中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題15三角形及其性質(zhì)(14個(gè)高頻考點(diǎn))(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc24084" 【考點(diǎn)1 三角形的三邊關(guān)系】 PAGEREF _Tc24084 \h 1
\l "_Tc2636" 【考點(diǎn)2 三角形的角平分線、中線、高】 PAGEREF _Tc2636 \h 2
\l "_Tc30207" 【考點(diǎn)3 三角形的內(nèi)角和定理】 PAGEREF _Tc30207 \h 3
\l "_Tc32320" 【考點(diǎn)4 三角形的外角性質(zhì)】 PAGEREF _Tc32320 \h 5
\l "_Tc28189" 【考點(diǎn)5 等腰三角形的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc28189 \h 7
\l "_Tc1177" 【考點(diǎn)6 等邊三角形的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc1177 \h 10
\l "_Tc20255" 【考點(diǎn)7 含30度角的直角三角形的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc20255 \h 12
\l "_Tc17680" 【考點(diǎn)8 角平分線的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc17680 \h 14
\l "_Tc9310" 【考點(diǎn)9 垂直平分線的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc9310 \h 15
\l "_Tc15872" 【考點(diǎn)10 勾股定理】 PAGEREF _Tc15872 \h 17
\l "_Tc6572" 【考點(diǎn)11 勾股定理的逆定理】 PAGEREF _Tc6572 \h 19
\l "_Tc24418" 【考點(diǎn)12 勾股定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc24418 \h 20
\l "_Tc19649" 【考點(diǎn)13 直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc19649 \h 22
\l "_Tc12049" 【考點(diǎn)14 三角形中位線的定理】 PAGEREF _Tc12049 \h 23
【要點(diǎn)1 三角形的三邊關(guān)系】
三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.
在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段
長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
【考點(diǎn)1 三角形的三邊關(guān)系】
【例1】（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（）
A．1B．2C．7D．8
【變式1-1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【變式1-2】（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）八一中學(xué)校九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（）
A．1kmB．2kmC．3kmD．8km
【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如果方程(x?1)(x2?2x+k4)=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是___．
【考點(diǎn)2 三角形的角平分線、中線、高】
【例2】（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）
①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【變式2-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
【變式2-2】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是______．
【變式2-3】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為 _____．
【要點(diǎn)2 三角形的內(nèi)角和定理】
三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且
小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
【考點(diǎn)3 三角形的內(nèi)角和定理】
【例3】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD=α．
(1)如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．
(2)當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．
【變式3-1】（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連CE．
(1)求證：△ABD≌△ACE；
(2)若∠EAC=60°，求∠CED的度數(shù)．
【變式3-2】（2022·浙江麗水·校聯(lián)考三模）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在射線AB上截取AE=AC，過點(diǎn)E作EF∥BC交直線AD于點(diǎn)F．
(1)試判斷四邊形CDEF是何種特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)AB>AC，∠ABC=20°時(shí)，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，求出此時(shí)∠BAC的度數(shù)；如果不能，試說明理由；
(3)題目改為“AD平分∠BAC的外角交直線BC于點(diǎn)D，在射線AB的反向延長線上截取AE=AC”，設(shè)∠ABC=x．其他條件不變，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，求出此時(shí)∠BAC的度數(shù)（用關(guān)于x的關(guān)系式表示）；如果不能，試說明理由．
【變式3-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）一個(gè)角的余角的兩倍稱為這個(gè)角的倍余角．
(1)若∠1=30°，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；若∠1=α，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；（用α的代數(shù)式表示）
(2)如圖1，在△ABC中，AC>BC，在AC上截取CD=CB，在AB上截取AE=AD．求證：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如圖2，在（2）的情況下，作BF∥DE交AC于點(diǎn)F，將△BFC沿BF折疊得到ΔBFC′，BC′交AC于點(diǎn)P，若∠ABC=90°，設(shè)∠CBF=α，求∠CPB的度數(shù)．
【要點(diǎn)3 三角形的外角】
三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
【要點(diǎn)4 三角形的外角性質(zhì)】
①三角形的外角和為360°；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大
于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．
【考點(diǎn)4 三角形的外角性質(zhì)】
【例4】（2022·浙江寧波·校考模擬預(yù)測）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，作∠CAB平分線AF交BC于點(diǎn)F，以AF為邊作等腰直角△AFE，且∠AFE=90°，如圖2將△AFE繞點(diǎn)F每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形DFE（當(dāng)點(diǎn)D落在射線FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），則旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)t＝秒，DE∥AB；
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點(diǎn)記為M，如圖3，若△AMF為等腰三角形，求t的值；
(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)P、Q時(shí)，如圖4，連接AE，設(shè)∠BAE=x°，∠AED=y°，∠DFB=z°，試探究x，y，z之間的關(guān)系．
【變式4-1】（2022·浙江紹興·一模）（1）問題背景
如圖①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線BD于E，CE交直線BA于M．探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是________．
（2）類比探索
在（1）中，如果把BD改為△ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB=12AC，其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為________．
【變式4-2】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=_____°；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，則∠DCE=______°；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1，G2，…，G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度數(shù)．
【變式4-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？级＃?）[模型研究]如圖①，在△ABC中，AB=AC，D為邊BA延長線上一點(diǎn)，且∠C=n°.則∠CAD=______°；
（2）[模型應(yīng)用]如圖②，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB.若AB=3，BC=5，求AC的長；
（3）[模型遷移]如圖③，點(diǎn)P為△ABC邊AC上一點(diǎn)，∠PBC=13∠ABC=14∠BPC，CD⊥BP，交BP的延長線于D.若AC=a，BD=b(b0，點(diǎn)C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點(diǎn)P在線段OB上，OP=OA，AP的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)M，AB與CP交于點(diǎn)N．
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：______（用含m，n的式子表示）；
(2)求證：BM=BN；
(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為G，求證：D，G關(guān)于x軸對稱．
【變式5-2】（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：BD=CE；
圖1
(2)解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
圖2
【變式5-3】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角△DCG的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(1)【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問題．請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問題．
(2)【實(shí)踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個(gè)問題．
(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP．知道正方形的邊長時(shí)，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB=4時(shí)，請你求出△ADP周長的最小值．
【要點(diǎn)6 等邊三角形】
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個(gè)角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
【考點(diǎn)6 等邊三角形的判定與性質(zhì)】
【例6】（2022·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度，沿O→A路線向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接BP，線段BP的中點(diǎn)為點(diǎn)Q，將線段PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PC，連接AC．
(1)求證：∠CPA=∠OBP；
(2)當(dāng)t=23時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，直接寫出滿足條件的所有t的值；若不能，說明理由；
(4)在點(diǎn)P從起點(diǎn)O向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，直接寫出點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長．
【變式6-1】（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等邊三角形，CF⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)F，G為BC的中點(diǎn)，射線AG交CF于D，E在CF上，CE=AD，連接BD，BE．求證：△BDE是等邊三角形．
【變式6-2】（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）△ABC和△ADF均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿AB、BC運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C停止.
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請判斷：線段CD、EF的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEFD的面積是△ABC面積的一半，請直接寫出答案；此時(shí)，四邊形BDEF是哪種特殊四邊形？請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明.
【變式6-3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
【要點(diǎn)7 含30°角的直角三角形】
在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
【考點(diǎn)7 含30度角的直角三角形的性質(zhì)】
【例7】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，則OA的值為（）
A．3B．32C．2D．1
【變式7-1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°，若EF過點(diǎn)O且與邊AB,CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BE=x,OE2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致為（）
A．B．C．D．
【變式7-2】（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2，得△C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點(diǎn)A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2=60°,C2D2與射線OM交于點(diǎn)B3，得△C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點(diǎn)A3，以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3=60°,C3D3與射線OM交于點(diǎn)B4，得△C3B3B4；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△C2022B2022B2023的面積___________．
【變式7-3】（2022·遼寧錦州·中考真題）在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD并延長至點(diǎn)E，使DE=CD，過點(diǎn)E作EF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F．
(1)如圖1，若∠ACB=120°，請用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：____________．
(2)如圖2．若∠ACB=90°，完成以下問題：
①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請用等式表示AC,AD,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若DF=1,AD=3，請直接寫出AC的長．
【要點(diǎn)8 角平分線的性質(zhì)】
角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：
若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.
【要點(diǎn)9 角平分線的判定】
角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
用符號語言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
【考點(diǎn)8 角平分線的判定與性質(zhì)】
【例8】（2022·湖北省直轄縣級單位·中考真題）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于點(diǎn)F，連接AF，下列結(jié)論：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式8-1】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，則△ABC的周長為_____．
【變式8-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC,AB=AC,BC=16,AD⊥BC,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，且DE=4．將∠C沿GM折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合．下列結(jié)論正確的有：__________（填寫序號）
①BD=8
②點(diǎn)E到AC的距離為3
③EM=103
④EM∥AC
【變式8-3】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE與△BDF的面積之和為S．
(1)填空：當(dāng)∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，
①如圖1，若∠B=45°，m=52，則n=_____________，S=_____________；
②如圖2，若∠B=60°，m=43，則n=_____________，S=_____________；
(2)如圖3，當(dāng)∠ACB=∠EDF=90°時(shí)，探究S與m、n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：
(3)如圖4，當(dāng)∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4時(shí)，請直接寫出S的大?。?br>【要點(diǎn)10 線段垂直平分線的性質(zhì)】
線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這
條線段的垂直平分線上.
【要點(diǎn)11 線段垂直平分線的判定】
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）
【考點(diǎn)9 垂直平分線的判定與性質(zhì)】
【例9】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，分別以C、D為圓心，大于12CD為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N，連接MN，若直線MN恰好過點(diǎn)A與邊CD交于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．∠BCD=120°B．若AB=3，則BE=4
C．CE=12BCD．S△ADE=12S△ABE
【變式9-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于12AC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，作直線PQ分別交BC，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E．若CD=3，則BD的長為（）
A．4B．5C．6D．7
【變式9-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，AB=10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF=______________，F(xiàn)B+FD的最小值為______________．
【變式9-3】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）問題提出
(1)如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長線上，且AP=AC，則∠APC的度數(shù)為__________．
問題探究
(2)如圖2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．過點(diǎn)A作AP∥BC，且AP=BC，過點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．
問題解決
(3)如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC=45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：
①以點(diǎn)C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；
②作CD的垂直平分線l，與CD于點(diǎn)E；
③以點(diǎn)A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．
請問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論．
【要點(diǎn)12 勾股定理】
在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．
【考點(diǎn)10 勾股定理】
【例10】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于（）
A．2B．73C．625D．925
【變式10-1】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．
【變式10-2】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DE

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