2024-2025學年重慶市高二上學期1月期末數(shù)學檢測試題（附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若函數(shù)滿足，則（）
A．0B．1C．2D．-1
2．已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
3．設、是兩個不同的平面，直線，則“對內(nèi)的任意直線，都有”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知為等差數(shù)列，，.若數(shù)列滿足，記的前項和為，則（）
A．B．C．D．
5．已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項和.若對任意的，恒成立，則（）
A．是遞增數(shù)列B．是遞減數(shù)列
C．是遞增數(shù)列D．是遞減數(shù)列
6．已知曲線與x軸交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，則過A，B，C（A，B，C均不重合）三點的圓的半徑不可能為（）
A．B．C．1D．2
7．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
8．設分別為橢圓的左，右焦點，以為圓心且過的圓與x軸交于另一點P，與y軸交于點Q，線段與C交于點A．已知與的面積之比為，則該橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．普林斯頓大學的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”（Lkandsaysequence），該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項是前一項的“外觀描述”.例如：取第一項為1，將其外觀描述為“1個1”，則第二項為11；將11描述為“2個1”，則第三項為21；將21描述為“1個2，1個1”，則第四項為1211；將1211描述為“1個1，1個2，2個1”，則第五項為，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項即可依次推出數(shù)列后面的項.則對于外觀數(shù)列，則（）
A．若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字2；
B．若，則的最后一個數(shù)字均為；
C．可能既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
D．若，則均不包含數(shù)字4.
10．設拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則（）
A．軸B．C．D．
11．已知有兩個不同的極值點，則（）
A．B．
C．D．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．
13．若數(shù)列滿足，（），則 .
14．若函數(shù)在上存在唯一的零點，函數(shù)在上存在唯一的零點，且，則實數(shù)的取值范圍為．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15．已知函數(shù)在上是增函數(shù).為自然對數(shù)的底數(shù)
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：，其中
16．類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點的坐標均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標的點均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.

(1)已知直線過曲面上一點，以為方向向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點均在曲面上）；
(2)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時，過曲面上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設直線在曲面上，且過點，求異面直線與所成角的余弦值.
17．已知橢圓，過外一點作的兩條切線，分別交軸于兩點.
(1)記的傾斜角分別為.若，求的軌跡方程.
(2)求面積的最小值.
18．已知函數(shù)，將曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到曲線.
(1)證明：存在唯一的實數(shù)，使得曲線是某個函數(shù)的圖形，并求出；
(2)取，設是曲線圖象上任意一點，將曲線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到函數(shù)曲線，設函數(shù)的極小值為，求的單調(diào)性.
19．已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，記集合為函數(shù)所有的切線所構(gòu)成的集合，集合為集合中所有與函數(shù)有且僅有個公共點的切線所構(gòu)成的集合，其中，.
(1)若，判斷集合和的包含關系，并說明理由：
(2)若（），求集合中的元素個數(shù):
(3)若，證明：對任意，，為無窮集.
1．A
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復合函數(shù)求導法則兩邊分別求導，再賦值計算即得.
【詳解】由兩邊分別求導得：，
當時，，
所以.
故選：A
2．A
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)定義求出函數(shù)表達式，再結(jié)合導數(shù)和切線相關知識求解切線方程即可.
【詳解】因為
，
所以，
因為為奇函數(shù)，所以對恒成立，
所以，代入函數(shù)表達式得，
所以，則，
所以在處的切線方程為，即.
故選：A
3．A
【分析】利用線面垂直的定義、面面垂直的判定定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】因為、是兩個不同的平面，直線，
若對內(nèi)的任意直線，都有，根據(jù)線面垂直的定義可知，
，，
所以，“對內(nèi)的任意直線，都有”“”；
若，因為，對內(nèi)的任意直線，與的位置關系不確定，
所以，“對內(nèi)的任意直線，都有”“”.
因此，“對內(nèi)的任意直線，都有”是“”的充分而不必要條件.
故選：A.
4．B
【分析】求出等差數(shù)列的通項公式，可求得數(shù)列的通項公式，推導出數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，所以，，
，，
所以，，
則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
因此，.
故選：B
5．B
【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前項和,結(jié)合恒成立，得出的取值范圍，得到是遞減數(shù)列.
【詳解】是公比為的等比數(shù)列，為其前項和,
恒成立,恒成立,
若，則可能為正也可能為負，不成立
所以,
當是遞減數(shù)列,
當是遞減數(shù)列,
故選:B.
6．A
【分析】設出圓的方程，利用給定條件用m表示圓的半徑，并求出半徑的取值范圍即得.
【詳解】依題意，設點，則是方程的兩個實根，
，，
顯然點，當時，曲線過原點，點與點之一重合，不符合題意，則，
設過三點的圓方程為，由，得，
顯然是的兩個根，于是，
又，聯(lián)立解得，又，
因此，而當或時，，
所以過三點的圓的半徑的取值范圍是，BCD均可能，A不可能.
故選：A
7．D
【分析】設正項等比數(shù)列的公比為，推導出，，可得出，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.
【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，則，
所以，
，
則，則，可得，則，
所以，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
8．B
【分析】由題意可逐步計算出點A坐標，由點A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等式即可計算離心率.
【詳解】由題意可得、，，
則以為圓心且過的圓的方程為，
令，則，由對稱性，不妨取點在軸上方，即，
則，即，
有，則，
又，即有，即，
代入，有，即，
即在橢圓上，故，
化簡得，由，
即有，
整理得，即，
有或，
由，故舍去，即，
則.
故選：B.

方法點睛：求橢圓的離心率時，可將已知的幾何關系轉(zhuǎn)化為關于橢圓基本量a，b，c的方程，利用和轉(zhuǎn)化為關于的方程，通過解方程求得離心率．
9．BCD
【分析】由外觀數(shù)列的定義可判斷A和②；舉例子可判斷③；由反證法，結(jié)合外觀數(shù)列的定義可判斷④.
【詳解】對于A，當時，
由外觀數(shù)列的定義可得：，，，故A錯；
對于B，由外觀數(shù)列的定義可知，每次都是從左向右描述，
所以第一項的始終在最右邊，即最后一個數(shù)字，故B正確；
對于C，取，則，
此時既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故C正確；
對于D，當時，
由外觀數(shù)列的定義可得：，，，.
設第一次出現(xiàn)數(shù)字4，
則中必出現(xiàn)了4個連續(xù)的相同數(shù)字.
而的描述必須包含“個，個”，顯然的描述不符合外觀數(shù)列的定義.
所以當時，均不包含數(shù)字4，故D正確.
故選：BCD
關鍵點睛：本題考查數(shù)列的新定義、根據(jù)數(shù)列的遞推關系式寫出數(shù)列中的項及利用遞推關系式研究數(shù)列的性質(zhì).解題關鍵在于理解數(shù)列的新定義，明確數(shù)列的遞推關系式.
10．AC
【分析】設切線求交點根據(jù)兩根之和判斷A選項；特殊值法判斷B,C選項；根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷D選項.
【詳解】對于A選項：設,
,,
過點A切線為：①,
過點B切線為:②,
①②得
化簡可得
軸,A選項正確.
設
過A點的切線為,過B點的切線為,交點為
AB的中點為，所以不垂直,B選項錯誤；
,所以,D選項錯誤;
作拋物線準線的垂線 ,連接
則
顯然 ,所以
又因為由拋物線定義,得,故知是線段的中垂線,得到則
同理可證：,，
所以，即,
所以 ,即.
故選:AC.
11．BCD
【分析】
求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可知有2個正數(shù)根，從而可得根與系數(shù)的關系，結(jié)合判別式求得a的范圍，即可判斷A；求出的表達式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；求出的表達式，結(jié)合根與系數(shù)的關系式，即可判斷C；將化簡為，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義判斷，即可判斷D.
【詳解】由題意得，
由于有兩個不同的極值點，
即有2個正數(shù)根，則，，
故需滿足，解得，
對于A，，A錯誤；
對于B，，故，
令，，
即在上單調(diào)遞減，故，
即，B正確；
對于C，
，C正確；
對于D，
，
可看作曲線上兩點連線的斜率，
由于，，故不妨設，
由于，，則曲線在處的切線斜率為1，
由于，故連線的斜率小于1，即，
所以，即，D正確，
故選：BCD
難點點睛：解答本題的難點時選項D的判斷，解答時結(jié)合根與系數(shù)的關系將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義判斷，即可判斷該選項.
12．
【分析】先根據(jù)與相切，確定的值，再根據(jù)直線與相切，確定的值.
【詳解】因為與相切.
，設切點坐標為，則切線方程為.
因為切線過原點，所以：，故切點為，所以.
對函數(shù)，，由，
根據(jù)得切點縱坐標為：，
根據(jù)得切點縱坐標為：，
由，又由題可知.
故
關鍵點點睛：先根據(jù)的切線過原點，求出的值；求時，要注意切點即在曲線上，也在切線上，根據(jù)縱坐標相等列方程求解.
13．3268
【分析】
由數(shù)列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.
【詳解】由題意可得，作差得，
故
，
故3268
14．
【分析】根據(jù)可求得單調(diào)遞增，得到，可解得；由可知單調(diào)性，結(jié)合可確定，由此解得；取交集即可得到的范圍.
【詳解】恒成立，單調(diào)遞增，
又在上存在唯一的零點，，
即，解得：；
，又，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，，即，
解得：；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為.
關鍵點點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)零點求解參數(shù)范圍的問題，解題關鍵是能夠結(jié)合零點求得單調(diào)性，從而確定在區(qū)間端點處的符號，由此構(gòu)造不等式組求得參數(shù)范圍.
15．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)法處理即可.
（2）先用二次函數(shù)求和公式化簡原式，再利用放縮法證明即可.
【詳解】（1）由題意得函數(shù)在上是增函數(shù)，可得在上恒成立，
而，必有恒成立，
當時，恒成立，
當時，化簡得，
而，
令，，令，，
故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則此時，可得此時，
當時，因，恒成立，
綜上.
（2）欲證，
則需證即可，
由將上述不等式整理可得：
即證，
因即，
故即證即可，
令，其中，而，
故在上單調(diào)遞增，
因，，
故，即得證，
綜上必有，
即原不等式得證.
關鍵點點睛：本題考查用導數(shù)解決恒成立與證明不等式，第一小問解題關鍵是分析題意，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，采用分離參數(shù)法求解，第二小問解題關鍵是分析題意，利用求和公式，轉(zhuǎn)化為易證明的不等式問題，再利用放縮法證明即可.
16．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）設是直線上任意一點，由題意有，從而得點的坐標，代入曲面的方程驗證即可.
（2）設是直線上任意一點，直線的方向向量為，由題意有，可得點的坐標，代入曲面的方程，進而可求得的關系，可得，利用向量夾角公式求解即可得出答案.
【詳解】（1）設是直線上任意一點，而為直線的方向向量，則有，
從而存在實數(shù)，使得，即，
則，解得，即點，
顯然，
因此點的坐標總是滿足曲面的方程，所以直線在曲面上.
（2）直線在曲面上，且過點，
設是直線上任意一點，直線的方向向量為，則有，
從而存在實數(shù)，使得，即，
則，解得，即點，
由點在曲面上，得，
整理得，
依題意，對任意的實數(shù)有恒成立，
因此，且，解得，或，
不妨取，則，或，即，或，
又直線的方向向量為，
所以異面直線與所成角的余弦值均為.
17．(1)
(2)4
【分析】（1）設，，過點直線方程設為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式為0，結(jié)合韋達定理，求解點軌跡方程．
（2）根據(jù)點斜式可得的坐標，即可根據(jù)三角形面積公式得表達式，結(jié)合韋達定理，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.
【詳解】（1）設,，過點直線方程設為．
由，解得．
相切．
化簡得：．
，
點軌跡方程為．
（2）由（1）知：直線的斜率滿足，
且，，
在直線中，令，則，
因此,
故,
所以
,
由于，
當且僅當時，取等號，故面積的最小值為4.
方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用表示出來，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．
18．(1)證明見解析；
(2)證明見解析
【分析】（1）分析題意，轉(zhuǎn)化為交點問題處理即可.
（2）分析題意，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，求導數(shù)研究即可.
【詳解】（1）若存在是某個函數(shù)的圖形，則的方程為，順時針旋轉(zhuǎn)后，
得到，由題意得與有唯一公共點，
即與有唯一交點，可得一定是單調(diào)函數(shù)，
且，探得，此時一階導取得最小值，
故得一定是的拐點，
設，得，
故得，解得，即，故存在唯一的實數(shù)，
使得曲線是某個函數(shù)的圖形得證.
（2）對于，故設，，
設曲線繞點旋轉(zhuǎn)點為，
設，可得，，
則旋轉(zhuǎn)中心為原點時，會變?yōu)椋?br>而現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)中心為，設的極小值為，
則，
由題意知取，則，而，
設，
，令，，
令，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
顯然，，得，
由零點存在性定理得一定存在作為零點，
令，，令，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
思路點睛：借助參數(shù)方程解決旋轉(zhuǎn)問題，
對于，故設，，
設曲線繞點旋轉(zhuǎn)點為.
19．(1)，理由見解析
(2)1
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)所有的切線所構(gòu)成的集合，聯(lián)立方程，然后判斷解得個數(shù)，判斷集合和的包含關系.
（2）根據(jù)題意，出函數(shù)所有的切線所構(gòu)成的集合，聯(lián)立方程，根據(jù)判別式，求集合中的元素個數(shù).
（3）根據(jù)題意，依據(jù)單調(diào)性和極值證明.
【詳解】（1）函數(shù)在點（）處的切線斜率為，
切線方程為，
聯(lián)立和可得，即，解得，
即函數(shù)所有的切線與函數(shù)有且僅有1個公共點，故.
（2）函數(shù)在點（）處的切線斜率為，
切線方程為，
聯(lián)立和可得，
即有且僅有一個解，易知該解為，
由于方程的判別式，
故，此時，即集合中的元素個數(shù)為1.
（3）設，函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為.
設，函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為.
令，即，解得，
令，即，
即，令，，
，當且僅當時取到等號，
故在上嚴格增，，，，
故存在唯一的使得.
下證當時，.
當時，，：，聯(lián)立和可得，即.
令，，，當且僅當，時取到等號，
故在上嚴格增，，故有唯一解，即.
當，時，聯(lián)立和可得，
即.
令，，，
令，解得，.
極大值，
極小值，
極大值.
當，，嚴格減，，
若，則，，即有個解.
當，，嚴格增，，
若，則，，即有個解.
當，，
則，即有個解.
當，，
則，即有個解.
故當時，共有個解.
故對任意，，：，
其中，
由于函數(shù)具有周期性，同理可以證明存在，使得對任意，，：，根據(jù)的任意性可知為無窮集.
本題重點考察函數(shù)導數(shù)的幾何意義，求出切線方程，利用單調(diào)性極值綜合應用問題.
0
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極大值
極小值
極大值

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