三角形是生活中常見的基本幾何圖形，它常常出現(xiàn)在建筑物上或一些物體的結構框架中.留心觀察你所看到的各種事物，你發(fā)現(xiàn)各式各樣的三角形了嗎?
本章將進一步研究三角形的性質及三角形的全等關系.你將感受研究圖形性質的基本方法，在一個個結論的獲得過程中，慢慢體會如何有邏輯地說明它們的正確性；在用尺規(guī)作圖的過程中，感受如何通過對圖形的直觀分析作出想要的圖形.這些學習過程會幫助你積累更多研究圖形的經驗，發(fā)展幾何直觀和推理能力等.
第1課時 三角形及其內角和
1. 了解三角形及相關概念，能正確識別和表示三角形，會按角的大小對三角形進行分類；（重點）2. 掌握三角形的內角和等于180°，并會據(jù)此解決簡單的問題.（難點）
下面請同學們仔細觀察一組圖片，找出你熟悉的幾何圖形.
從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的飛機，從宏偉的建筑到微小的分子結構，都有什么樣的形象？
觀察下面的屋頂框架圖：
（1）你能從圖中找出四個不同的三角形嗎？（2）這些三角形有什么共同的特點？
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
三角形可以用符號“△”表示，頂點是A，B，C 的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.除此△ABC 還可記作△BCA, △CAB, △ACB 等.
邊：△ABC的三邊BC，AC，AB，有時也用a，b，c表示.如圖，頂點A所對的邊BC用a表示， 頂點B所對的邊AC用b表示， 頂點C所對的邊AB用c表示.
內角：∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角.
頂點：如圖，點A，B，C是三角形的頂點；
三角形有三條邊，三個內角和三個頂點.
1.如圖所示.(1)以D為頂點的三角形有　　個,它們分別是 .?(2)∠C是△ABC中　　　　邊的對角，又分別是△DFC，△DEC中　　　　,　　　　邊的對角.?
(3)在△DEC中,∠E的對邊是　　　,在△EGB中,∠E的對邊是　　　,在△EDF中,∠E的對邊是　　　　.?(4)DF是△　　　　和△　　　　的公共邊.?
△ADG,△DEF,△DFC,△CDE
三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角，即三角形三個內角的和是180°.
觀測的結果不一定可靠，還需要通過數(shù)學知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？
我們知道，將一個三角形的三個角撕下來，拼在一起，可以發(fā)現(xiàn)三角形的三個內角有什么關系？
小明只撕下三角形的一個角，也得到了上面的結論，他的做法如下:如圖①，剪一個三角形紙片，它的三個內角分別為∠1，∠2和∠3.將∠1撕下，按如圖②所示進行擺放，其中∠1的頂點與∠2的頂點重合，它的一條邊與∠2的一條邊重合.
此時∠1的另一條邊b與∠3的一條邊a平行嗎?為什么?
解:平行.理由:內錯角相等，兩直線平行.
解:相等.理由:兩直線平行，同位角相等.
現(xiàn)在，你能夠確定這個三角形的內角和了嗎？試寫出你的證明過程？
(3)如圖③所示,將∠3與∠2的公共邊延長,它與b 所夾的角為∠4.∠3與∠4的大小有什么關系?為什么?
證明：延長BC到D，過點C作CE∥BA，
證明：三角形三個內角的和等于180°.
∴ ∠A=∠1(兩直線平行，內錯角相等) . ∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
解：∵CE⊥AF， ∴∠DEF＝90°（垂直的定義）， ∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°. ∴∠BDC＝∠EDF＝50°.（對頂角相等） 在△BDC 中，∵ ∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°， ∴∠DBC＝180°- （∠C+∠BDC） ＝180°- （30°+50°） ＝100°.
例1 如圖，CE⊥AF，垂足為E，CE與BF相交于點D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC的度數(shù)．
2.在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度數(shù).
解:設∠B=∠C=x°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴40°+x°+x°=180°,解得x=70.∴∠B=∠C=70°.
小穎、小明露出的角分別是直角和鈍角，由于“三角形內角和是180°”，可以得到兩人拿的三角形中，其余兩個內角都是銳角.
（1）下圖中小明所拿三角形被遮住的兩個內角是什么角？小穎的呢？試著說明理由.
露出的角是銳角，其余兩個角的情況有三種情況：①兩個銳角；②一個直角一個銳角；③一個鈍角一個銳角.
（2）下圖中小亮所拿三角形被遮住的兩個內角可能是什么角？將所得結果與（1）的結果進行比較，并與同伴交流.
我們可以按三角形內角的大小把三角形分為三類：
銳角三角形三個內角都是銳角
直角三角形有一個內角是直角
鈍角三角形有一個內角是鈍角
通常,我們用符號 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .如圖，直角所對的邊稱為直角三角形的斜邊，夾直角的兩條邊稱為直角邊 ．
直角三角形的兩個銳角之間有什么關系呢？
幾何語言表示：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠A＋∠C=90°.（直角三角形的兩個銳角互余）
根據(jù)“三角形的內角和為180°”易得:直角三角形的兩個銳角互余.
例2 在△ABC中,∠B比∠A大36°,∠C比∠A小36°,求△ABC的各內角的度數(shù),并判斷△ABC的形狀.
解:設∠A=x°,則∠B=x°+36°,∠C=x°-36°.根據(jù)題意,得x+x+36+x-36=180,解得x=60.∴x°+36°=96°,x°-36°=24°.∴∠A=60°,∠B=96°,∠C=24°.∴△ABC是鈍角三角形.
　　根據(jù)三角形的內角大小判斷三角形的形狀時,要先求出各角的大小，然后看三個角中最大的角是什么角. 若最大的角為鈍角,則三角形為鈍角三角形; 若最大的角是直角,則三角形為直角三角形; 若最大的角為銳角,則三角形為銳角三角形.
3.在下面的空白處,分別填入“銳角”“鈍角”或“直角”：（1）如果三角形的三個內角都相等，那么這個三角形是 三角形；（2）如果三角形的一個內角等于另外兩個內角之和，那么這個三角形是 三角形；（3）如果三角形的兩個內角都小于40°，那么這個三角形是 三角形.
2.如果直角三角形的一個銳角是另一個銳角的4倍,那么這個銳角的度數(shù)是(　　)A.18°B.36°C.54°D.72°
1.圖中共有　　 　個三角形 (　　)?A.1B.2 C.3 D.4
3.如圖所示，在△ABC中，點D在AB上,點E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，則∠B的大小為(　　)A.54° B.62° C.64° D.74°
4.如果一個三角形的三個內角的度數(shù)之比為1∶2∶3,那么這個三角形中最大的一個內角等于　　　　度.?
5.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D,若∠ABC=25°，則∠ACD=　　　　°.?
6.如圖所示，已知∠AON=40°，P是射線ON上一動點，當△AOP為直角三角形時，∠A的度數(shù)為　 　　 　.?
解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠BCD=90°.又∵∠1=∠B,∴∠B+∠BCD=90°.∴∠BDC=90°.∴CD⊥AB.
(2)∵∠A=28°,∠ACB=90°,∴∠B=90°-28°=62°.∵∠BCD+∠B=90°,∴∠BCD=90°-∠B=28°.
7.如圖所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.(1)試說明:CD⊥AB；(2)如果∠A=28°,求∠B和∠BCD的度數(shù).

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1 認識三角形

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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