一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.向量，，則向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
2.若直線的方向向量是，則直線的傾斜角的范圍是
A. B. C. D.
3.已知拋物線和雙曲線的公切線是與拋物線的切點，與拋物線的準線交于，為拋物線的焦點，若，則拋物線的方程是( )
A. B. C. D.
4.若為雙曲線：的左焦點，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，甲是否擊中對乙沒有影響，設“甲中靶”，“乙中靶”，則( )
A. 與，與，與，與都相互獨立B. 與是對立事件
C. D.
6.下列命題中正確的是( )
A. 點關于平面對稱的點的坐標是
B. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 已知為空間任意一點，，，，四點共面，且任意三點不共線，若，則
D. 若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為
7.以下四個命題表述正確的是( )
若點，圓的一般方程為，則點在圓上；
圓的圓心到直線的距離為；
圓與圓外切；
兩圓與的公共弦所在的直線方程為．
A. B. C. D.
8.等腰直角內接于拋物線，其中為拋物線的頂點，，的面積為，為的焦點，為上的動點，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.某高中舉行的數(shù)學史知識答題比賽，對參賽的名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是( )
A. 考生參賽成績的平均分約為分
B. 考生參賽成績的第百分位數(shù)約為分
C. 分數(shù)在區(qū)間內的頻率為
D. 用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為的樣本，則成績在區(qū)間應抽取人
10.已知為坐標原點，拋物線的焦點為，為上第一象限的點，且，過點的直線與交于，兩點，圓，則( )
A.
B. 若，則直線傾斜角的正弦值為
C. 若的面積為，則直線的斜率為
D. 過點作圓的兩條切線，則兩切點連線的方程為
11.如圖，在棱長為的正方體中，，，分別為棱，，的中點，點為線段上的一點，則下列說法正確的是( )
A. 平面平面B. 直線與所成角的余弦值為
C. 平面與平面夾角的余弦值為D. 點到直線的距離的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.
12.，兩名乒乓球選手進行決賽，根據(jù)賽前兩位選手的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在一局比賽中獲勝的概率是，若采用“五局三勝制”，則選手獲勝的概率為 ．
13.若點在橢圓上，則稱點為點的一個“橢點”已知直線與橢圓相交于，兩點，且，兩點的“橢點”分別為，，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則的值為_____．
14.已知橢圓的左右頂點分別為，，且，為上不同兩點位于軸右側，，關于軸的對稱點分別為為，，直線、相交于點，直線、相交于點，已知點，則的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在平行六面體中，設，，，，分別是，的中點．
用向量，，表示，；
若，求實數(shù)，，的值．
16.本小題分
為了建設書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：
分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；當時，求游戲三的獲勝概率；
一名同學先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．
17.本小題分
在平面直角坐標系中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過兩點和，直線的方程為．
求圓的方程；
當時，為直線上的定點，若圓上存在唯一一點滿足，求定點的坐標；
設點，為圓上任意兩個不同的點，若以為直徑的圓與直線都沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍．
18.本小題分
如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，點是線段的中點．
求平面與平面所成銳二面角的余弦值求出直線到平面的距離．
19.本小題分
如圖，已知橢圓：的離心率為，與軸正半軸交于點，過原點不與軸垂直的動直線與交于，兩點．
求橢圓的標準方程；
設直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；
以點為圓心，為半徑的圓與直線、分別交于異于點的點和點，求與面積之比的取值范圍．
答案和解析
1.【正確答案】
解：向量，，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為
，
，
故選A．
2.【正確答案】
解：若直線的方向向量是，
則直線的斜率，
則，則或．
故選D．
3.【正確答案】
解：如圖過作拋物線的準線于，根據(jù)拋物線的定義可知，，
，在中，，，
即直線的斜率為，故設的方程為： ，
由，消去得，
則，解得，即：，
由得，，得，
則拋物線的方程是，
故選A．
4.【正確答案】
解：由得，，，
則左焦點，右焦點，
因為題中給出為雙曲線：的左焦點，
所以，，
又因為雙曲線與過原點的直線都關于原點對稱，
所以，
根據(jù)雙曲線的定義知，
所以，
設，
則，
設，，則
．
令，解得或，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
，
所以的取值范圍為，
所以的取值范圍是．
故選D．
5.【正確答案】
解：
對于由于兩人射擊的結果沒有相互影響，則與，與，與，與都相互獨立，故A正確
對于表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，
即與不是對立事件，故B錯誤
對于，故C錯誤
對于，故D錯誤
故選：．
6.【正確答案】
解：對于，點關于平面對稱的點的坐標是，選項錯誤
對于，若直線的方向向量為，平面的法向量為，
，有，則或，選項錯誤
對于，已知為空間任意一點，，，，四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，選項錯誤．
對于，若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，
則直線與平面所成的角為，選項正確
故選D．
7.【正確答案】
解：點代入圓可得，所以點在圓上，故正確
由可得，則圓心為，
由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離為，故錯誤
圓化為，圓心為，半徑，圓化為，
圓心為，半徑，則圓心距，故兩圓外切，故正確
兩圓方程相減可得，故公共弦所在方程為，故錯誤，
綜上，正確的為．
故選B．
8.【正確答案】
解：設等腰直角三角形的頂點，，則，．
由得：，
，即，
，，，
，即，關于軸對稱．
直線的方程為：，
與拋物線聯(lián)立，解得或，
故AB，
．
的面積為，
；
焦點，設，
則，，設 到準線的距離等于，
則．
令，，
則當且僅當時，等號成立．
故的最大值為，
故選：．
9.【正確答案】
解：對選項A：由圖可知考生的平均成績?yōu)?br>
，故A錯誤；
對于選項B，由頻率分布直方圖知第百分位數(shù)位于內，
則第百分位數(shù)為，故B正確
對選項C：分數(shù)在區(qū)間內的頻率為，故C正確；
對選項D：區(qū)間應抽取人，故D錯誤．
故選BC．
10.【正確答案】
解：設，則，則，，故，故A正確；
設直線，聯(lián)立則，
設，，則，，
故，解得，
則直線傾斜角的正弦值為，故B錯誤
，解得，
則直線的斜率為，故C正確
易知，圓可化為，圓心，半徑，
易知為其中一條切線，切點為，且兩切點連線與垂直，，
故兩切點連線為，即，故D正確．
故選ACD．
11.【正確答案】
解：以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．
則，，，，，
所以，，，
所以，，所以，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正確
因為，所以，
所以，，
所以直線與所成角的余弦值為，故B錯誤；
因為，所以，設平面的法向量為，則
令，解得，，所以，
又易得平面的一個法向量為，
設平面與平面的夾角為，
所以，，
即平面與平面夾角的余弦值為，故C正確
設，
所以，
所以，，
所以點到直線的距離，
當且僅當時，等號成立，所以點到直線的距離的最小值為，D錯誤．
故選AC．
12.【正確答案】
解：若比賽進行了局，則獲勝的概率是；
若比賽進行了局，獲勝的概率是；
若比賽進行了局，獲勝的概率是．
故所求為．
故答案為．
13.【正確答案】
解：設，，則，，
由以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，得，
即，
由，消除整理得：，
，，
，
，
，
即 ，
故答案為．
14.【正確答案】
解：設點 ，則：，，
則 ，
，
，
點的軌跡方程為，
即點的軌跡方程為，
同理可得，點也在雙曲線上，
點恰為雙曲線的左焦點，
設雙曲線的右焦點為，
根據(jù)雙曲線定義可得：
，
的最小值為．
故答案為．
15.【正確答案】解：，
，
，，．
16.【正確答案】解：設事生“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，
游戲一中取出一個球的樣本空間為，則，
因為，所以，所以游戲一獲勝的概率為．
游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間，，
則，因為，，，，
所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為．
游戲三中不放回地依次取出兩個球的樣本的個數(shù)為，
時，樣本的個數(shù)為，所以所求概率為；
設“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，
則，且，，互斥，，，相互獨立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，
所以，即．
進行游戲三時，不放回地依次取出兩個球的所有結果如下表：
當，，，時，，舍去，
當，，時，，滿足題意，
因此的所有可能取值為，，．
17.【正確答案】解：設圓的方程為，
將，坐標代入，得：
，解得
所以圓的方程為．
設，，，
則，
化簡得，此圓與圓相切，
所以有，解得，
所以的坐標為或．
記以為直徑的圓為圓，為中點，設圓上有一動點，
設，則圓的半徑，
于是
其中為，的夾角，，
因為，
所以．
故點在以為圓心，為半徑的圓的內部含邊界，
所以點到直線的距離，即，
解得．
18.【正確答案】解：因為在梯形中，，，，如圖：過作交于，可得，
則，所以，得，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面
因為四邊形為矩形，所以，又平面平面，又平面平面，平面，所以平面，
則，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，
所以，，，，
設平面的法向量為，
則，取，可得，
設平面的法向量為，
則，取，可得，
所以，
．
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
由可知，又，
所以平面．
，由可知平面的法向量為，
所以直線到平面的距離．
19.【正確答案】解：由題意得，且，由，解得，
橢圓的標準方程為；
由于，關于原點對稱，故可設，，且；
，
即為定值；
設直線的方程為，直線的方程為，
由知；由題意圓的方程為；
聯(lián)立直線與圓的方程，得，解得點橫坐標；
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，解得點橫坐標，
則；同理，
由于，所以與面積之比，
將代入上式，并化簡得，
令，則由，有，故，
綜上，與面積之比的取值范圍為． 游戲一
游戲二
游戲三
箱子中球的
顏色和數(shù)量
大小質地完全相同的紅球個，白球個
紅球編號為“，，”，白球編號為“，”
取球規(guī)則
取出一個球
有放回地依次取出兩個球
不放回地依次取出兩個球
獲勝規(guī)則
取到白球獲勝
取到兩個白球獲勝
編號之和為獲勝
第二次
第一次

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