TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc24084" 【考點1 三角形的三邊關系】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc2636" 【考點2 三角形的角平分線、中線、高】 PAGEREF _Tc2636 \h 2
\l "_Tc30207" 【考點3 三角形的內角和定理】 PAGEREF _Tc30207 \h 3
\l "_Tc32320" 【考點4 三角形的外角性質】 PAGEREF _Tc32320 \h 5
\l "_Tc28189" 【考點5 等腰三角形的判定與性質】 PAGEREF _Tc28189 \h 7
\l "_Tc1177" 【考點6 等邊三角形的判定與性質】 PAGEREF _Tc1177 \h 10
\l "_Tc20255" 【考點7 含30度角的直角三角形的性質】 PAGEREF _Tc20255 \h 12
\l "_Tc17680" 【考點8 角平分線的判定與性質】 PAGEREF _Tc17680 \h 14
\l "_Tc9310" 【考點9 垂直平分線的判定與性質】 PAGEREF _Tc9310 \h 15
\l "_Tc15872" 【考點10 勾股定理】 PAGEREF _Tc15872 \h 17
\l "_Tc6572" 【考點11 勾股定理的逆定理】 PAGEREF _Tc6572 \h 19
\l "_Tc24418" 【考點12 勾股定理的應用】 PAGEREF _Tc24418 \h 20
\l "_Tc19649" 【考點13 直角三角形斜邊的中線的性質】 PAGEREF _Tc19649 \h 22
\l "_Tc12049" 【考點14 三角形中位線的定理】 PAGEREF _Tc12049 \h 23
【要點1 三角形的三邊關系】
三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.
在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段
長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
【考點1 三角形的三邊關系】
【例1】（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【變式1-1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【變式1-2】（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）八一中學校九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是和．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習）如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)的取值范圍是___．
【考點2 三角形的角平分線、中線、高】
【例2】（2022·浙江·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（ ）
①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【變式2-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A．線段CD是ABC的AC邊上的高線B．線段CD是ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是ABC的BC邊上的高線D．線段AD是ABC的AC邊上的高線
【變式2-2】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是中線的中點．若的面積是1，則的面積是______．
【變式2-3】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，具有性質：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為 _____．
【要點2 三角形的內角和定理】
三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且
小于180°．三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
【考點3 三角形的內角和定理】
【例3】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點E．P是邊BC上的動點（不與B，C重合），連結AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結DC，記∠BCD=α．
(1)如圖，當P與E重合時，求α的度數(shù)．
(2)當P與E不重合時，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關系．
【變式3-1】（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在和中，，，，且點D在線段上，連．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式3-2】（2022·浙江麗水·校聯(lián)考三模）如圖，中，平分交于點，在射線上截取，過點作交直線于點．
(1)試判斷四邊形是何種特殊的四邊形？并證明你的結論；
(2)當，時，四邊形能是正方形嗎？如果能，求出此時的度數(shù)；如果不能，試說明理由；
(3)題目改為“平分的外角交直線于點，在射線的反向延長線上截取”，設．其他條件不變，四邊形能是正方形嗎？如果能，求出此時的度數(shù)（用關于的關系式表示）；如果不能，試說明理由．
【變式3-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角．
(1)若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為 ；若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為 ；（用的代數(shù)式表示）
(2)如圖1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截?。笞C：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如圖2，在（2）的情況下，作交AC于點F，將△BFC沿BF折疊得到，交AC于點P，若，設，求∠CPB的度數(shù)．
【要點3 三角形的外角】
三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
【要點4 三角形的外角性質】
①三角形的外角和為360°；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大
于和它不相鄰的任何一個內角．
【考點4 三角形的外角性質】
【例4】（2022·浙江寧波·?？寄M預測）如圖1，在中，，，作平分線交于點F，以為邊作等腰直角，且，如圖2將繞點F每秒的速度順時針旋轉得到三角形（當點D落在射線上時停止旋轉），則旋轉時間為t秒．
(1)當t＝ 秒，；
(2)在旋轉過程中，與的交點記為M，如圖3，若為等腰三角形，求t的值；
(3)當邊與邊、分別交于點P、Q時，如圖4，連接，設，，，試探究x，y，z之間的關系．
【變式4-1】（2022·浙江紹興·一模）（1）問題背景
如圖①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點C作CE⊥BD，交直線BD于E，CE交直線BA于M．探究線段BD與CE的數(shù)量關系得到的結論是________．
（2）類比探索
在（1）中，如果把BD改為△ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BD與CE的數(shù)量關系為________．
【變式4-2】（2022·四川內江·統(tǒng)考模擬預測）探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點B、C，若，則_____°；
②如圖3，平分，平分，若，，則______°；
③如圖4，，的10等分線相交于點，，…，，若，，求的度數(shù)．
【變式4-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學校?？级＃?）模型研究如圖①，在中，，為邊延長線上一點，且則______；
（2）模型應用如圖②，在中，若，，求的長；
（3）模型遷移如圖③，點為邊上一點，，，交的延長線于若，，求的面積．
【要點5 等腰三角形】
（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性質
①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.
【考點5 等腰三角形的判定與性質】
【例5】（2022·江蘇泰州·模擬預測）過三角形的頂點作射線與其對邊相交，將三角形分成兩個三角形．若得到的兩個三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“友好分割線”．
(1)下列三角形中，不存在“友好分割線”的是______（只填寫序號）．
①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為的等腰三角形．
(2)如圖，在中，，，直接寫出被“友好分割線”分得的等腰三角形頂角的度數(shù)；
(3)如圖，中，，為邊上的高，，為的中點，過點作直線交于點，作，，垂足為，若射線為的“友好分割線”，求的最大值．
【變式5-1】（2022·山東威海·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點，，點在第一象限，，，點在線段上，，的延長線與的延長線交于點，與交于點．
(1)點的坐標為：______（用含，的式子表示）；
(2)求證：；
(3)設點關于直線的對稱點為，點關于直線的對稱點為，求證：，關于軸對稱．
【變式5-2】（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；
圖1
(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系并說明理由.
圖2
【變式5-3】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，，EP與正方形的外角的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；
(1)【思考嘗試】同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．
(2)【實踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），是等腰直角三角形，，連接CP，可以求出的大小，請你思考并解答這個問題．
(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），是等腰直角三角形，，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出周長的最小值．當時，請你求出周長的最小值．
【要點6 等邊三角形】
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
【考點6 等邊三角形的判定與性質】
【例6】（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學校?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，等邊三角形的頂點的坐標為，動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度，沿路線向終點勻速運動，設運動時間為秒，連接，線段的中點為點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．
(1)求證：；
(2)當時，求點的坐標；
(3)在點的運動過程中，能否成為直角三角形？若能，直接寫出滿足條件的所有的值；若不能，說明理由；
(4)在點從起點向終點運動的過程中，直接寫出點所經(jīng)過的路徑長．
【變式6-1】（2022·四川南充·模擬預測）如圖，是等邊三角形，交的延長線于點，為的中點，射線交于，在上，，連接，．求證：是等邊三角形．
【變式6-2】（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）和均為等邊三角形，點E、D分別從點A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿運動，運動到點B、C停止.
(1)如圖1，當點E、D分別與點A、B重合時，請判斷：線段的數(shù)量關系是____________，位置關系是____________；
(2)如圖2，當點E、D不與點A，B重合時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
(3)當點D運動到什么位置時，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明.
【變式6-3】（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；
②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
【要點7 含30°角的直角三角形】
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
【考點7 含30度角的直角三角形的性質】
【例7】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形．若，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【變式7-1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對角線相交于點O，，若過點O且與邊分別相交于點E，F(xiàn)，設，則y關于x的函數(shù)圖像大致為（ ）
A．B．C．D．
【變式7-2】（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為射線上一點，為射線上一點，．以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；…，按此規(guī)律進行下去，則的面積___________．
【變式7-3】（2022·遼寧錦州·中考真題）在中，，點D在線段上，連接并延長至點E，使，過點E作，交直線于點F．
(1)如圖1，若，請用等式表示與的數(shù)量關系：____________．
(2)如圖2．若，完成以下問題：
①當點D，點F位于點A的異側時，請用等式表示之間的數(shù)量關系，并說明理由；
②當點D，點F位于點A的同側時，若，請直接寫出的長．
【要點8 角平分線的性質】
角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
用符號語言表示角的平分線的性質定理：
若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.
【要點9 角平分線的判定】
角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
用符號語言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
【考點8 角平分線的判定與性質】
【例8】（2022·湖北省直轄縣級單位·中考真題）如圖，已知和都是等腰三角形，，交于點F，連接，下列結論：①；②；③平分；④．其中正確結論的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式8-1】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．
【變式8-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知的平分線交于點E，且．將沿折疊使點C與點E恰好重合．下列結論正確的有：__________（填寫序號）
①
②點E到的距離為3
③
④
【變式8-3】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知是的角平分線，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，，與的面積之和為S．
(1)填空：當，，時，
①如圖1，若，，則_____________，_____________；
②如圖2，若，，則_____________，_____________；
(2)如圖3，當時，探究S與m、n的數(shù)量關系，并說明理由：
(3)如圖4，當，，，時，請直接寫出S的大?。?br>【要點10 線段垂直平分線的性質】
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這
條線段的垂直平分線上.
【要點11 線段垂直平分線的判定】
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）
【考點9 垂直平分線的判定與性質】
【例9】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，分別以、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點、，連接，若直線恰好過點與邊交于點，連接，則下列結論錯誤的是（ ）
A．B．若，則
C．D．
【變式9-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分別以點A和C為圓心，以大于AC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P和點Q，作直線PQ分別交BC，AC于點D和點E．若CD=3，則BD的長為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式9-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．
【變式9-3】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）問題提出
(1)如圖1，是等邊的中線，點P在的延長線上，且，則的度數(shù)為__________．
問題探究
(2)如圖2，在中，．過點A作，且，過點P作直線，分別交于點O、E，求四邊形的面積．
問題解決
(3)如圖3，現(xiàn)有一塊型板材，為鈍角，．工人師傅想用這塊板材裁出一個型部件，并要求．工人師傅在這塊板材上的作法如下：
①以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D，連接；
②作的垂直平分線l，與于點E；
③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交直線l于點P，連接，得．
請問，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？請證明你的結論．
【要點12 勾股定理】
在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么+=．
【考點10 勾股定理】
【例10】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點、、、在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，與相交于點，小正方形的邊長為1，則的長等于（ ）
A．2B．C．D．
【變式10-1】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．
【變式10-2】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉（），，，連接，．
(1)如圖，求證：≌；
(2)直線與相交于點．
如圖，于點，于點，求證：四邊形是正方形；
如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉的過程中，線段長度的最小值．
【變式10-3】（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點在直線上，連接，將繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，．
(1)求證：；
(2)當點在線段上（點不與點，重合）時，求的值；
(3)過點作交于點，若，請直接寫出的值．
【要點13 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三邊長a，b，c滿足+=，那么這個三角形就是直角三角形．
【考點11 勾股定理的逆定理】
【例11】（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是等邊三角形內一點，，，，則與的面積之和為（ ）
A．B．C．D．
【變式11-1】（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分別是邊AC，BC上的點，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設CM=a，CN=b，若ab=8．
(1)判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；
(2)①當a=b時，求∠ECF的度數(shù)；
②當a≠b時，①中的結論是否成立？并說明理由．
【變式11-2】（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)網(wǎng)格中的形狀是________；
(2)在圖①中確定一點D，連結、，使與全等：
(3)在圖②中的邊上確定一點E，連結，使：
(4)在圖③中的邊上確定一點P，在邊BC上確定一點Q，連結，使，且相似比為1：2．
【變式11-3】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在中，，D為內一點，連接，，延長到點，使得
(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；
(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．
【考點12 勾股定理的應用】
【例12】（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃┮凰覞O船從港口沿北偏東60°方向航行60海里到達處時突然發(fā)生故障，位于港口正東方向的處的救援艇接到信號后，立即沿北偏東45°方向以40海里/小時的速度前去救援，救援艇到達處所用的時間為（ ）
A．小時B．小時C．小時D．小時
【變式12-1】（2022·福建福州·福建省福州教育學院附屬中學?？寄M預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載這樣一個問題，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何?”譯文為；“現(xiàn)在有一根直立的木柱，用一根繩索綁住木柱的頂端，另一端自由下垂，則繩索比木柱多三尺；將繩索的另一端靠地拉直，此時距離木柱的底端八尺，問這條繩索的長度是多少?”根據(jù)題意，求得繩索的長度是（ ）
A．9尺B．9尺C．12尺D．12尺
【變式12-2】（2022·四川綿陽·校聯(lián)考中考模擬）如圖，長、寬、高分別為2，1，1的長方體木塊上有一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著長方體的外表面爬到頂點B，則它爬行的最短路程是（ ）
A．B．3C．D．
【變式12-3】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在東西方向的海面線MN上，有A，B兩艘巡邏船和觀測點D（A，B，D在直線MN上），兩船同時收到漁船C在海面停滯點發(fā)出的求救信號．測得漁船分別在巡邏船A，B北偏西30°和北偏東45°方向，巡邏船A和漁船C相距120海里，漁船在觀測點D北偏東15°方向．（說明：結果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）
(1)求巡邏船B與觀測點D間的距離；
(2)已知觀測點D處45海里的范圍內有暗礁．若巡邏船B沿BC方向去營救漁船C有沒有觸礁的危險？并說明理由．
【要點14 直角三角形斜邊的中線】
在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
【考點13 直角三角形斜邊的中線的性質】
【例13】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是正方形的中心，．中，過點D，分別交于點G，M，連接．若，則的周長為___________．
【變式13-1】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，點，分別是，的中點，點在上，且，則________．
【變式13-2】（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點，分別在，上，將沿直線翻折，點的對應點恰好落在上，連接，若，則的長為_________．
【變式13-3】（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉一定角度，得到，當射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，求的長．
【要點15 三角形的中位線定理】
定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
【考點14 三角形中位線的定理】
【例14】（2022·山西·中考真題）綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；
問題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當時，求線段CN的長；
（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．
【變式14-1】（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形中，和相交于點O，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點，連接，若，求的周長．
【變式14-2】（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．
（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：
（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展應用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．
【變式14-3】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點處有個吊燈 的中點為

(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長度．
(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓相切，為切點，為上一點，為入射光線，為反射光線，求的長度．
(3)如圖③，是線段上的動點，為入射光線，為反射光線交圓于點在從運動到的過程中，求點的運動路徑長．

相關試卷

中考數(shù)學總復習舉一反三系列(通用版)專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(強化訓練)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學總復習舉一反三系列(通用版)專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(強化訓練)(原卷版+解析)，共142頁。

中考數(shù)學總復習舉一反三系列(通用版)專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學總復習舉一反三系列(通用版)專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(原卷版+解析)，共118頁。

中考數(shù)學總復習專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(強化訓練)(全國版)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學總復習專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(強化訓練)(全國版)(原卷版+解析)，共140頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

中考數(shù)學總復習專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)

中考數(shù)學總復習專題15三角形及其性質(14個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)
（全國通用）中考數(shù)學總復習 專題06 分式方程及其應用（10個高頻考點）（舉一反三）（原卷版+解析）

（全國通用）中考數(shù)學總復習 專題06 分式方程及其應用（10個高頻考點）（舉一反三）（原卷版+解析）
（全國通用）中考數(shù)學總復習 專題15 三角形及其性質（14個高頻考點）（舉一反三）（原卷版+解析）

（全國通用）中考數(shù)學總復習 專題15 三角形及其性質（14個高頻考點）（舉一反三）（原卷版+解析）
（全國通用）中考數(shù)學總復習 專題15 三角形及其性質（14個高頻考點）（強化訓練）（原卷版+解析）

（全國通用）中考數(shù)學總復習 專題15 三角形及其性質（14個高頻考點）（強化訓練）（原卷版+解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部