1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．2
2．如圖，斜二測畫法的直觀圖是，的面積為，那么的面積為（ ）

A．B．C．D．
3．在中，設(shè)，，若是線段中點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．如圖，三個元件正常工作的概率均為，且是相互獨(dú)立的，將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知點(diǎn)，若曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱為型曲線.給定下列三條曲線：①；②；③.其中，是型曲線的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（ ）
A．B．2C．D．
7．小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測試中的成績是班級第十五名（每位同學(xué)測試的成績兩兩不同），且小明同學(xué)的成績恰好是該班成績的第60百分位數(shù)，則該班的人數(shù)可能為（ ）
A．36B．41C．46D．51
8．正四面體中，，點(diǎn)滿足，則長度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)是兩條不同直線，是兩個不同平面，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則或
B．若，則或
C．若，則
D．若，則
10．有以下說法，其中錯誤的是（ ）
A．互斥的事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件
B．互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件
C．事件與事件中至少有一個發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率大
D．事件與事件同時發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率小
11．某四面體的棱中恰好有一條的長度大于2，則此四面體的體積可能是（ ）
A．B．C．1D．2
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值是 ．
13．如圖，在梯形中，，且，若是線段上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為 .

14．已知圓和直線，折線，若與恰有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) ；若與恰有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在三角形中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.
(1)求角的大??；
(2)若，三角形的面積為，求三角形的周長.
16．在如圖所示的四棱錐中，底面是梯形，且面，為的中點(diǎn).
(1)若，證明：平面；
(2)已知，斜線和平面所成角的正切值為2，求平面和平面的夾角的余弦值.
17．已知橢圓的焦點(diǎn)為和，短軸長為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓上?下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）.證明直線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出該值.
18．某校藝術(shù)團(tuán)共有人，男生與女生的比例是.為了解藝術(shù)團(tuán)全體學(xué)生的身高，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取樣本量為的樣本，并觀測樣本身高數(shù)據(jù)（單位：）.已知男生樣本的身高平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：
記抽取的第個女生的身高為，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.
(1)用女生樣本的身高頻率分布情況估計(jì)藝術(shù)團(tuán)女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)；
(2)用總樣本的平均數(shù)和方差估計(jì)藝術(shù)團(tuán)總體身高的平均數(shù)和方差，求的值；
(3)若女生樣本數(shù)據(jù)在之外的數(shù)據(jù)稱為偏離值，剔除偏離值后，計(jì)算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.（其中，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.）【參考數(shù)據(jù)：，，.】
19．球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對于半徑為的球，過球面上一點(diǎn)作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點(diǎn)稱為球面角的頂點(diǎn)，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點(diǎn)，可以得到經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點(diǎn)稱為球面的頂點(diǎn)；三個球面角稱為球面的三個內(nèi)角.
已知球心為的單位球面上有不同在一個大圓上的三點(diǎn).
(1)球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請直接寫出球面的內(nèi)角和（無需證明）；
(2)與二面角類比，我們稱從點(diǎn)出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn)，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個面角的余弦值分別為.
①求球面的三個內(nèi)角的余弦值；
②求球面的面積.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】，故共軛復(fù)數(shù)為.
故選：A．
2．【正確答案】A
【詳解】由，則，
如圖，作出還原后，則，
故，所以.
故選：A.

3．【正確答案】D
【詳解】
.
故選：D.
4．【正確答案】C
【詳解】記正常工作為事件，正常工作為事件，記正常工作為事件，
則，
電路不發(fā)生故障，即正常工作且，至少有一個正常工作，
、不發(fā)生故障即，至少有一個正常工作的概率，
所以整個電路不發(fā)生故障的概率為.
故選：C.
5．【正確答案】D
【詳解】對于①，O0,0到直線的距離為，若直線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則，
以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，如圖，可求解出兩解，所以曲線①是型曲線.
對于②，化為，圖形是半圓（包括端點(diǎn)），則由O0,0為頂點(diǎn)的角兩邊能與半圓找到交點(diǎn)，故曲線②也是型曲線，
對于③，過分別作傾斜角為和的直線交于兩點(diǎn)，
則，
同時過傾斜角為和的直線關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，所以曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，所以曲線③是型曲線.
故選：D
6．【正確答案】C
【詳解】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，
如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為，
設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點(diǎn)，
可知，，
由題意可知：母線與底面所成角為，
則，可得，
即，，可得，
可知內(nèi)切球的半徑，
可得，，
所以.
故選：C.
7．【正確答案】A
【詳解】設(shè)班級的人數(shù)為，由題意，解得.
故選：A
8．【正確答案】C
【詳解】如圖所示，延長至點(diǎn)，使得
所以，
又由，所以四點(diǎn)共面，
所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，
又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，
取等邊的中心為，連接，可得平面，
所以即為點(diǎn)到平面的距離，
在等邊，因?yàn)?，可得?br>在直角中，可得，
即點(diǎn)到平面的距離為，
所以的最小值為.
故選：C
9．【正確答案】AB
【詳解】對于A，若，則或，故A正確；
對于B，若，則或，故B正確；
對于C，若，則平行或相交或異面，故C不正確；
對于D，若，當(dāng)，則，故D不正確.
故選：AB.
10．【正確答案】ACD
【詳解】對于AB，投一枚骰子，事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為2，事件表出的點(diǎn)數(shù)為3，
則事件和互斥，但不是對立事件，互為對立的事件一定互斥，故A錯誤，B正確；
對于C，當(dāng)兩個事件和互斥時，事件和事件至少有一個發(fā)生的概率
與和中恰有一個發(fā)生的概率相等，他們都等于，故C錯誤；
對于D，考慮投擲一個骰子的試驗(yàn)，樣本空間為，
記事件，事件，
則事件和同時發(fā)生的概率，
和恰好有一個發(fā)生的概率為，故D錯誤.
故選：ACD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】設(shè)四面體，棱，而其余每條棱長都小于等于2，
設(shè)到底面的高為，在中，到的距離為，則.
若是的高，則中有一條的長度，（設(shè)的長為）.
于是，從而.
類似的，在中，點(diǎn)到的距離小于等于，
所以.
所以，.
故選：ABC.
12．【正確答案】6
【分析】
先設(shè)出復(fù)數(shù)，由已知得出復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到的距離為1，再結(jié)合圖象即可求出的最大值.
【詳解】
設(shè)，則，則，即復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到的距離為1，
又表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，結(jié)合圖像可知：最大值為原點(diǎn)到的距離加1，即.
故6.
13．【正確答案】
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
，
，則，設(shè)，
則（其中），
，
，

所以，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時取得最大值21.
故．
14．【正確答案】
【詳解】由題意可知：圓可化為表示圓心為，
半徑為的圓，故，
若與恰有一個公共點(diǎn)，則，解得；
法一，因?yàn)榕c均關(guān)于直線對稱，注意到與直線的交點(diǎn)為，
若與恰有兩個公共點(diǎn)，等價于與在內(nèi)只有1個公共點(diǎn)，
且不過，此時，
聯(lián)立方程，消去得，
即關(guān)于方程在僅有一解，且解不為2，
則，或，或，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
法二，因?yàn)榕c均關(guān)于直線對稱，注意到與直線的交點(diǎn)為，
若與恰有兩個公共點(diǎn)，等價于與在內(nèi)只有1個公共點(diǎn)，
且不過，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
即，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故①；②.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理得，所以
所以，整理得，
因?yàn)?，所以，因此，所以?br>所以.
（2）由的面積為，得，解得，
又,則，.
由余弦定理得，解得，，
所以的周長為.
16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>可知，
在中，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)椋?，所以，即?br>又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?
（2）由題意可知：平面，
所以是斜線在平面上的射影，即為和平面所成的角，
在中，，所以.
又因?yàn)椋蕛蓛纱怪保?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，
則，即，可取
設(shè)平面的法向量為，
則，即，可取；
從而可知，
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
17．【正確答案】(1)
(2)證明見解析，定值為4
【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，所以，
因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與橢圓的交點(diǎn)不與重合，
可知直線的斜率存在，
且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去可得，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，
因?yàn)?，可得直線，直線，
所以.
即，解得，
所以直線的交點(diǎn)在直線上.
18．【正確答案】(1)
(2)，
(3)平均數(shù)為，方差為
【詳解】（1）在女生樣本中，身高在的頻率，
藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為人.
（2）由題意知：男生樣本的身高平均數(shù)為，方差為，
女生樣本的身高平均數(shù)為，方差，
則總樣本的平均數(shù)為，
方差為，
，.
（3）由題意知：，
由樣本數(shù)據(jù)可知：，為偏離值，
剔除后，女生樣本的身高平均數(shù)為，
由得：，
則剔除后，女生樣本的身高的方差為.
19．【正確答案】(1)
(2)①，，；②
【詳解】（1）（1）由可知在兩個互相垂直（即交點(diǎn)處切線垂直）的大圓上，
從而，故，
設(shè)，則，
從而，注意到到直線的距離均為，故，
所以由知，所以，即，
這得到，
從而，又在兩個互相垂直的大圓上，
故，
從而兩兩垂直，
從而由在平面內(nèi)交于點(diǎn)，可知垂直于平面，
而在平面和平面內(nèi)，
故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，
平面垂直于平面，所以三個平面兩兩垂直，
故由球面角的定義知，
所以球面的內(nèi)角和是.
（2）①由已知條件，可設(shè)，
如圖，以為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，不妨設(shè)，
設(shè)，則由可知
；
；
，
故，
不妨設(shè)，則，所以有，
設(shè)平面的法向量分別為，并設(shè)，
則即，
從而，故可以取
所以我們有
，
，
，
故球面的三個內(nèi)角的余弦值分別為.
②先證明一個引理.
引理：若球面的三個球面角，
設(shè)該球面的面積為，則，
引理的證明：
記球的表面積為，則，
設(shè)的對徑點(diǎn)分別為，
則所在的大圓和所在的大圓，
它們將球面分成了四個部分，
其中面積較小的兩個部分的面積之和等于球的表面積的倍，
即，類似可定義，且同理有，
而根據(jù)球面被這三個大圓的劃分情況，又有，
所以，
故，
引理得證，
回到原題，根據(jù)①的結(jié)論，有，
再由引理知球面的面積.抽取次序
身高

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