一、選擇題：
1．設(shè)集合，則滿足的集合B的個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．8
2．在等差數(shù)列中，若，，則（ ）
A．16B．18C．20D．22
3．命題“，”是真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
4．任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．則（ ）
A．1B．C．D．i
5．已知函數(shù)同時滿足下列條件：①定義域為；②；③為偶函數(shù)；④，則（ ）
A．B．0C．1D．2
6．在中，已知，，D為BC的中點，則線段AD長度的最大值為（ ）
A．1B．C．D．2
7．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．在正方體中，點P滿足，則（ ）
A．若，則AP與BD所成角為B．若，則
C．平面D．
10．下列命題中，正確的命題是（ ）
A．若事件，滿足，，則
B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
C．若事件，滿足，，，則與獨立
D．某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績，其中男生平均數(shù)為9，方差為11；女生的平均數(shù)為7，方差為8，則該10人成績的方差為9.5
11．已知是雙曲線的左、右焦點，是C上一點，若C的離心率為，連結(jié)交C于點B，則（ ）
A．C的方程為B．
C．的周長為D．的內(nèi)切圓半徑為
12．已知O為坐標(biāo)原點，曲線在點處的切線與曲線相切于點，則（ ）
A．B．
C．的最大值為0D．當(dāng)時，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知函數(shù)則當(dāng)時，的展開式中的系數(shù)為 ．
14．中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意糧食滿園、稱心如意、十全十美，下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，該升斗外形是一個正四棱臺，上、下底邊邊長分別為，，側(cè)棱長為，忽略其壁厚，則該升斗的容積為 ．
15．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是 ．
16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，圓．若圓上存在兩點A，B，且圓上恰好存在一點P，使得四邊形OAPB為矩形，則實數(shù)a的取值集合是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前14項的和．
18．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)記 與 的面積分別記為和，求的最大值．
19．2022年10月1日，女籃世界杯落幕，時隔28年，中國隊再次獲得亞軍，追平歷史最佳成績統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國隊主力隊員能夠勝任小前鋒（SF）大前鋒（PF）和得分后衛(wèi)（SG）三個位置，且出任三個位置的概率分別為，同時，當(dāng)隊員出任這三個位置時，球隊贏球的概率分別為，（隊員參加所有比賽均分出勝負(fù)）
(1)當(dāng)隊員參加比賽時，求該球隊某場比賽獲勝的概率；
(2)在賽前的友誼賽中，第一輪積分規(guī)則為：勝一場積分，負(fù)一場積分．本輪比賽球隊一共進(jìn)行場比賽，且至少獲勝場才可晉級第二輪，已知隊員每場比賽均上場且球隊順利晉級第二輪，記球隊第一輪比賽最終積分為，求的數(shù)學(xué)期望．
20．如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，．
(1)求證：平面平面ACD；
(2)若，，五面體ABCDE的體積為，求平面CDE與平面ABED所成角的余弦值．
21．已知A，B是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的兩點，點，連結(jié)DA并延長交C于點M，連結(jié)DB交C于點N．
(1)若A為線段DM的中點，求點A的坐標(biāo)；
(2)設(shè)，的面積分別為，若，求線段OA的長．
22．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，證明：在區(qū)間上單調(diào)遞增；
(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求實數(shù)m的取值范圍．
1．C
【分析】先求出集合A的元素，再根據(jù) 推導(dǎo)出集合B.
【詳解】對于集合A， ，即，
又 ， B可取，共4個；
故選：C．
2．B
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.
【詳解】因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
所以，解得，
所以.
故選：B．
3．D
【分析】根據(jù)“充分不必要條件”的定義推導(dǎo).
【詳解】“充分不必要條件”的定義是由結(jié)論可以推導(dǎo)出條件，但由條件不能推導(dǎo)出結(jié)論，
其中“，”為真命題是結(jié)論，可以推出 ， ，
其中 是條件，由 不能推出“，”為真命題，
對于A，B選項，可以推出“，”為真命題，是充分條件；
對于C選項，是既不充分也不必有的條件；
故選：D.
4．B
【分析】現(xiàn)將復(fù)數(shù) 表示為三角形式，再利用棣莫弗定理求解.
【詳解】，
；
故選：B．
5．A
【分析】根據(jù)題意得函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，再結(jié)合，求得，，再根據(jù)周期性計算即可.
【詳解】解：解法一：由①知，的定義域為，
由③為偶函數(shù)，則，即
由④知函數(shù)滿足，
所以，，即
所以，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
因為，
所以，令得，令得，即，
所以.
故選：A
解法二：由③知，圖象關(guān)于對稱，由④知，關(guān)于對稱，
故選取三角函數(shù)，由于①定義域為；②，
故令，滿足①②③④，
所以，
故選：A
6．C
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【詳解】解：由余弦定理得，
即，即，
所以，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立.
因為，
所以，
，
∴，
故選：C．
7．C
【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．
【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，
，代入拋物線方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化為：，
解得或（舍）
.
故選：C.
8．A
【分析】對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，可知，可求出的大小，對兩邊取對數(shù)，則，可得，最后比較與大小，即可得出答案.
【詳解】，，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，則，，
，，∴，排除D．
，則，，，∴，排除B．
比較與大小，先比較與大小，
,，
因為，所以
所以在上單調(diào)遞增，，
所以，所以，
∴，綜上.
故選：A．
關(guān)鍵點點睛：本題涉及三個量的大小比較，關(guān)鍵點在于構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性可求出的大小，即可判斷的大小，的大小，最后構(gòu)造函數(shù)，比較與的大小即可得出答案.
9．BCD
【分析】與BD所成角為與所成角，為，A錯誤，建系得到，B正確，故面面，C正確，，D正確，得到答案.
【詳解】對選項A：時P與重合，與BD所成角為與所成角，為等邊三角形，則AP與BD所成角為，錯誤；
對選項B：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，，，，，，，正確；
對選項C：，平面， 平面，故平面，同理可得平面，，故面面，平面，平面，正確；
對選項D：，，，正確．
故選：BCD
10．AC
【分析】根據(jù)條件概率公式判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷B，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷C，根據(jù)方差公式判斷D.
【詳解】對于A：因為，∴，故A正確．
對于B：因為，，則，，故B錯誤．
對于C：若，則與獨立，則與獨立，故C正確．
對于D：男生成績設(shè)為，∴，
，
∴．
女生成績設(shè)為，∴，
，
∴．
所以，
則，故D錯誤．
故選：AC
11．ABD
【分析】根據(jù)點A的坐標(biāo)和離心率求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐項分析.
【詳解】對A，將點A的坐標(biāo)代入雙曲線方程，并由 得下列方程組：
，解得，∴雙曲線，A正確；
對B，，，，
，∴，B正確；
對C， ，
，，周長，C錯誤；
對D，令 ，則 ， ，在 中，
，∴，設(shè) 的周長為l，內(nèi)切圓半徑為r，則 ，
由三角形面積公式知： ，
，D正確；
故選：ABD．
12．AB
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，利用切線斜率和截距相等建立方程，然后利用指對互化判斷A、B，由數(shù)量積坐標(biāo)運算化簡，判斷函數(shù)值符號即可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷D
【詳解】因為，所以，又，所以，
切線：，即，
因為，所以，又，所以，
切線：，即，
由題意切線重合，所以，所以，即，A正確；
當(dāng)時，兩切線不重合，不合題意，
所以，，，
所以，，B正確；
，
當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，
則，，所以，C錯誤；
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以，∴，
記，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，D錯誤.
故選：AB
關(guān)鍵點點睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進(jìn)行代換，在代換過程中要盡量去消去指數(shù)或?qū)?shù)，朝目標(biāo)化簡.
13．270
【分析】由分段函數(shù)解析式可得，應(yīng)用二項式定理求出的系數(shù)即可.
【詳解】時，，，
展開式第項，故時，，
∴的系數(shù)270．
故270
14．
【分析】先求出四棱臺的高，再根據(jù)四棱臺的體積公式計算.
【詳解】
上下底面對角線的長度分別為： ， 高h(yuǎn) ，
上底面的面積 ，下底面的面積 ，
四棱臺的體積 ；
故 .
15．
【分析】先正弦函數(shù)的周期性求出 的大致范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出 的具體范圍.
【詳解】在 是增函數(shù)，∴ ，∴ ，，
又 ，∴ ，令 ，
則 在 的函數(shù)圖像如下：
所以欲使得 是增函數(shù)，則必須 或者 ，
對于 ，即 ，
對于函數(shù)，在 時 的值域是 ， ，
對于 ，即 ，
對于函數(shù) 在 時的值域是 ，即 ， 與 矛盾，無解；
故 .
16．
【分析】設(shè)，OP中點，求出P點的軌跡方程，因P又在圓上，所以兩圓有且僅有一個公共點，所以或，求解即可得出答案.
【詳解】設(shè)，OP中點，D也是AB中點，，
因為D也是AB中點，所以，
，
因為在圓內(nèi)，所以，∴，
又因為，，所以，
∴，
∴P在上，P又在圓上，滿足條件的P恰好有一個點，
∴兩圓有且僅有一個公共點，
∴或，
或或0或2，所以a的取值集合．
故答案為.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知得出，結(jié)合前項和與通項的關(guān)系將已知與得出的式子兩式做減，再化簡即可得出，即可證明；
（2）根據(jù)（1）得出，結(jié)合已知即可得出當(dāng)為偶數(shù)時，即，將數(shù)列的前14項從第2項開始兩兩分組，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得出答案.
【詳解】（1），
則，
，得，即，
，即
令中，得，解得，則
是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，則，
，且，
當(dāng)為偶數(shù)時，，即，
，
，
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先求出BD，再運用余弦定理求出 ，再利用兩角和公式求解；
（2）先運用余弦定理求出 與 的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積公式求解.
【詳解】（1）∵，∴，
，，
，，
∴
；
（2）設(shè)，，∴，
∴，∴，①


，
當(dāng)且僅當(dāng)，時取最大值 ；
綜上， ， 的最大值是 .
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的所有可能取值，結(jié)合獨立重復(fù)事件的概率計算公式和條件概率的計算公式，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用期望的計算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，隊員參加比賽時，比賽獲勝的概率為.
（2）解：根據(jù)題意，可得贏3場，負(fù)兩場積分7；A贏4場負(fù)一場積分10；贏5場，積分15分，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為7，11，15，記表示第一輪比賽最終積分為，表示“所在的球隊順利晉級第二輪”，
可得，，
，則，
所以，，
，
所以隨機(jī)變量的分布列如下表：
期望為．
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用中位線定理證明線線平行，得到平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】（1）取AC中點M，連接BM，∵，∴，
又∵平面，平面，∴，
又，平面，
∴平面，取CD中點F，連接MF，EF，
∴且，又∵且，
∴且，
∴四邊形BMFE為平行四邊形，∴．
∴平面ACD，又∵平面CDE，∴平面平面ACD．
（2）過點作，則．
設(shè)，∴，
．
由（1）可知兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
如圖，∴，
．
設(shè)平面CDE與平面ABED的一個法向量分別為，
∴，
，
設(shè)平面與平面所成角為θ，
∴，即平面與平面所成角的余弦值為.
21．(1)
(2)
【分析】(1)由于A是M，D的中點，設(shè) ，由此推出M的坐標(biāo)，再根據(jù)A，M都在橢圓上，代入橢圓方程即可求解；
(2)設(shè)直線DA的方程，再根據(jù)A，B的對稱性設(shè)DB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出M，N點的坐標(biāo)與A，B點坐標(biāo)的關(guān)系，將面積之比問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比問題.
【詳解】（1）設(shè)，∴
由A，M均在橢圓C上，∴ ，解得 ，，
∴；
（2）設(shè)DA方程為，，，
，得 ，，
∴，
∴．
同理
∴，∴
，∴；
而 ，∴
本題的難點在于要將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比，這個思路是在解題的開始時就應(yīng)該產(chǎn)生的，后面的步驟只是這個思路的具體執(zhí)行.
22．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，再令，利用導(dǎo)數(shù)法判斷的正負(fù)即可；
（2）求導(dǎo)，由存在兩個不同的極值點，得到存在兩個不同的變號零點，再令，用導(dǎo)數(shù)法研究其零點即可；
【詳解】（1）解：，令，
則，
當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，
∴，
∴在上單調(diào)遞增．
（2）因為，
所以，
∵存在兩個不同的極值點，
∴存在兩個不同的變號零點，
令，則，
，
令，
，則在上遞減，
注意到，
∴當(dāng)時，，則，遞減；
當(dāng)時，，則，遞增，
∴．
要使有兩個不同的變號零點，則，解得．
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴．
綜上：，即m的取值范圍為．
關(guān)鍵點點睛：本題第二問在研究的零點時，不僅要其最小值小于0，也要研究和時的情況.
7
11
15




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