1.設(shè)a∈R，則“a2>1”是“a3>1”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
2.已知y=f(x)，x∈R為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lg2x?1，則集合{x|f(?x)?f(x)0，不等式|ex1?x1|+|lnx2?x2|>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
16.已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形.當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成______個(gè)等邊三角形．
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題14分)
在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且2bsinA? 3a=0．
(1)求角B；
(2)求sinA+sinC的取值范圍．
18.(本小題14分)
如圖，已知ABCD為等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2．
(1)求證：PC⊥AB；
(2)求二面角C?BP?A的大?。?br>19.(本小題14分)
ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問題中，小張能正確作答其中的9個(gè)．
(1)求小張能全部回答正確的概率；
(2)求一個(gè)問題能被ChatGPT回答正確的概率；
(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望與方差．
20.(本小題18分)
如圖，已知橢圓C1：x24+y2=1和拋物線C2：x2=2py(p>0)，C2的焦點(diǎn)F是C1的上頂點(diǎn)，過(guò)F的直線交C2于M、N兩點(diǎn)，連接NO、MO并延長(zhǎng)之，分別交C1于A、B兩點(diǎn)，連接AB，設(shè)△OMN、△OAB的面積分別為S△OMN、S△OAB．
(1)求p的值；
(2)求OM?ON的值；
(3)求S△OMNS△OAB的取值范圍．
21.(本小題18分)
已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為f(x)=sinx?xcsx，其所有的零點(diǎn)按從小到大的順序組成數(shù)列{xn}(n≥1,n∈N)．
(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,π)上的值域；
(2)求證：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)求證：π1或a1，∴a>1或a1，可得a>1，
∵a>1?a>1或a1”是“a3>1”必要不充分條件；
故選B．
2.【答案】D
【解析】解：因?yàn)閥=f(x)，x∈R為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lg2x?1，
當(dāng)x0，可得f(?x)=lg2(?x)?1=?f(x)，即x0，可得x>2；
當(dāng)x0，可得?20，
所以ex?x>0；
令g(x)=lnx?x(x>0)，
所以g′(x)=1x?1=1?xx，
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)a恒成立，
即對(duì)于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|f(x1)|+|g(x2)|>a恒成立，
即f(x1)?g(x2)>a恒成立，
所以[f(x1)?g(x2)]min>a，
即1+1>a，aa恒成立，即[f(x1)?g(x2)]min>a，代入兩函數(shù)的最值即可得答案．
本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
16.【答案】20
【解析】解：正四面體的每一個(gè)面向外作一個(gè)正四面體，此時(shí)是增加一個(gè)點(diǎn)，增加正三角形3個(gè)，新增加的4個(gè)點(diǎn)，又是1個(gè)正四面體，
所以當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成4+3×4+4=20．
故答案為：20．
利用已知條件，判斷求解空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成等邊三角形的個(gè)數(shù)．
本題考查空間想象能力，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．
17.【答案】解：(1)∵2bsinA? 3a=0，
∴2sinAsinB? 3sinA=0，
又∵sinA≠0，
∴sinB= 32，
∵△ABC為銳角三角形，
∴B=π3；
(2)∵△ABC為銳角三角形，B=π3，
∴A∈(0,π2)2π3?A∈(0,π2)，解得A∈(π6,π2)，
∴A+π6∈(π3,2π3)，可得sin(A+π6)∈( 32,1]，
則sinA+sinC=sinA+sin(2π3?A)=32sinA+ 32csA= 3sin(A+π6)∈(32, 3]，
∴sinA+sinC的取值范圍是(32, 3].
【解析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求sinB= 32，結(jié)合B為銳角，即可求解B的值；
(2)由題意可求得A∈(π6,π2)，可得A+π6∈(π3,2π3)，可得sin(A+π6)∈( 32,1]，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求sinA+sinC= 3sin(A+π6)，即可得解sinA+sinC的取值范圍．
本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
18.【答案】(1)證明：連接AC，
∵ABCD為等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120°，AB=AD=2，
∴BC=4,AC=2 3，
∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥AB．

(2)解：取PB的中點(diǎn)H，連接CH、AH，則AH⊥PB，
∵PC= PA2+AC2=4=BC，∴CH⊥PB，
∴∠CHA為二面角C?BP?A的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
由(1)知AB⊥AC，
又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，
∵AH?平面PAB，∴AC⊥AH，
在Rt△AHC中，AC=2 3，AH=12PB= 2，
∴tan∠CHA=ACAH=2 3 2= 6，
∴二面角C?BP?A的大小為arctan 6．
【解析】(1)連接AC，利用勾股定理可證AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AB，從而有AB⊥平面PAC，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；
(2)取BP的中點(diǎn)H，連接CH、AH，先證AH⊥PB，CH⊥PB，從而知∠CHA即為所求，再由三角函數(shù)的知識(shí)，求解即可．
本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，二面角的定義與求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19.【答案】解：(1)設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為X，則P(X=9)=C99C109=110．
(2)設(shè)事件A表示“輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件B表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，
由題意知P(A?)=0.1，P(B|A)=0.98，P(B|A?)=0.18，
則P(A)=1?P(A?)=0.9，
P(B)=P(B∩A)+P(B∩A?)=P(B|A)P(A)+P(B|A?)P(A?)
=0.98×0.9+0.18×0.1=0.9．
(3)設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為X，則X的可能取值是8、9，
且P(X=8)=C98C11C109=910，P(X=9)=C99C109=110，
則E(X)=8×910+9×110=8.1，
D(X)=(8?8110)2×910+(9?8110)2×110=0.09，
設(shè)ChatGPT答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y服從二項(xiàng)分布B(9,910)，
則E(Y)=np=9×0.9=8.1，
D(Y)=npq=9×0.9×0.1=0.81．
【解析】(1)由古典概型概率公式即可求解；
(2)由全概率公式求解即可；
(3)設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為X，則X的可能取值是8、9，求出對(duì)應(yīng)的概率，可得小張答對(duì)題數(shù)的期望和方差，設(shè)ChatGPT答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y服從二項(xiàng)分布B(9,910)，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解即可．
本題主要考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
20.【答案】解：(1)拋物線C2的焦點(diǎn)為F(0,1)，故p=2．
(2)若直線MN與y軸重合，則該直線與拋物線C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，
所以，直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)，
聯(lián)立x2=4yy=kx+1，可得x2?4kx?4=0，
Δ=16k2+16>0恒成立，則x1x2=?4，
OM?ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=?4+1=?3．
(3)設(shè)直線NO、MO的斜率分別為k1、k2，其中k1>0，k20，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,π)上是嚴(yán)格增函數(shù)，
且f(0)=0，f(π)=π，
所以f(x)在區(qū)間(0,π)上的值域?yàn)?0,π)．
(2)證明：當(dāng)x∈(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)時(shí)，f′(x)=csx?(csx?xsinx)=xsinx，
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，f′(x)0，
函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(nπ,(n+1)π)上是嚴(yán)格增函數(shù)；
且f(nπ)=(?1)n?1nπ，故f(nπ)?f((n+1)π)=?n(n+1)π20，
所以xn+1?(xn+π)>0，即π0?tanxn+1>tan(xn+π)?xn+1?xn>π)
②因?yàn)閠an(xn+1?(xn+π))=xn+1?xn1+xn+1?xn

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