中考數(shù)學總復習專題15三角形及其性質(zhì)(14個高頻考點)(強化訓練)(全國版)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

【考點1 三角形的三邊關系】
1．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
2．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）方程x2?7x+12=0的兩根是一個等腰三角形的兩邊長，則這個三角形的周長為（）
A．10B．11C．12D．10或11
3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)2等于_____．
4．（2022·山東棗莊·二模）問題探究：
小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC=4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE=AD，連接BE，證明△BED≌△CAD；請回答：
(1)小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；
(2)AD的取值范圍是；
(3)方法運用：如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連接BF并延長交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．
(4)如圖3，在矩形ABCD中， ABBC=12，在BD上取一點F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE＝12，點G是DF的中點，連接EG，CG，求證：EG＝CG．
5．（2022·河北·模擬預測）閱讀材料：若m2?2mn+2n2?4n+4=0，求m,n的值．
解：∵m2?2mn+2n2?4n+4=0，∴m2?2mn+n2+n2?4n+4=0
∴m?n2+n?22=0，∴m?n2=0， n?22=0， ∴n=2， m=2．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)a2+b2+6a?2b+10=0，則a＝，b＝．
(2)已知x2+2y2?2xy+8y+16=0，求xy的值．
(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+b2?4a?8b+18=0，求△ABC的周長．
【考點2 三角形的角平分線、中線、高】
6．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．
(1)在圖1中按下列步驟完成畫圖．
①畫出△ABC的高CD；
②畫△ACD的角平分線AE；
③畫點D關于AC的對稱點D′；
(2)如圖2，P是網(wǎng)格線上一點，過點P的線段MN分別交AB，BC于點M，N，且PM=PN，畫出線段MN．
7．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖在5×5的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上．（僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）
(1)在圖1中畫出△ABC的中線AD；
(2)在圖2中畫線段CE，點E在AB上，使得S△ACE：S△BCE＝2：3；
(3)在圖3中畫出△ABC的外心點O．
8．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E為BC的中點，以BC為底邊的等腰△BCD按如圖所示的位置擺放，且∠DBC=∠ABC．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．
(1)在圖1中作出△ABC的中線CM；
(2)在圖2中作出△ABC的中線BN．
9．（2022·江蘇泰州·模擬預測）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長分成兩部分的比是8：7，求邊AB，AC的長．
10．（2022·廣東·模擬預測）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE//BC．
（1）如圖1，如果點E是邊AC的中點，AC＝8，求DE的長；
（2）如圖2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的長．
【考點3 三角形的內(nèi)角和定理】
11．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．
(1)如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE與CF的數(shù)量關系是，位置關系是；
(2)如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．
①（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；
②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；
③若DM＝62，ED＝12，求EM的長．
12．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關系，并證明；
(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．
14．（2022·福建·模擬預測）如圖，△ABC與△BDE都是等腰三角形，AB=BC，BD=BE，∠BAC=∠BDE，連接AD，CE．求證：∠BAD=∠BCE．
【考點4 三角形的外角性質(zhì)】
16．（2022·四川宜賓·模擬預測）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．
(1)求證：BE=AD；
(2)求∠BPQ的度數(shù)；
(3)若PQ=3，PE=1，求AD的長．
17．（2022·安徽合肥·合肥市廬陽中學?？既＃┤鐖D，△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D、E分別是直線BC、AC邊上的點，直線AD、BE交于點F．
(1)如圖1，若∠AFE=α=60°，則BEAD=______；（直接寫出答案）
(2)如圖2，若∠AFE=α=45°，求BEAD的值；
(3)如圖3，若∠AFB=α，csα=512，求BEAD的值．
18．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求證：CE=CM．
(2)若AB=4，求線段FC的長．
19．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖
(1)如圖甲，已知：在ΔABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB；
(2)如圖乙，已知：在ΔABC中，∠A=45°，∠B=15°，AC=1，求AB．
20．（2022·江蘇鹽城·校考三模）（1）[問題情境]
小春在數(shù)學活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個圖形：
如圖1，點C是線段AB上一點，分別以AC、AB為底邊在線段AB的同側作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于點D．當P、Q、B在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：∠PAQ=∠CPB．請幫他解釋其中的道理；
（2）[問題探究]
如圖2，在上述情境下中的條件下，過點C作CE∥AP交PB于點E，若PD=2CD，PA=9，求CE的長．
（3）[類比應用]
如圖3，△ABC是某村的一個三角形魚塘，點D、E分別在邊AB、BC上，AE、CD的交點F為魚塘的釣魚臺，測量知道∠CAD=∠CDA=67.5°，∠CEA=2∠B，AD2=40000?200002m2，且DB=2AD．直接寫出CF的長為_______m．
【考點5 等腰三角形的判定與性質(zhì)】
21．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．
(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關系，并說明理由．
(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點O．若四邊形ABCD中有一個內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD的長．
22．（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）回顧：用數(shù)學的思維思考
(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．
②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
（從①②兩題中選擇一題加以證明）
(2)猜想：用數(shù)學的眼光觀察
經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應的點E，使得BD＝CE．進而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：
如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．
(3)探究：用數(shù)學的語言表達
如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．
23．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．
(1)當點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；
(2)將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點B′落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長PB′交直線AD于點F．
①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；
②連接B′C，求△PCB′周長的最小值；
③如圖2，BB′交AE于點H，點G是AE的中點，當∠EAB′=2∠AEB′時，請判斷AB與HG的數(shù)量關系，并說明理由．
24．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
(1)如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；
(2)將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α時
①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關系，并證明．
25．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）
(1)如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB,AC,BC上的點，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于點G，求證：DG=EG．
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接CD,CG．若CG⊥DE,CD=6,AE=3，求DEBC的值．
(3)如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°,AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F．若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10，求BF的長．
【考點6 等邊三角形的判定與性質(zhì)】
26．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，AC與BD都是直線l的垂線段，且BD在AC的右側，BD=2AC，AD與BC相交于點O．
(1)如圖1，若連接CD，則△BCD的形狀為______，AOAD的值為______；
(2)若將BD沿直線l平移，并以AD為一邊在直線l的上方作等邊△ADE．
①如圖2，當AE與AC重合時，連接OE，若AC=32，求OE的長；
②如圖3，當∠ACB=60°時，連接EC并延長交直線l于點F，連接OF．求證：OF⊥AB．
27．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點，連接PG、PC．
(1)如圖1，當點G在BC邊上時，寫出PG與PC的數(shù)量關系．（不必證明）
(2)如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并給予證明；
(3)如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜想（不必證明）．
28．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點P為線段AB上一動點．
(1)請直接寫出點B的坐標；
(2)若動點P滿足∠POB=45°，求此時點P的坐標；
(3)如圖2，若點E為線段OB的中點，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點A的對應點為A'，當PA'⊥OB時，求此時點P的坐標；
(4)如圖3，若F為線段AO上一點，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．
29．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．
求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．
①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若AE2+AG2=10，試求出正方形ABCD的面積．
30．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE=DB，延長ED交AB于點F，探究AFAB的值．
(1)先將問題特殊化．如圖（2），當∠BAC=60°時，直接寫出AFAB的值；
(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結論仍然成立．
問題拓展：如圖（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBC=1nnAE，即AB+AC>2AD．
(2)請根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：
如圖2，在△ABC中，D為BC的中點，AB=5，AC=3，AD=2．求△ABC的面積．
58．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，某海岸線MN的方向為北偏東75°，甲，乙兩船分別向海島C運送物資，甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，已知港口B到海島C的距離為30海里，求港口A到海島C的距離．
59．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學校考模擬預測）桌面上的某創(chuàng)意可折疊臺燈的平面示意圖如圖1所示，將其抽象成圖2，量得∠DCB=60°，∠CDE=165°﹔燈桿CD的長為30cm，燈管DE的長為20cm，底座AB的厚度為3cm，不考慮其他因素，求臺燈的高（點E到桌面的距離，結果保留根號）．
60．（2022·河南周口·周口市第一初級中學校考模擬預測）如圖，牧童在A處放牛，其家在C處，A、C到河岸L的距離分別為AB=2km，CD=4km且，BD=8km．
（1）牧童從A處將牛牽到河邊P處飲水后再回到家C，試確定P在何處，所走路程最短？請在圖中畫出飲水的位置（保留作圖痕跡），不必說明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
【考點13 直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)】
61．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為323，則CD的長為（）
A．4B．43C．8D．83
62．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F(xiàn)為CE中點．若AE=AD，DF=2，則BD的長為（）
A．22B．3C．23D．4
63．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在? ABCD中，AB=5，BC=8.E是邊BC的中點，F(xiàn)是? ABCD內(nèi)一點，且∠BFC=90°. 連接AF并延長，交CD于點G.若，則DG的長為（）
A．52B．32C．3D．2
64．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點E，點P是直線AB上的一個動點，則OP+PE的最小值是________．
65．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）已知∠MON=α，點A，B分別在射線OM,ON上運動，AB=6．
(1)如圖①，若α=90°，取AB中點D，點A，B運動時，點D也隨之運動，點A，B，D的對應點分別為A′,B′,D′，連接OD,OD′．判斷OD與OD′有什么數(shù)量關系?證明你的結論：
(2)如圖②，若α=60°，以AB為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC，求點O與點C的最大距離：
(3)如圖③，若α=45°，當點A，B運動到什么位置時，△AOB的面積最大?請說明理由，并求出△AOB面積的最大值．
【考點14 三角形中位線的定理】
66．（2022·廣東·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，點G為EF的中點，連接BD、DG．
(1)試判斷△ECF的形狀，并說明理由；
(2)求∠BDG的度數(shù)．
67．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖1，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連結DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點．
(1)觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關系是，位置關系是；
(2)探究證明把ΔADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連結MN、BD、CE，判斷ΔPMN的形狀，并說明理由；
(3)拓展延伸把ΔADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請直接寫出ΔPMN面積的最大值．
68．（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一動點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連接AE．
(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
(2)如圖2，當點D不與M重合時，MG∥DE交CE于點G，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．
(3)如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM，則∠CAM=_________．
69．（2022·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？既＃┤鐖D，在△ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線，DF⊥CE于F，CD=AE．
(1)求證：CF=EF；
(2)已知BC=13，CD=5，求△BEC的周長．
70．（2022·吉林長春·統(tǒng)考二模）（1）探究：如圖（1），點P在線段AB上，在AB的同側作△APC和△BPD，滿足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，連接CD，點E、F、G分別是AC、BD、CD邊中點，連接EF、FG、EG．求證：∠EFG＝∠GEF．
（2）應用：如圖（2），點P在線段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，圖（1）題中的其他條件不變，若EF＝2，則四邊形ABDC的面積為．

專題15 三角形及其性質(zhì)（14個高頻考點）（強化訓練）
【考點1 三角形的三邊關系】
1．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．
【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關系，知
A、1+2＝3，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；
B、3+4＞5，能夠組成三角形，故選項正確，符合題意；
C、5+4＜10，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；
D、2+6＜9，不能組成三角形，故選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查了三角形的三邊關系．解題的關鍵是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．
2．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）方程x2?7x+12=0的兩根是一個等腰三角形的兩邊長，則這個三角形的周長為（）
A．10B．11C．12D．10或11
【答案】D
【分析】先解一元二次方程求出三角形的兩邊長，再分其中一條邊長為底和腰兩種情況，結合構成三角形的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵x2?7x+12=0，
∴x?3x?4=0，
解得x=3或x=4，
∴等腰三角形的兩邊長為3、4，
當邊長為3的是腰長時，則三角形三邊長分別為3、3、4，能構成三角形，
∴此時等腰三角形的周長為3+3+4=10；
當邊長為3的是底邊長時，則三角形三邊長分別為3、4、4，能構成三角形，
∴此時等腰三角形的周長為3+4+4=11；
綜上所述，這個三角形的周長為10或11，
故選D．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，構成三角形的條件，正確求出方程的兩個解是解題的關鍵．
3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)2等于_____．
【答案】4
【分析】根據(jù)三角形三邊的關系得到3

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