NEIRONGSUOYIN
熱點(diǎn)一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算
熱點(diǎn)二　等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
熱點(diǎn)三　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題
熱點(diǎn)四　數(shù)列的遞推關(guān)系
1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1.
2.等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列；(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.
例1　(1)(2019·柳州模擬)已知點(diǎn)(n，an)在函數(shù)f(x)＝2x－1的圖象上(n∈N*).數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)bn＝ 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.則Tn的最小值為______.
則bn＝ ＝2n－12，∴{bn}是首項(xiàng)為－10，公差為2的等差數(shù)列，∴由bn≤0，得n≤6.
解析　∵點(diǎn)(n，an)在函數(shù)y＝2x－1的圖象上，∴an＝2n－1，∴{an}是首項(xiàng)為a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列，
解析　數(shù)列an是正項(xiàng)等比數(shù)列且q≠1，由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2，解得q＝2(負(fù)根舍去).
跟蹤演練1　(1)(2019·上饒重點(diǎn)中學(xué)六校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，若S8＝S10，則a18等于A.－4 B.－2 C.0 D.2
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S8＝S10，得a9＋a10＝0，所以2a1＋17d＝0，且a1＝2，
解析　由正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
易知q＝1時(shí)不成立，所以q≠1.
解析　因?yàn)閍1＝9，a5＝1，
(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝9，a5＝1，則使得Sn>0成立的n的最大值為____.
令Sn>0，得00，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
∵a4>0，∴a4＝8，∴l(xiāng)g2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7
跟蹤演練2　(1)(2019·鞍山模擬)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，若
A.2 B.4 C.6 D.8
解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
(3)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝130，則S40等于A.－510 或－510 D.30或40
解析　∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比數(shù)列，∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400.
解決數(shù)列的綜合問題的失分點(diǎn)(1)公式an＝Sn－Sn－1適用于所有數(shù)列，但易忽略n≥2這個(gè)前提；
例3　(1)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m＝____.
解析　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
所以an＝2n－3，n∈N*.
所以2m－3＝27，所以m＝15.
(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，a3＝4，T6＝27，數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，設(shè)cn＝an＋bn，則數(shù)列{cn}的前11項(xiàng)和S11等于A.1 062 B.2 124 C.1 101 D.1 100
解析　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.當(dāng)n≥2時(shí)，bn＋1－bn＝bn，∴bn＋1＝2bn，即數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，∴bn＝2n－2(n≥2)，
分組求和可得數(shù)列{cn}的前11項(xiàng)和S11＝(2＋3＋4＋…＋12)＋(1＋1＋2＋22＋…＋29)＝77＋210＝1 101.
跟蹤演練3　(1)(2019·黃岡、華師附中等八校聯(lián)考)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，且a2，a4，a7成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2n(n∈N*)，數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前3項(xiàng)和為A.31 B.34 C.62 D.59
即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于a1＝3，解得d＝1，故an＝n＋2.當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝21＝2，
故cn的前3項(xiàng)和為a1b1＋a2b2＋a3b3＝3×2＋4×2＋5×4＝34.
(2)用g(n)表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1,3,9，g(9)＝9,10的因數(shù)有1,2,5,10，g(10)＝5，那么g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(22 019－1)＝________.
解析　由g(n)的定義易知g(n)＝g(2n)，且若n為奇數(shù)則g(n)＝n，令f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n－1)，則f(n＋1)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n＋1－1)＝1＋3＋…＋(2n＋1－1)＋g(2)＋g(4)＋…＋g(2n＋1－2)
即f(n＋1)－f(n)＝4n，分別取n為1,2，…，n，并累加得
令n＝2 019，得：
由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式常用的方法(1)求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(注意驗(yàn)證)；(2)將已知遞推關(guān)系式整理、變形得到等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，或用累加法(適用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(適用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系數(shù)法(適用于an＋1＝pan＋q型)求通項(xiàng)公式.
例4　(1)(2019·上饒重點(diǎn)中學(xué)六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，且對(duì)任意整數(shù)n，總有(an＋1－1)(1－an)＝2an成立，則數(shù)列{an} 的前2 018項(xiàng)的和為A.588 B.589 C.2 018 D.2 019
解析　因?yàn)?an＋1－1)(1－an)＝2an，
即數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018
(2)(2019·永州模擬)設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且an＋1A.99 B.100 C.101 D.102
A.2＋nln n B.2n＋(n－1)ln nC.2n＋nln n D.1＋n＋nln n
n分別用1,2,3，…，n－1(n≥2)取代，
即an＝2n＋nln n(n≥2)，又a1＝2符合上式，故an＝2n＋nln n.
(2)(2019·漳州模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}首項(xiàng)均為1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，則S2 019等于
解析　由an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an可得an＋1＝an，即數(shù)列{an}是常數(shù)列，又?jǐn)?shù)列{an}的首項(xiàng)為1，所以an＝1，所以當(dāng)SnSn＋1≠0時(shí)，2SnSn＋1＋anbn＋1＝0可化為2SnSn＋1＋bn＋1＝0，因?yàn)镾n為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，
1.(2018·全國Ⅰ，理，4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5等于A.－12 B.－10C.10 D.12
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4，
將a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2.(2017·全國Ⅰ，理，12)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330 C.220 D.110
解析　設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推.
設(shè)N是第n＋1組的第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，
即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝lg2(n＋3)?n最小為29，
解析　根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則S3＝3a2＝3(a1＋d)，又由a1＝1，S3＝a5，得3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，則am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2 019，解得m＝1 010.
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，則m＝________.
解析　因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，點(diǎn)(n，an)(n∈N*)在經(jīng)過點(diǎn)(4,8)的定直線l上，∴a4＝8，
2.已知等差數(shù)列{an}中，若點(diǎn)(n，an)(n∈N*)在經(jīng)過點(diǎn)(4,8)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和S7＝____.
解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q>1.等比數(shù)列{an}中，a3－a1＝8，
所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－2＋bn－1＋bn，Sn＝16[1×30＋2×31＋3×32＋…＋(n－2)×3n－3＋(n－1)×3n－2＋n×3n－1]，3Sn＝16[1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－2)×3n－2＋(n－1)×3n－1＋n×3n]，兩式相減得
Sn＝8n×3n－4×3n＋4，故Sn＝(8n－4)×3n＋4.

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