重慶市南開中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義求.
【詳解】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為，結(jié)合題設(shè)及拋物線定義，則有.
故選：C
2. 已知數(shù)列滿足：，，則（）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)有，累加可得，即可求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，則，
即，則.
故選：B
3. 若橢圓離心率為，上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則橢圓短軸長為（）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系求短軸長即可.
【詳解】由題設(shè)，則，故，所以短軸長為.
故選：D
4. 已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則的值為（）
A. 1B. 3C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)為等腰直角三角形，進(jìn)而有圓心到直線距離為2，結(jié)合點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù).
【詳解】由題設(shè)，若為直角三角形，即，顯然為等腰直角三角形，
由圓的圓心，半徑為，
所以到直線的距離，可得.
故選：B
5. 已知為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，其中，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，再根據(jù)向量數(shù)量積公式化簡，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，可得最值.
【詳解】設(shè)，且，即，
又直線過原點(diǎn)，且雙曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
可得與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
則，
所以，，
即，
又，
即的最小值為，
故選：B.
6. 已知正方體中，為平面上一動(dòng)點(diǎn)，若到的距離與到的距離相等，則的軌跡為（）
A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
【答案】D
【解析】
【分析】若，根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征，化為到點(diǎn)距離與的距離相等，結(jié)合拋物線定義確定軌跡.
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面?br>，又，，平面，
所以平面，
若，顯然面，
由為平面上一動(dòng)點(diǎn)，平面，
所以，
因?yàn)榈降木嚯x與到的距離相等，
所以到點(diǎn)距離與的距離相等，
結(jié)合拋物線定義，軌跡是在平面內(nèi)，以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.
故選：D

7. 已知雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與雙曲線的兩條漸近線交于點(diǎn)M，N，設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，滿足，則直線l的斜率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題設(shè)在上，令且、，得，再求交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)列方程求參數(shù)k.
【詳解】由，則在線段的中垂線上，而，即在上，
設(shè)且、，則，又雙曲線準(zhǔn)線為，
聯(lián)立，則，，不妨令，
同理可得，則，
所以，所以直l的斜率為.
故選：A
8. 已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A，B為圓上兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，若恒成立，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)，數(shù)形結(jié)合判斷最大時(shí)位置，再應(yīng)用余弦定理求得，結(jié)合離心率范圍確定答案.
【詳解】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，只需此時(shí)即可，
顯然，此時(shí)為等腰三角形，且，
所以，則，
故，又，則橢圓的離心率范圍是.
故選：C
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知數(shù)列滿足：，則以下說法正確的是（）
A. 數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式判斷單調(diào)性，寫出相關(guān)項(xiàng)依次判斷其它各項(xiàng)正誤.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以為遞減數(shù)列，A對(duì)；
易知，則，B錯(cuò)；
由，故，C錯(cuò)；
由，故，D對(duì).
故選：AD
10. 如圖，，為雙曲線左右焦點(diǎn)，，為該雙曲線的兩條漸近線，到一條漸近線的距離為2，過的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)M，N，.則下列說法正確的是（）
A. B.
C. 的內(nèi)切圓半徑是D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解判斷A；根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求解判斷B；根據(jù)曲線的弦長公式和雙曲線定義以及直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求解判斷C；在直角三角形中，利用角的正切定義即可判斷D.
【詳解】由，可知，
不妨設(shè)到漸近線的距離為2，即，故A對(duì)；
所以，
設(shè)，又，
所以，即，故B對(duì)；
因?yàn)?，所以點(diǎn)M在以線段為直徑的圓上，且圓的方程額，
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線的右支上，不妨設(shè)M在第二象限，設(shè)，
由，
所以,
直線的方程為，設(shè),
由，消元得，
所以，
所以，
又，所以的內(nèi)切圓半徑為，故C錯(cuò)；
由，所以在直角中，，故D對(duì)；
故選：ABD
11. 如圖所示，橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0，雙曲線，雙曲線.三條曲線有相同的焦點(diǎn)，且，P，Q分別為橢圓E與雙曲線，的交點(diǎn).，三條曲線的離心率分別為e，，，則（）
A. B. 曲線E和在點(diǎn)Q處的切線互相垂直
C. D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)離心率的定義判斷A；根據(jù)曲線的切線性質(zhì)判斷B；根據(jù)橢圓和雙曲線的定義判定C；根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積求解即可判斷D
【詳解】因?yàn)槿龡l曲線有相同的焦點(diǎn)，且，所以，故A錯(cuò)；
曲線E在點(diǎn)Q處的切線為的頂角的外角平分線，曲線在點(diǎn)Q處的切線為的頂角的內(nèi)角角平分線，所以兩條切線垂直，故B對(duì)；
設(shè)，由橢圓和雙曲線定義可得，
又，
所以，故C對(duì)；
設(shè)與交于點(diǎn)H，
則，故D對(duì)，
故選：BCD
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線過點(diǎn)，并且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，寫出滿足條件的的一個(gè)方程________________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線的交點(diǎn)情況寫出一條符合題設(shè)的直線即可.
【詳解】由平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，又雙曲線漸近線為，
所以，其中一條符合要求的直線為，即.
故答案為：（答案不唯一）
13. 已知橢圓，是橢圓C的右頂點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)垂直于長軸的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則的面積為________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)有，，進(jìn)而有，即可求三角形面積.
【詳解】由題設(shè)，，將代入橢圓，得，則，
所以的面積為.
故答案為：
14. 已知拋物線，準(zhǔn)線為l，過的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，AP垂直l于點(diǎn)P，點(diǎn)C滿足，則的最小值為________________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理得，再結(jié)合拋物線定義及已知得，應(yīng)用基本不等式求最小值.
【詳解】由題設(shè)，可設(shè)，聯(lián)立拋物線得，，
若且，則，，故，
由拋物線定義知，，，
由，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.

故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，公差.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求n的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列及其求和公式的基本量的計(jì)算即可得解；
（2）直接由等差數(shù)列求和公式列方程即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，則，
解得，
所以；
【小問2詳解】
若，即，
解得或（舍去）.
16. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，，點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)，與C交于D，E兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得、，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求橢圓方程；
（2）由題設(shè)，可設(shè)，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式列方程求參數(shù)m，即可得直線方程.
【小問1詳解】
由，得，易知，
又且，可得，
所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，與橢圓沒有交點(diǎn)，不合題意，

可設(shè)，，聯(lián)立拋物線，
則，整理得，
所以，即，
則，，
所以
，
整理得，可得（負(fù)值舍），即，
所以，直線的方程為.
17. 如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠ABC＝45°，，E為棱PC上一動(dòng)點(diǎn).
（1）若E為PC中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PBC；
（2）若E是棱PC上靠近P的三等分點(diǎn)，求平面ABE和平面PBE夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)定理得，等腰三角形性質(zhì)得，最后根據(jù)線面垂直的判定證結(jié)論；
（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值即可.
【小問1詳解】
由題設(shè)，
所以，
由PA⊥平面ABCD，面，則，
又均在面內(nèi)，所以面，
由面，則，
因?yàn)?，且E為PC中點(diǎn)，則，
由均在面內(nèi)，所以AE⊥平面PBC；
【小問2詳解】
由（1），且四邊形ABCD為平行四邊形，則，
又PA⊥平面ABCD，故可構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，
由，則，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，
若平面ABE和平面PBE夾角為，則.
18. 已知，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離比到直線的距離小1.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E.
（1）求E的方程；
（2）設(shè)，過點(diǎn)P作E的切線，與直線l交于點(diǎn)K，直線PT與l交于點(diǎn)M，與拋物線交于另一點(diǎn)Q.
（i）證明：點(diǎn)K與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的乘積為定值；
（ii）設(shè)，，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）（i）證明見解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)并利用兩點(diǎn)距離公式列方程求軌跡方程；
（2）（i）由題意有，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線并結(jié)合相切關(guān)系求得，進(jìn)而有，即可求K坐標(biāo)，即可證；
（ii）由題意得，聯(lián)立與拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理最值即可.
【小問1詳解】
設(shè)，顯然，由題設(shè)，
所以，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
【小問2詳解】
由題意，可設(shè)直線，則，
（i）設(shè)直線，聯(lián)立，得，
因?yàn)榕c拋物線相切，所以，則，
所以，令，得，
而，所以，故點(diǎn)K與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的乘積為定值；
（ii）由題意，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
聯(lián)立，得，顯然，
所以，，則，，
所以，
綜上，，即目標(biāo)式最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.
19. 已知雙曲線，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為時(shí)，線段AB的中點(diǎn)為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線上有兩點(diǎn)P，Q滿足：，，其中，.已知，點(diǎn)P在雙曲線上.
（i）證明：點(diǎn)Q也在雙曲線上；
（ii）若，是否存在以PQ為直徑的圓，與y軸相切.若存在，求出圓的方程；若不存在，說明理由.
【答案】（1）；
（2）（i）證明見解析；（ii）不存在，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)題設(shè)求得，再應(yīng)用點(diǎn)差法得到，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得方程；
（2）（i）由題意，，先將代入雙曲線得到，再把代入雙曲線左側(cè)表達(dá)式化簡判斷否等于1，即可證；
（ii）設(shè)、，結(jié)合在上，得到、中橫縱坐標(biāo)關(guān)系，并化簡得直線的方程為，聯(lián)立雙曲線應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合等于2倍的圓心橫坐標(biāo)絕對(duì)值列方程求得、，進(jìn)而寫出圓的方程，即可判斷存在性.
【小問1詳解】
令直線，若，有，
設(shè)，則，作差并整理得，
代入斜率和中點(diǎn)得，又，可得，故雙曲線方程為.
【小問2詳解】
（i）由題意，，
由在雙曲線上，則，
整理得，
所以，
將代入雙曲線左側(cè)得
，
所以點(diǎn)Q也在雙曲線上；
（ii）設(shè)，而在上，
則中，滿足：
，
所以在直線上，同理也在直線上，即直線的方程為，
聯(lián)立雙曲線，，整理得，
所以，
，
所以，，則圓心橫坐標(biāo)為，
由題意，即，
所以，
當(dāng)時(shí)，，，顯然不存在；
所以，僅有，則，可得（負(fù)值舍），
所以圓心橫坐標(biāo)為，即圓的半徑，
直線，可得圓心縱坐標(biāo)為，
綜上，圓的方程為，此時(shí)直線與直線重合，
所以，不存在這樣的直線滿足要求.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，小問一：用參數(shù)表示出坐標(biāo)，根據(jù)的雙曲線上得到參數(shù)關(guān)系，再驗(yàn)證坐標(biāo)是否滿足雙曲線方程即可；小問二：根據(jù)坐標(biāo)得到直線的方程為為關(guān)鍵.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多