1.本卷共4頁，包含單項選擇題（第1題～第8題）?多項選擇題（第9題～第11題）?填空題（第12題～第14題）?解答題（第15題～第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.
2.答題前，請務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考試號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.
3.請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.清注意字體工整，筆跡清楚.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為2，則的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
3. 已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，則動點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C D.
4. 在2和8之間插入3個實(shí)數(shù)使得成等比數(shù)列，則的值為（ ）
A. B. 或4C. 4D. 5
5. 若兩直線平行，則實(shí)數(shù)取值集合是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差數(shù)列的前項和為，若為定值時也是定值，則的值為（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 不能確定
7. 已知直線與，過點(diǎn)的直線被截得的線段恰好被點(diǎn)平分，則這三條直線圍成的三角形面積為（ ）
A. B. C. 8D.
8. 已知數(shù)列的前項和為，且則的值為（ ）
A. 1023B. 1461C. 1533D. 1955
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不答得0分，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
9. 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，.（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
10. 已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. 點(diǎn)在同一條直線上
B. 點(diǎn)在同一條直線上
C. 點(diǎn)在同一條直線上
D. 點(diǎn)（均正整數(shù)，且為常數(shù)）在同一條直線上
11. 已知直線，圓，則（ ）
A. 與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最大值是4
B. 若與圓相交于兩點(diǎn)，且，則
C. 若圓上恰有四個點(diǎn)到的距離為1，則
D. 若對于兩個不同的值，與圓分別相切于點(diǎn)，，則所在直線的方程是
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值為__________.
13. 已知等比數(shù)列滿足，則__________.
14. 如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
16. 已知的三個頂點(diǎn)是，求：
（1）邊上的中線所在直線的方程；
（2）邊上的高所在直線的方程；
（3）的角平分線所在直線的方程.
17. 已知數(shù)列滿足且.
（1）求；
（2）證明數(shù)列等比數(shù)列，并求.
18. 已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)時，求的長；
（2）是否存在弦被點(diǎn)三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；
（3）記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
19. 已知點(diǎn)，向量，點(diǎn)一條直線上，且滿足.
（1）求；
（2）證明在同一個圓上，并求該圓的圓心和半徑；
（3）過引圓的切線，記切線與軸的交點(diǎn)為，求證：
2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷
注意事項學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求：
1.本卷共4頁，包含單項選擇題（第1題～第8題）?多項選擇題（第9題～第11題）?填空題（第12題～第14題）?解答題（第15題～第19題）.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.
2.答題前，請務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考試號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.
3.請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.清注意字體工整，筆跡清楚.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為2，則的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)直線的斜率公式計算可得答案.
【詳解】因為經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為2，
所以，且，解得.
故選：D.
2. 等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正確答案】A
【分析】首先由等差數(shù)列的通項公式求出公差d，則可求.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則，
因為，所以，
所以，
故選：A.
3. 已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，則動點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】設(shè)，然后根據(jù)題意建立等式化簡即可.
【詳解】設(shè)，由題可知
故選：C
4. 在2和8之間插入3個實(shí)數(shù)使得成等比數(shù)列，則的值為（ ）
A. B. 或4C. 4D. 5
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等比中項求解即可.
【詳解】由為等比中項可知，，
又可知，
所以，
故選：C
5. 若兩直線平行，則實(shí)數(shù)的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程和不等式，求出.
【詳解】由題意得且，
解得.
故選：B
6. 等差數(shù)列的前項和為，若為定值時也是定值，則的值為（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 不能確定
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得為定值，結(jié)合基本量法可求的值.
【詳解】因為為定值且，故為定值，故為定值，其中為公差.
而，
故當(dāng)且僅當(dāng)即時，為定值.
故選：C.
7. 已知直線與，過點(diǎn)的直線被截得的線段恰好被點(diǎn)平分，則這三條直線圍成的三角形面積為（ ）
A. B. C. 8D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)直線與直線的兩個交點(diǎn)為，設(shè)，則，代入直線，即可得點(diǎn)，進(jìn)而可得到直線的方程，再求交點(diǎn)到的距離，利用面積公式計算即可.
【詳解】設(shè)直線與直線的兩個交點(diǎn)為，且設(shè)，
則由題意可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)在上，
所以，解得，
所以，，
所以,
因為直線過點(diǎn)，，所以直線的斜率，
所以直線的方程為：，即，
聯(lián)立：，解得的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以到直線的距離為，
所以這三條直線圍成的三角形面積為.
故選：A.
8. 已知數(shù)列的前項和為，且則的值為（ ）
A. 1023B. 1461C. 1533D. 1955
【正確答案】B
【分析】先判斷數(shù)列為等比數(shù)列，求出其通項公式，再求數(shù)列的通項公式，分組求和，可得問題答案.
【詳解】由題意：，
.
所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，
所以.
所以，
.
所以.
故選：B
方法點(diǎn)睛：類似這種數(shù)列問題，一般是有規(guī)律的，可以先求出數(shù)列的前幾項，觀察數(shù)列的規(guī)律，再想辦法證明即可.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不答得0分，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
9. 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，.（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】AC
【分析】利用等差數(shù)列、利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
當(dāng)時，，故A正確；
當(dāng)公差時，an是常數(shù)列，，但與不一定相等，故B不正確；
設(shè)等比數(shù)列bn的公比為，
若“”，則，故C正確；
當(dāng)公比時，bn是常數(shù)列，，但與不一定相等，故D不正確.
故選：AC.
10. 已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. 點(diǎn)在同一條直線上
B. 點(diǎn)在同一條直線上
C. 點(diǎn)同一條直線上
D. 點(diǎn)（均為正整數(shù)，且為常數(shù)）在同一條直線上
【正確答案】ACD
【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，逐一進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對A：因為，，所以點(diǎn)都在直線上，故A正確；
對B：因為，所以點(diǎn)都在二次函數(shù)上，故B錯誤；
對C：因為，所以點(diǎn)都在直線上，故C正確；
對D：因為，
所以點(diǎn)都在直線上，故D正確.
故選：ACD
11. 已知直線，圓，則（ ）
A. 與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最大值是4
B. 若與圓相交于兩點(diǎn)，且，則
C. 若圓上恰有四個點(diǎn)到的距離為1，則
D. 若對于兩個不同的值，與圓分別相切于點(diǎn)，，則所在直線的方程是
【正確答案】BCD
【分析】對于A，根據(jù)題意知直線的斜率，然后表示出三角形的面積，利用基本不等式，即可解決；
對于B，由題意得弦長，進(jìn)而得圓心到直線的距離，即可求解的值；
對于C，由題意得圓心到直線的距離，即可求解的范圍；
對于D，將切點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問題，即可解決.
【詳解】對于A，由得，所以直線過點(diǎn)，
又因為直線與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形，所以；
令，得，令，得，
所以直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)分別為，，
所以直線與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以三角形面積最小值是4，故A不正確；
對于B，因為，所以，
所以，所以圓心到直線的距離，即，解得，故B正確；
對于C，因為圓上恰有四個點(diǎn)到的距離為1，
所以圓心到直線的距離，
解得，故C正確；
對于D，因為直線恒過點(diǎn)，
所以直線就是經(jīng)過以為圓心，為半徑的圓和圓的交點(diǎn)所在的直線，，
所以，所以圓的方程為，
所以直線的方程為，故D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值為__________.
【正確答案】或
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列式求解即可.
【詳解】由題意可得，，即，
解得或.
故或.
13. 已知等比數(shù)列滿足，則__________.
【正確答案】
【分析】利用基本量法可求與公比，故可求.
【詳解】設(shè)公比為.
因為，故，解得或者，
若，則且，此時，
若，則且，此時，
故答案.
14. 如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上動點(diǎn)，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是__________.
【正確答案】
【分析】以為鄰邊，作矩形，則，證明出，從而得到，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，數(shù)形結(jié)合得到，得到答案.
【詳解】以為鄰邊，作矩形，則，
由矩形性質(zhì)可得，證明如下：
設(shè)，
過點(diǎn)分別為⊥，⊥，⊥，垂足分別為，
過點(diǎn)作⊥，垂足為，
則，
故，
，
所以，
，
，
所以，
證畢，
即，故，
點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
所以，
左邊等號成立的條件為三點(diǎn)共線，且在之間，
右邊等號成立的條件為三點(diǎn)共線，且在之間，
則的取值范圍是
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出輔助線，得到，證明出，從而得到，得到點(diǎn)軌跡，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.
四?解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）計算出等差數(shù)列an的首項和公差，從而求得.
（2）利用錯位相減求和法求得.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
依題意，，
，解得，所以.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以
，
兩式相減得
，
所以.
16. 已知的三個頂點(diǎn)是，求：
（1）邊上的中線所在直線的方程；
（2）邊上的高所在直線的方程；
（3）的角平分線所在直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）對于求邊BC上的中線所在直線方程：首先要找到BC中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，然后利用兩點(diǎn)式求直線方程；
（2）對于求邊BC上的高所在直線方程：先求BC邊的斜率，根據(jù)斜率公式，高與BC垂直，兩條垂直直線斜率乘積為，再利用點(diǎn)斜式求直線方程；
（3）對于求的角平分線所在直線方程：先求AB和BC邊的斜率，根據(jù)夾角公式，設(shè)角平分線斜率為，求出，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程.
【小問1詳解】
首先求BC中點(diǎn)坐標(biāo)，已知，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，BC中點(diǎn)，
已知中線過和兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式，
即，化簡得，整理得.
【小問2詳解】
先求BC邊的斜率，已知，
根據(jù)斜率公式，
因為高與BC垂直，設(shè)高斜率為，則，解得，
又因為高過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式，整理得.
【小問3詳解】
先求AB邊的斜率，BC邊的斜率，
設(shè)角平分線斜率為，根據(jù)夾角公式得，化簡
交叉相乘得，
繼續(xù)化簡，即或，
繼續(xù)化簡（舍去），或，即，
因為角平分線的斜率應(yīng)該在和之間，所以，
又因為角平分線過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式，整理得.
17. 已知數(shù)列滿足且.
（1）求；
（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求.
【正確答案】（1）
（2）證明見詳解；
【分析】（1）已知的值，代入遞推公式得出，再代入遞推公式即可得到的值.
（2）由兩式消元得到，將變?yōu)榈玫降仁剑擘偈较玫?，?gòu)造出數(shù)列，得到等式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得出.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
【小問2詳解】
∵，
∴得到，∴，
則代入①得：，
則
∴，
且，
∴數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.
∴，
∴
18. 已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)時，求的長；
（2）是否存在弦被點(diǎn)三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；
（3）記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
【正確答案】（1）
（2）存在，
（3）證明見解析
【分析】（1）由題意求出直線方程，利用圓的幾何性質(zhì)求弦長即可；
（2）假設(shè)存在，求出弦心距OQ，討論直線的斜率是否存在，利用點(diǎn)到直線距離即可得解；
（3）分類討論直線斜率是否存在，存在時由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡即可證明.
【小問1詳解】
因為，所以，直線的方程為，
設(shè)圓心到直線的距離為，則，
所以
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)為，如圖，

假設(shè)存在弦被點(diǎn)三等分，設(shè)，，則，
，解得，
當(dāng)斜率不存在時，，故斜率存在，
設(shè)斜率為，則：，
，解得，
即存在弦被點(diǎn)三等分，直線的斜率為.
【小問3詳解】
由題意知，,
當(dāng)直線斜率不存在時，，，
不妨取，
則，此時
直線斜率存在時，設(shè)方程為，
代入圓的方程可得，
設(shè)，則，
又，
所以
綜上，為定值.
19. 已知點(diǎn)，向量，點(diǎn)在一條直線上，且滿足.
（1）求；
（2）證明在同一個圓上，并求該圓的圓心和半徑；
（3）過引圓的切線，記切線與軸的交點(diǎn)為，求證.
【正確答案】（1）；
（2）和；
（3）證明見解析.
【分析】（1）設(shè)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)表示結(jié)合等差數(shù)列的通項公式計算即可；
（2）設(shè)坐標(biāo)，利用向量共線的充要條件及數(shù)量積的坐標(biāo)表示消元計算即可；
（3）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系計算切線方程得出的坐標(biāo)，再利用放縮法計算和即可.
【小問1詳解】
設(shè)，則由題意可知，
所以，即分別成公差為1的等差數(shù)列，
由已知，
則，即，所以；
【小問2詳解】
設(shè)，即，
因為共線，且滿足，
則有，
當(dāng)時，易知，即，
此時，
即，
當(dāng)時，解方程組可得，也滿足上式，
所以在以為圓心，為半徑的圓上，
圓心和半徑；
【小問3詳解】
由（2），解方程得，
則，
所以處的切線方程斜率為，
則切線方程為，
令得，即，
易知，
則
，證畢
方法點(diǎn)睛：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合消參法可計算軌跡方程；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出切線方程，再由放縮法證明即

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