2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

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一、單選題（本大題共10小題）
1．直三棱柱中，若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知點(diǎn)，，若直線的斜率為，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為6，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．B．C．12D．
5．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（ ）
A．內(nèi)含B．相切C．相交D．外離
7．設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則（ ）
A．B．C．D．或
8．與平行，則（ ）
A．B．C．D．2
9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多選題（本大題共2小題）
11．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為
B．若直線與直線平行，則
C．直線與直線之間的距離是
D．已知，，點(diǎn)在軸上，則的最小值是5
12．以A（1，1），B(3，-5)兩點(diǎn)的線段為直徑的圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓心的坐標(biāo)為（2，2）B．圓心的坐標(biāo)為（2，-2）
C．圓心的坐標(biāo)為（-2，2）D．圓的方程是
E．圓的方程是
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，則的值是 .
14．直線與圓的位置關(guān)系是 .
15．三條直線與相交于一點(diǎn)，則的值為 .
16．在空間直角坐標(biāo)系中，直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成的角為 .
四、解答題（本大題共3小題）
17．求滿足下列條件的直線方程（要求把直線的方程化為一般式）：
(1)已知，，，求的邊上的中線所在的直線方程.
(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線的傾斜角的2倍，求的方程.
18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問(wèn)題：
(1)求證：；
(2)求異面直線EF與所成角的余弦值.
19．已知圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（4，0），且圓心在x軸上
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長(zhǎng)的值．
答案
1．【正確答案】D
【詳解】.
故選：D．
2．【正確答案】C
【詳解】若直線的斜率為，則，
所以，
故選：C.
3．【正確答案】C
【詳解】向量，則.
故選：C
4．【正確答案】C
【詳解】由題意知，，
又，所以，
即實(shí)數(shù)的值為12.
故選：C
5．【正確答案】D
【詳解】
以為原點(diǎn)，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，A1,0,0，，，，，
所以，，，．
因?yàn)?，所以?br>故選：D.
6．【正確答案】A
【詳解】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
則，故，所以?xún)蓤A內(nèi)含；
故選：A
7．【正確答案】D
【詳解】∵直線的方向向量為，平面的法向量為且，即，
∴或.
故選：D
8．【正確答案】B
【詳解】由與平行，得，所以.
故選：B
9．【正確答案】A
【詳解】經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線方程為，即.
故選：A.
10．【正確答案】A
【詳解】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故所求分別為，.
故選：A.
11．【正確答案】AC
【詳解】對(duì)于A，，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，直線與直線平行，所以，解得，故B正確；
對(duì)于C，直線與直線（即）之間的距離為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，已知，，點(diǎn)在軸上，如圖
取關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)，
所以的最小值是5，故D正確；
故選：AC.
12．【正確答案】BE
【詳解】AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則圓心的坐標(biāo)為
又，則圓的半徑為
所以圓的方程是
故選：BE
13．【正確答案】6
【詳解】∵，∴的法向量與的法向量也互相平行.
∴，∴.
故6.
14．【正確答案】相交
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以直線與圓相交.
故相交
15．【正確答案】3
【詳解】由，即三條直線交于，
代入，有.
故3
16．【正確答案】
【分析】應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值，即可得其大小.
【詳解】設(shè)直線與平面所成的角為，
則，所以.
故
17．【正確答案】(1)x+5y﹣15＝0
(2)4x﹣3y+5＝0
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t的中點(diǎn)，
因?yàn)榈倪吷系闹芯€過(guò)點(diǎn)，
所以的方程為，即，
故的邊上的中線所在的直線方程為；
（2）設(shè)直線的傾斜角為， 則，則所求直線的傾斜角為，
因?yàn)?，所以?br>又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故所求直線方程為，即4x﹣3y+5＝0；
18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：如圖，以D為原點(diǎn)，以射線DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，E0,0,1，，，，
，，
所以，，
所以，
所以，故．
（2）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，且?br>所以．
19．【正確答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求出圓心和半徑，寫(xiě)出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).
(1)
由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；
(2)
由（1）可知：圓C半徑為，設(shè)圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：．