TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc13622" 【考點(diǎn)1 尺規(guī)作線段或角】 PAGEREF _Tc13622 \h 1
\l "_Tc22982" 【考點(diǎn)2 尺規(guī)作三角形】 PAGEREF _Tc22982 \h 2
\l "_Tc5674" 【考點(diǎn)3 尺規(guī)作角平分線】 PAGEREF _Tc5674 \h 4
\l "_Tc18998" 【考點(diǎn)4 尺規(guī)作垂線或垂直平分線】 PAGEREF _Tc18998 \h 5
\l "_Tc31774" 【考點(diǎn)5 尺規(guī)作等腰三角形】 PAGEREF _Tc31774 \h 7
\l "_Tc7984" 【考點(diǎn)6 尺規(guī)作圓】 PAGEREF _Tc7984 \h 9
\l "_Tc25287" 【考點(diǎn)7 尺規(guī)作圓的切線】 PAGEREF _Tc25287 \h 9
\l "_Tc19471" 【考點(diǎn)8 尺規(guī)作正多邊形】 PAGEREF _Tc19471 \h 12
\l "_Tc1218" 【考點(diǎn)9 格點(diǎn)作圖】 PAGEREF _Tc1218 \h 13
\l "_Tc2808" 【考點(diǎn)10 無(wú)刻度直尺作圖】 PAGEREF _Tc2808 \h 14
【考點(diǎn)1 尺規(guī)作線段或角】
【例1】（2022·江蘇揚(yáng)州·校考二模）如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，能得出的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：
如圖，已知線段m，n．求作，使．
【變式1-2】（2022·廣東韶關(guān)·校考二模）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接DE．
(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在CD的延長(zhǎng)線上截取線段DF，使；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，連接AF．求證：△AFD≌△DEC．
【變式1-3】（2022·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）已知：如圖，在中，．
求作：射線，使得 ．
下面是小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．
作法：如圖
①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)；
②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與中作的弧在內(nèi)部交于點(diǎn)；
④作射線所以射線就是所求作的射線．
根據(jù)小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，請(qǐng)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形保留作圖痕跡，并完成證明．
【考點(diǎn)2 尺規(guī)作三角形】
【例2】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）初中階段有五種基本尺規(guī)作圖，分別是：①作一條線段等于已知線段；②作一個(gè)角等于已知角；③作一個(gè)角的平分線；④作一條線段的垂直平分線；⑤過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線．
數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下題目：如圖1，已知線段m，n．運(yùn)用尺規(guī)作圖畫出，使斜邊，一條直角邊．
(1)如圖2是小亮所作的，并保留了作圖痕跡．小亮的作圖過(guò)程用到的基本作圖有____________；（填序號(hào)）
(2)請(qǐng)你用一種與小亮不同的尺規(guī)作圖方法再作一個(gè)，使?jié)M足上述條件．（不寫作法，但保留作圖痕跡）
【變式2-1】（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，已知△ABC，請(qǐng)根據(jù)“SAS”基本事實(shí)，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
【變式2-2】（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）已知∠α，線段a，b，請(qǐng)按要求作圖并回答問(wèn)題；
(1)作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；
(2)已知∠α＝45°，a＝4，b＝7，求△ABC的面積．
【變式2-3】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）求證：若為銳角，則．要求：
(1)如圖，銳角和線段，用尺規(guī)作出一個(gè)以線段為直角邊，為內(nèi)角，為的（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．
【考點(diǎn)3 尺規(guī)作角平分線】
【例3】（2022·陜西西安·校考一模）如圖，在四邊形中，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在四邊形的邊上求作一點(diǎn)E，使（保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式3-1】（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）尺規(guī)作圖：如圖，已知正方形，在邊CD上求作一點(diǎn)P，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式3-2】（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．
(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)求證：AD＝AE．
【變式3-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知：，．
求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在內(nèi)部，且．
【考點(diǎn)4 尺規(guī)作垂線或垂直平分線】
【例4】（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風(fēng)”的風(fēng)景，引來(lái)市民和游客爭(zhēng)相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請(qǐng)?jiān)谒呛优c南環(huán)路之間設(shè)計(jì)一條停車帶，使得每個(gè)停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點(diǎn)的距離相等．
(1)利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在圖中格點(diǎn)處標(biāo)出三個(gè)符合條件的停車位，，；
(3)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，停車位，請(qǐng)寫出與之間的關(guān)系式，在圖中畫出停車帶，并判斷點(diǎn)是否在停車帶上．
【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知中，，，．
(1)作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，連接，求的周長(zhǎng)．
【變式4-2】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，BD是它的一條對(duì)角線，
(1)求證：；
(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(3)連接BE，若，求的度數(shù)．
【變式4-3】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過(guò)程中，小明遇到了一個(gè)問(wèn)題：在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，試說(shuō)明的面積與矩形的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過(guò)點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：
證明：用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．
在和中，
∵，
∴．
又，
∴__________________①
∵，
∴__________________②
又__________________③
∴．
同理可得__________________④
∴．
【考點(diǎn)5 尺規(guī)作等腰三角形】
【例5】（2014·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E．求證：．（這個(gè)比值叫做AE與AB的黃金比．）
（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形．請(qǐng)你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC．
（注：直尺沒(méi)有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對(duì)作圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注）
【變式5-1】（2011·浙江杭州·中考真題）根據(jù)給出的下列兩種情況，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖？并舉例驗(yàn)證猜想所得結(jié)論．
（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作圖：
②猜想：
③驗(yàn)證：
（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．
①作圖：
②猜想：
③驗(yàn)證：
【變式5-2】（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．
已知：如圖，直線，點(diǎn)在直線上．
求作：等邊三角形，使其點(diǎn)，分別落在直線，上．
作法：①在直線上取點(diǎn)，連接，向右作等邊三角形，使點(diǎn)落在直線，之間；
②在直線上取點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），作交直線于點(diǎn)；
③在射線上截??；
④連接，，．
就是所求作的等邊三角形．
(1)使用直尺和圓規(guī)，依上述作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)請(qǐng)你根據(jù)上述作法，證明所求作的等邊三角形．
【變式5-3】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明)．
(1)△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；
(2)△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．
【考點(diǎn)6 尺規(guī)作圓】
【例6】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）已知：．求作：的外接圓內(nèi)的點(diǎn)P，使，．請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
【變式6-2】（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．
(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．
【變式6-3】（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角中，．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若，的半徑為5，則________．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）
【考點(diǎn)7 尺規(guī)作圓的切線】
【例7】（2022·北京海淀·九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）已知：點(diǎn)，，在上，且．
求作：直線，使其過(guò)點(diǎn)，并與相切．
作法：①連接；
②分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于外一點(diǎn)；
③作直線．
直線就是所求作直線．
(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：連接，，
∵，
∴四邊形是菱形，
∵點(diǎn)，，在上，且，
∴______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．
∴四邊形是正方形，
∴，即，
∵為半徑，
∴直線為的切線（_________________）（填推理的依據(jù)）．
【變式7-1】（2022·北京海淀·九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）
已知：和外一點(diǎn)P．
求作：過(guò)點(diǎn)P的的切線，PB．
【變式7-2】（2022·北京海淀·九年級(jí)二模）探究：如圖①，點(diǎn)P在⊙O上，利用直尺（沒(méi)有刻度）和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，
小明所在的數(shù)學(xué)小組經(jīng)過(guò)合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．
作法一：
①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)B；
②分別以點(diǎn)B、P為圓心，OP為半徑作弧，交于點(diǎn)C；
③作直線PC．
作法二：
①作直徑PA的四等分點(diǎn)B、C；
②以點(diǎn)A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點(diǎn)D；
③分別以點(diǎn)A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E；
④作直線PE．
以上作法是否正確？選一個(gè)你認(rèn)為正確的作法予以證明．
【變式7-3】（2022秋·北京東城·九年級(jí)一模）下面是小美設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：點(diǎn)A在上．
求作：的切線．
作法： ①作射線；
②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C和點(diǎn)D；
③分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)B；
④作直線．
則直線即為所求作的的切線.
根據(jù)小美設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解決下面的問(wèn)題：
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
(2)完成下面的證明.
證明：連接，．
由作圖可知，
， ．
∴ ．
∵ 點(diǎn)A在上，
∴直線是的切線( ) (填寫推理依據(jù)) ．
【考點(diǎn)8 尺規(guī)作正多邊形】
【例8】（2022·福建·統(tǒng)考二模）尺規(guī)作圖特有的魅力使無(wú)數(shù)人沉湎其中．傳說(shuō)拿破侖曾通過(guò)下列尺規(guī)作圖將圓等分：
①將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)分點(diǎn)；
②分別以點(diǎn)A，D為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；
③連接OG，以O(shè)G長(zhǎng)為半徑，從點(diǎn)A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓等分．順次連接這些等分點(diǎn)構(gòu)成的多邊形面積為_____．
【變式8-1】（2022·陜西·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知AC為的直徑．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）
【變式8-2】（2022·山西太原·統(tǒng)考一模）已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A
（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（ 要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）
（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說(shuō)明理由．
【變式8-3】（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）如圖，已知等邊△ABC，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）
（1）作△ABC的外接圓圓心O；
（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)等邊△DFH，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上作出一個(gè)正六邊形DEFGHI．
【考點(diǎn)9 格點(diǎn)作圖】
【例9】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在4×4的方格紙中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求畫出格點(diǎn)線段（線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上），并寫出結(jié)論．
(1)在圖1中畫一條線段垂直．
(2)在圖2中畫一條線段平分．
【變式9-1】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？级＃┤鐖D，在6×7的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1， 的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)
(1)在圖①中，借助網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺畫出的高；
(2)在圖②中，連接點(diǎn)B與格點(diǎn)D．點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺確定點(diǎn)P、Q的位置，并畫出．
【變式9-2】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？级＃﹫D1、圖2均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出作法．
(1)在圖1中的線段上找一點(diǎn)D，連結(jié)，使；
(2)在圖2中的線段上找一點(diǎn)E，連結(jié)，使．
【變式9-3】（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格紙中，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)O、A、B均在格點(diǎn)上．僅用無(wú)刻度直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：
(1)在圖①中，作的中點(diǎn)M；
(2)在圖②中，作，使得．
【考點(diǎn)10 無(wú)刻度直尺作圖】
【例10】（2022秋·江西南昌·八年級(jí)南昌市三模）如圖，點(diǎn)D是等邊內(nèi)部一點(diǎn)，且，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．
(1)在圖①中上找一點(diǎn)E，使；
(2)若，在圖②中邊上分別找點(diǎn)M、N，使．
【變式10-1】（2022秋·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)?？计谀﹩?wèn)題：如圖，是的直徑，點(diǎn)C在內(nèi)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，作出中邊上的高．
小蕓解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下作圖過(guò)程．
作法：如圖，
①延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E；
②分別連接，并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)F；
③連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．
所以線段即為中邊上的高．
(1)根據(jù)小蕓的作法，補(bǔ)全圖形；
(2)完成下面的證明．
證明：是的直徑，點(diǎn)D，E在上，
______．（____________）（填推理的依據(jù)）
，．
，______是△ABC的兩條高線．
，所在直線交于點(diǎn)F，
直線也是的高所在直線．
是中邊上的高．
【變式10-2】（2022秋·江西宜春·九年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？计谀┤鐖D，和是全等的等邊三角形，點(diǎn)A，C，D在一條直線上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
(1)在圖1中，以AD為邊作一個(gè)直角三角形；
(2)在圖2中，以AD為邊作一個(gè)等腰三角形．
【變式10-3】（2022秋·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，線段與線段關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，按下列要求畫圖．
(1)在圖中畫出點(diǎn)；
(2)在圖中畫線段，使，且．

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