2024-2025學年江蘇省揚州市高一上冊12月聯(lián)考末數(shù)學質(zhì)量檢測試題（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
故，
故選：A.
2. 若，則（）
A. B. C. D.
答案：C
解析：根據(jù)題意，，
則.
故選：C
3. 已知向量是單位向量，若，則（）
A. 0B. 1C. D. 2
答案：C
解析：因為單位向量，所以，
又因為，
所以，
則，
所以.
故選：C.
4. 等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：因為等差數(shù)列的前項和為，，
則，則，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以，，
因此，.
故選：A.
5. 設(shè)正三棱錐的一個側(cè)面三角形面積是底面面積的兩倍，則其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：如圖在正三棱錐中，設(shè)為底面的中心，連接,則平面.
過作交于點,連接，
則,又，且,所以平面，
則,所以為側(cè)面和底面所成二面角的平面角，
在正三角形中，為中心，，
由條件有，可得，
在直角三角形中，.
故選：D
6. 已知、是軸上兩定點，、是軸上兩動點，則直線與的交點的軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設(shè)點，由題意可知，，，即①，
，即②，
①②得，整理可得，即，其中，
所以，點的軌跡方程為.
故選：B.
7. 若函數(shù)在內(nèi)存在兩個零點且和為，則正數(shù)的最小值為（）
A. B. 1C. D.
答案：C
解析：令，則，故，
由題設(shè)有，故且，
設(shè)兩個零點為，
則，故，其中，
故，故，
故選：C.
8. 在平面直角坐標系中，若兩點連線的斜率為1，則下列各式一定為正數(shù)的是（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：根據(jù)題意，，即，也就是，
設(shè)，即，
則，
所以時，，即函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時，，即函數(shù)單調(diào)遞增，
為函數(shù)的極小值點，且，
則點為函數(shù)與直線的交點，不防設(shè)，
則，則，A錯誤；
設(shè)，
則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以當時，，則，
即，即，
又，所以，則，B錯誤；
，C錯誤；
，D正確.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 如圖，在四棱柱中，M是線段上的動點（不包括兩個端點），則下列三棱錐的體積為定值的是（）
A. 三棱錐B. 三棱錐
C. 三棱錐D. 三棱錐
答案：BC
解析：因為幾何體中僅為動點，
故當三棱錐的體積為定值時，應(yīng)平行于另外三點所確定的平面，
由四棱柱的性質(zhì)可得，而平面，平面，
故平面，同理平面即平面，
由四棱柱可得平面，平面，
故AD錯誤，BC正確，
故選：BC
10. 有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，下列說法正確的是（）
A. 若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則B. 若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，則
C. 當時，該組數(shù)據(jù)的極差為8D. 當時，該組數(shù)據(jù)的方差最小
答案：ABD
解析：解：因為樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，
A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則，解得，故正確；
B. 當時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；
當時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；當時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，符合題意；
當時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；
當時，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意，綜上：，故正確；
C.當時，該組數(shù)據(jù)的極差為故錯誤；
D.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為由A知，當時，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，
則其方差
所以要使方差最小，則取得最小值，所以，故
D正確.
故選：ABD
11. 已知三次函數(shù)，則（）
A. 函數(shù)一定有兩個極值點B. 當時，
C. 當時，的極小值為0D. 在區(qū)間上的值域為
答案：BCD
解析：對于A，當時，，該函數(shù)在上為增函數(shù)，無極值點，故A 錯誤；
對于B，，
而，故，故，所以，
故B正確；
對于C，，
若，則，此時當或時，，
當時，，故在處取極小值；
若，則，此時當或時，，
當時，，故在處取極小值；
故C正確；
對于D，當，時，
則當或時，，當時，，
故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
取，則，
考慮方程在上是否有解，
設(shè)，則，
，
由零點存在定理可得在上存在零點，設(shè)該零點為，則,
則在上的值域為，
故D成立，
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 展開式中的常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）
答案：
解析：的展開式的通項公式為，
其中，故，故的展開式中無常數(shù)項，
令，則，故的系數(shù)為，
故展開式中的常數(shù)項，
故
13. 若α和β都銳角，，則______．
答案：
解析：因為α和β都為銳角，則，
又，所以，即，
所以，而，則，
所以.
故
14. 從集合中選取s個數(shù)，從集合中選取t個數(shù)．若這個數(shù)的和不小于，則的最小值為______．
答案：
解析：，
此時，
下證：若這個數(shù)的和不小于，，
證明：假設(shè)，
任取個元素，其和不超過，
任取個元素，其和不超過，
故且取出的個元素，其和不超過，
若，則，，
，故，舍；
若，則，，
，故，舍；
若，則，，
，故，舍；
若，則，，舍；
若，則，，舍；
若，則，，舍；
綜上，不成立，故，
故的最小值為8，
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在直三棱柱中，．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
答案：（1）證明見解析
（2）
（1）解析：
由題知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四邊形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）解析：
如圖，建立空間直角坐標系，因，
則，，
得到，，，
直線與平面所成角為，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的法向量為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
16. 已知的三個內(nèi)角所對邊分別為，是邊上一點，．
（1）證明：；
（2）若，且，求的面積．
答案：（1）證明見解析
（2）
（1）解析：
由，得到，
整理得到，又，所以，
又，所以，得到，即.
（2）解析：
因為，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得到，所以，
整理得到，解得，所以，，，
故的面積為.
17. 甲、乙兩人參加學校組織的航空航天知識競賽，規(guī)則如下：每輪比賽從題庫中隨機抽取兩個問題，先由甲回答第一題，然后乙回答第二題．答題者若答對則得1分，答錯則對方得1分．當某輪比賽結(jié)束后出現(xiàn)一人總分比另一人多2分，則比賽結(jié)束，得分多者獲勝．已知無論之前答題情況如何，甲每題回答正確的概率為，乙每題回答正確的概率為．
（1）記X為第一輪答題后甲的總分，求X的分布列和數(shù)學期望；
（2）求甲在這次競賽中獲勝的概率．
答案：（1）分布列見解析；.
（2）
（1）解析：
第一輪答題后甲的總分X可取，
,
,
X的分布列為
.
（2）解析：
記"甲在這次競賽中獲勝"為事件D，因為甲獲勝發(fā)生至少經(jīng)過一輪答題，由（1）知，
一輪回答后有三種情形，由全概率公式得：
，
是指一輪答題后甲得0分的條件下甲獲勝的概率，為0（乙獲勝，比賽結(jié)束）；
是指一輪答題后甲得1分的條件下甲獲勝的概率為；
是指一輪答題后甲得2分的條件下甲獲勝的概率為1；
所以
解得，
求甲在這次競賽中獲勝的概率．
18. 已知雙曲線的離心率為，左頂點為A，右焦點為F，且．
（1）求C的方程；
（2）過點F的直線與C交于D，E兩點，直線與直線分別交于點G，H．
①若的面積是的面積的6倍，求直線的方程；
②證明：直線被以為直徑的圓截得的弦長小于20．
答案：（1）
（2）①或；②證明見解析
（1）解析：
由雙曲線的離心率為，則①，
又②，聯(lián)立①②解得，，
則，
故所求C的方程為.
小問2詳解】
由題意，不與軸垂直，右焦點，
設(shè)直線方程為，
聯(lián)立消得，，
由直線與雙曲線有兩個交點，
則，即.
設(shè)，
則，所以有；
且；
設(shè)，
由點，得直線方程為，
令，得，又由，得，
同理.
則
；
；
故；
①；且.
若的面積是的面積的6倍，則，
則，解得，即，滿足條件.
故所求直線的方程為或；
②設(shè)中點，則，即，即以為直徑圓的圓心，
半徑；
點到直線即的距離；
由 .
當時，以為直徑的圓與直線相切，可看作所截弦長為；
當時，以為直徑的圓與直線相交，
故直線被截得的弦長，
由，則，因為，
則（其中，弦長）.
綜上所述，直線被以為直徑的圓截得的弦長小于20．
19. 在平面直角坐標系中，沿著平行于軸的方向，按照一定的比例對圖形的每個點到軸的有向距離進行放縮得到的平面圖形，即將點映射到點的操作（為固定的參數(shù)），這種變換在數(shù)學上稱為水平錯切．設(shè)是定義在上的函數(shù)，記，則稱是的“錯切函數(shù)”．
（1）設(shè)函數(shù)的“錯切函數(shù)”為，
①求的最小值；
②若與的值域相同，求正數(shù)的取值范圍．
（2）已知是上的增函數(shù)，是的“錯切函數(shù)”，證明：是的零點當且僅當是的零點．
答案：（1）①；②.
（2）證明見解析
（1）解析：
①因為函數(shù)的定義域為，，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，函數(shù)的最小值為；
②由①可知，函數(shù)的值域為，由題意可知，函數(shù)的值域為，
因為，且，
令，
，令，可得，解得，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，
所以，函數(shù)的值域為，
要使得函數(shù)的值域為，
則，
所以，，即，可得，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
（2）解析：
“”：若為函數(shù)的零點，則，
所以，，故為函數(shù)的零點；
“”：若為函數(shù)的零點，則，
所以，函數(shù)存在零點，設(shè)函數(shù)的零點為，則，
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，
且，又因為，所以，，即，
所以，為函數(shù)的零點.
因此，是的零點當且僅當是的零點．

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