1．已知a為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知兩條直線(xiàn)，及平面，則下列推理正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若圓，圓，則圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直線(xiàn)的傾斜角為，則（ ）
A．-3B．C．D．
5．在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．0
6．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，且，則（ ）
A．B．4C．D．5
7．古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書(shū)中提出如下問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問(wèn)一月共施幾何？在這個(gè)問(wèn)題中，以一個(gè)月天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足等式，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列命題正確的是（ ）
A．已知非零向量，則“”是“”的必要不充分條件
B．已知x，y是實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)必要不充分條件是“”
C．命題“”的否定為“”
D．若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
10．已知空間四點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為D．四點(diǎn)共面
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則平面平面
B．若，則與所成角的取值范圍為
C．若，則平面
D．若，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．函數(shù)在點(diǎn)1,f1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，則實(shí)數(shù)
13．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則
14．在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，如圖甲所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線(xiàn)把和折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，如圖乙所示，則三棱錐外接球的體積是 ；過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是 .

四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上.
(1)求圓的方程：
(2)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程.
16．已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線(xiàn)，，求的最小值．
17．已知數(shù)列滿(mǎn)足．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，且．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求的前n項(xiàng)和．
18．如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為．
(1)求證：；
(2)若，求三棱臺(tái)的體積；
(3)若到平面的距離為，求的值．
19．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處及其附近用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為（其中表示的次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱(chēng)為函數(shù)在處的秦勒展開(kāi)式.例如在處的泰勒展開(kāi)式為.
(1)分別求和在處的泰勒展開(kāi)式；
(2)若上述泰勒展開(kāi)式中的可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明.（其中為虛數(shù)單位）；
(3)當(dāng)時(shí)，求證.
（參考數(shù)據(jù)）
答案
1．【正確答案】B
根據(jù)純虛數(shù)的知識(shí)求得，由此求得在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.
【詳解】∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù),
,∴復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.
故選：B.
2．【正確答案】D
【詳解】對(duì)于A,例如在正方體中平面, 平面,但是與相交，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B,根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，需要， ，故當(dāng)時(shí)，不能得到，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C,例如在正方體中，平面,但是不能得到平面,故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D,根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義即可判斷，，故D正確，
故選：D
3．【正確答案】B
【詳解】圓的圓心，半徑；
圓的圓心，半徑
∵，∴圓與圓相交，
兩圓相減，化簡(jiǎn)得直線(xiàn)，即為圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)，故B正確.
故選：B.
4．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，
所以.
所以.
故選：B.
5．【正確答案】A
【分析】連接，利用給定關(guān)系可得，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求解即得.
【詳解】連接，
由，得，
又，則
.
故選A.
6．【正確答案】B
【詳解】由正弦定理角化邊，可知，，且
則，，則，
則，①
由余弦定理，②
由①②得，，即.
故選：B
7．【正確答案】D
【詳解】由題設(shè)，是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，故，，
所以，即，，，
所以恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又，當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；
綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D
8．【正確答案】C
【詳解】是定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)是奇函數(shù)；
又，
所以，且；
即，
畫(huà)出不等式組表示的圖形，如圖所示，
所以表示圓弧上的點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，
所以結(jié)合圖象可得：的最大值是直線(xiàn)的斜率，為，
最小值是直線(xiàn)的斜率，不妨設(shè)為k，
則，
消去n，得，
整理得，
令，
化簡(jiǎn)得，
解得，
應(yīng)取為最小值；
所以的取值范圍是：．
故選：C．
9．【正確答案】ACD
【詳解】A選項(xiàng)，與垂直或，
，則由得不到，
由可得到，故“”是“”的必要不充分條件，A正確；
B選項(xiàng)，，.
則由可得到，由得不到，
則是的一個(gè)充分不必要條件，不是必要不充分條件，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由全稱(chēng)量詞命題否定概念可知”的否定為，C正確；
D選項(xiàng)，，由題，則，D正確.
故選：ACD
10．【正確答案】BD
【詳解】A：因?yàn)椋?br>所以，因此本選項(xiàng)不正確；
B：因?yàn)椋?br>所以，因此本選項(xiàng)正確；
C：，
，
所以
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；
D：因?yàn)椋?br>所以有，因此是共線(xiàn)向量，
所以四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)正確，
故選：BD
11．【正確答案】AC
【詳解】A項(xiàng)，如圖，取線(xiàn)段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.
，，
若，則，
則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在線(xiàn)段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；
由分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則與全等，
則，，
所以.
由平面，，
得平面，平面，所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正確；
B項(xiàng)，，
若，則，
則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在線(xiàn)段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，

由，
則
又，
所以，
，
因?yàn)椋瑒t，，
，因?yàn)榕c所成角銳角或直角，
故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)， 如圖，過(guò)作，交于，則為中點(diǎn).
延長(zhǎng)至，使，連接.
取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.

由，且，
得四邊形為平行四邊形，則，
由，則，則四點(diǎn)共面.
由，所以，
平面，平面，
則平面，同理，平面，
又平面，平面，，
故平面平面.
若，由，可得，
，，
則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在線(xiàn)段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；
又平面，
故平面，故C正確；
D項(xiàng)，如圖，連接.

若，由，可得，
，，
與C項(xiàng)同理可得，點(diǎn)P在線(xiàn)段NG上運(yùn)動(dòng).
連接，同選項(xiàng)B建系，
則有，
則，
，所以，
則，
故當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12．【正確答案】
【詳解】，
直線(xiàn)的斜率為，
由于在點(diǎn)1,f1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，
所以切線(xiàn)的斜率為，即.
故
13．【正確答案】4
【詳解】，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以是方程的兩根，
由韋達(dá)定理可得，所以都是正數(shù)，
在等比數(shù)列中，同號(hào)，且，
所以.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】對(duì)于第一空，由題意，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體，如圖所示，

三棱錐P?AEF外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，
所以外接球的直徑，所以，
所以三棱錐P?AEF外接球的體積為；
對(duì)于第二空，過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P?AEF的外接球所得截面為圓，
其中最大截面為過(guò)球心O的大圓，此時(shí)截面圓的面積為，
最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心O與M連線(xiàn)的圓，
此時(shí)截面圓半徑（其中長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體前后面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度），
則截面圓的面積為，
所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為.
故；.
15．【正確答案】(1)；
(2)和.
【詳解】（1）設(shè)圓心
依題意，的中點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，
顯然圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，由，解得，
因此圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，
所以圓的方程是．
（2）依題意，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)斜率存在，設(shè)該切線(xiàn)方程為，即，
于是，解得或，
所以所求切線(xiàn)方程為和.

16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，即，
又因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，即1a+1c=12，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.
17．【正確答案】(1)，，；
(2).
【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即有，而當(dāng)時(shí)，，有，滿(mǎn)足上式，
因此，
因?yàn)?，即有，則，即為等比數(shù)列，
而，因此，
所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，.
（2）由（1）知，，
則，
于是，
，
所以.
18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
(3)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接；如下圖所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因?yàn)椋?br>可得四邊形為等腰梯形，
且分別為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br>易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由二面角定義可得，二面角的平面角即為，
當(dāng)時(shí)，即，因此可得平面，
可知即為三棱臺(tái)的高，由可得；
易知三棱臺(tái)的上、下底面面積分別為，
因此三棱臺(tái)的體積為
（3）由（1）知，，，二面角的平面角即為；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的垂線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
可得，
易知，可得；
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，
令，則，可得；
顯然，
由到平面的距離為，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.
19．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)樵谔幍那乩照归_(kāi)式為：
（其中表示的次導(dǎo)數(shù)），
所以和在處的泰勒展開(kāi)式分別為：
；
；
（2）把在處的秦勒展開(kāi)式中的替換為，可得：
根據(jù)題意以及（1）可得該式子為：，
所以，即；
（3）由在處的泰勒展開(kāi)式，先證當(dāng)時(shí)，，
令，，，
，又，則，所以f″x在上單調(diào)遞增，
所以，所以f'x在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
再令，
則，易知在0,1在，在上，
所以在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，
所以當(dāng)時(shí)，gx>0恒成立，
則，
所以.

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