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體棱長(zhǎng)，
根據(jù)正四面體的外接球與正方體外接球是一樣的，直徑，
則，已知球半徑，則，解得，
先求正四面體的體積，可以看做長(zhǎng)方體體積減去4個(gè)全等的直三棱錐體積，
即，
又可把正四面體底面看作是由四個(gè)全等的等邊三角形三棱錐，
每個(gè)底面積，
由等體積法得，，解得.
故答案為.
12. 定義在R上的奇函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)是，若函數(shù)最小值點(diǎn)為，則函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)遞減區(qū)間為______.
【正確答案】.
【分析】由題意可得是R上偶函數(shù)，令g(x)=y=f'x?lg2x,x>0，則有，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而可得f'x0，∴，
∴函數(shù)增區(qū)間：；減區(qū)間：，
∴，，
∴，
即函數(shù)的值域.
21. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，直線：與曲線相切，若對(duì)一切恒成立，稱直線是函數(shù)的“下切線”；若對(duì)一切恒成立，稱直線是函數(shù)的“上切線”.
（1）若，求其“上切線”的方程；
（2）若存在直線，既是函數(shù)的“下切線”，也是函數(shù)的“上切線”，試求的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意的，函數(shù)，既有“上切線”，也有“下切線”.
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）設(shè)出直線，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)或當(dāng)時(shí)都不符合要求，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得解；
（2）由題意可得、存在公切線，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可表示出與有關(guān)等式，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得解；
（3）由，可取上斜率為的切線，則可設(shè)其切點(diǎn)為，從而表示出兩切線，再結(jié)合“上切線”與“下切線”定義，借助作差法研究函數(shù)與兩切線的差的正負(fù)即可得證.
【小問1詳解】
設(shè)直線：是的“上切線”，
則有恒成立，令，
則，即，
若，則對(duì)任一確定的，都存在，
使，
若，則對(duì)任一確定的，都存在，
使，
故，令，解得，
有，即此時(shí)的切線為，又，故，
即的“上切線”的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)該直線的方程為，其在上的切點(diǎn)為，
在上的切點(diǎn)為，
對(duì)，有，對(duì)，有，
則，
即，
令，，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故是函數(shù)的“下切線”；
令
，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
故是函數(shù)的“上切線”；
則有，即有，
則，
整理得，
令，
則，
令，則，
故在上單調(diào)遞增，又，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，又時(shí)，，
即，即；
【小問3詳解】
，
則，
令，，
設(shè)分別為的兩根，則，
有，故，
則，在點(diǎn)處的切線為，
即，
同理可得，在點(diǎn)處的切線為，
，
由，則恒成立，即為其“下切線”；
同理可得，
由，則恒成立，即為其“上切線”；
綜上所述，對(duì)任意的，函數(shù)，既有“上切線”，也有“下切線”.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于取上斜率為的切線，設(shè)其切點(diǎn)為，從而表示出兩切線，再結(jié)合“上切線”與“下切線”定義，借助作差法研究函數(shù)與兩切線的差的正負(fù).
獎(jiǎng)金
20
40
60
80
100
200
500
1000
張數(shù)
100
50
20
15
10
5
2
1

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